ex)′ =ex =f(x)

(1)

7.5 1) Rappelons que f^′(x) = e^x)′

=e^x =f(x).

Il en résulte f⁽^k⁾(x) =e^x pour tout k>0.

C’est pourquoi f⁽^k⁾(a) =f⁽^k⁾(0) =e⁰ = 1 pour toutk >0.

P5(x) =f(a) +f^′(a) (x−a) +^f^′′_2!^(a)(x−a)²+^f⁽³⁾_3!^(a)(x−a)³+^f⁽⁴⁾_4!^(a)(x−a)⁴+^f⁽⁵⁾_5!^(a)(x−a)⁵

= 1 + 1 (x−0) +_2!¹ (x−0)²+_3!¹ (x−0)³+_4!¹(x−0)⁴+_5!¹ (x−0)⁵

= 1 +x+x² 2! +x³

3! +x⁴ 4! +x⁵

5!

2) √

e=e¹² ≈P5 1 2

= 1 +¹₂ +

1 2

2

2! +

1 2

3

3! +

1 2

4

4! +

1 2

5

5!

≈1 + ¹₂ +₄¹_·₂ + ₈¹_·₆ +₁₆¹_·₂₄ +₃₂_·¹₁₂₀ = 1 + ¹₂ + ¹₈ +₄₈¹ +₃₈₄¹ + ₃₈₄₀¹

≈ 3840+1920+480+80+10+1

3840 = ⁶³³¹₃₈₄₀ ≈1,648 698 3) R5 1

2

= f⁽⁵⁺¹⁾(c)

(5 + 1)! (¹₂ −0)⁵⁺¹= e^c 6!· 1

2⁶ où c∈[0 ;¹₂] Vu la croissance de la fonctione^x, on a e^c 6e¹² =√

e.

Or, l’exercice 5.16 a montré que e 6 3. Vu la croissance de la fonction racine, il s’ensuit que √

e6√ 3<√

4 = 2.

Donc R5 1

2

< _6!² ·₂¹⁶ = _{23 040}¹ . Remarque : la majoration √

e = e¹² < 2 peut s’établir directement en majorant par une série géométrique de raison ¹₂ :

e¹² = 1 +¹₂ +

1 2

2

2! +

1 2

3

3! +

1 2

4

4! +

1 2

5

5! +. . .

<1 + ¹₂ + ¹₂2

+ ¹₂3

+ ¹₂4

+ ¹₂5

+. . .= 1· 1 1− ¹₂ = 2

Analyse : développement en série d’une fonction Corrigé 7.5