Exercice 1. Calculer dα, dβ, dω, dη et d avec : α = xdx + ydy ∈ Ω

(1)

MM022 G´ eom´ etrie diff´ erentielle 2016–2017

Feuille 7 : diff´ erentielle ext´ erieure, orientation, formule de Stokes

Exercice 1. Calculer dα, dβ, dω, dη et d avec : α = xdx + ydy ∈ Ω

¹

( R

²

) β = −y

x

²

+ y

²

dx + x

x

²

+ y

²

∈ Ω

¹

( R

²

\ {0}) ω = e

^xz

dx + xcos(z)dy + y

²

dz ∈ Ω

¹

( R

³

)

η = xdx ∧ dy − zdx ∧ dz + xyzdy ∧ dz ∈ Ω

²

( R

³

) = dx

¹

∧ dx

²

+ · · · + dx

²ⁿ⁻¹

∧ dx

²ⁿ

∈ Ω

²

( R

²ⁿ

)

Exercice 2. Soient [ : X (R

³

) → Ω

¹

(R

³

) et ?[ : X (R

³

) → Ω

²

(R

³

) les isomorphismes : [ : X = X

¹_∂x^∂

+ X

²_∂y^∂

+ X

³_∂z^∂

7→ X

^[

= X

¹

dx + X

²

dy + X

³

dz

et ? [ : X = X

¹_∂x^∂

+ X

²_∂y^∂

+ X

³_∂z^∂

7→ X

¹

dy ∧ dz + X

²

dz ∧ dx + X

³

dx ∧ dy.

Notons formellement ∇ = (

_∂x^∂

,

_∂y^∂

,

_∂z^∂

). ´ Etant donn´ e un champ de vecteurs X = (X

¹

, X

²

, X

³

), on d´ efinit la fonction

∇ · X =

^∂X_∂x¹

+

^∂X_∂y²

+

^∂X_∂z³

(produit scalaire formel entre les vecteurs ∇ et X), que l’on appelle divergence du champ de vecteurs X, not´ ee encore dive X, et le champ de vecteurs

∇ × X =

^∂X_∂y³

−

^∂X_∂z²

,

^∂X_∂z¹

−

^∂X_∂x³

,

^∂X_∂x²

−

^∂X_∂y¹

(produit vectoriel formel entre les vecteurs ∇ et X), que l’on appelle rotationnel du champ de vecteurs X, not´ e encore rotX. Enfin ´ etant donn´ ee une fonction lisse f , on d´ efinit un champ de vecteurs appel´ e gradient de f par

∇f = (

^∂f_∂x

,

^∂f_∂y

,

^∂f_∂z

)

(multiplication formelle du vecteur ∇ par le scalaire f ), not´ e encore gradf .

On note h·, ·i et ω = dx ∧ dy ∧ dz les produit scalaire et forme volume canoniques sur R

³

. Montrer que:

1. X

^[

(Y ) = hX, Y i pour tout Y ∈ X ( R

³

) ; 2. ?[(X) = ι

_X

ω ;

3. gradf = [

⁻¹

(df ) ;

4. d(?[(X)) = (∇ · X)ω, ou encore d(ι

X

ω) = (divX)ω ; 5. d(X

^[

) = ?[(∇ × X), ou encore d(X

^[

) = ι

_rotX

ω

(tout ceci permet de d´ efinir plus g´ en´ eralement ?[ et div sur toute vari´ et´ e munie d’une forme volume, [ et grad sur toute vari´ et´ e munie d’une m´ etrique riemannienne, et rot sur toute vari´ et´ e munie des deux) ;

6. ∇ × (∇f ) = 0, ou encore rot(gradf ) = 0 ; 7. ∇ · (∇ × X) = 0, ou encore div(rotX) = 0.

Relier les deux derni` eres identit´ es ` a la relation d ◦ d = 0.

Exercice 3. Orientabilit´ e de la sph` ere. Donner un atlas d’orientation de la sph` ere S

ⁿ

,

c’est-` a-dire un atlas de S

ⁿ

dont les changements de cartes ont un jacobien partout strictement

positif.

(2)

Exercice 4. Hypersurfaces de R

ⁿ

.

1. Montrer que tout niveau r´ egulier M d’une fonction lisse f : U ⊂ R

ⁿ

→ R d´ efinie sur un ouvert de R

ⁿ

admet une normale unitaire lisse, c’est-` a-dire une application lisse ν : M → S

ⁿ⁻¹

telle qu’en tout point x de M, ν (x) soit orthogonal ` a l’espace tangent T

x

M. 2. Montrer qu’une hypersurface quelconque M de R

ⁿ

est orientable si et seulement si elle admet une normale unitaire lisse. Retrouver ainsi l’orientabilit´ e de la sph` ere S

ⁿ

.

3. Montrer que le ruban de Mœbius n’est pas orientable.

Exercice 5. Non-orientabilit´ e

1. Montrer qu’une vari´ et´ e n’est pas orientable si elle admet deux cartes (U, ϕ) et (V, ψ) telles que U et V soient connexes et det(dϕ

_x

◦ (dψ

_x

)

⁻¹

) prenne ` a la fois des valeurs positives et n´ egatives lorsque x d´ ecrit U ∩ V .

2. Red´ emontrer que le ruban de Mœbius n’est pas orientable.

3. Montrer que l’espace projectif R P

ⁿ

est orientable si et seulement si n est impair.

Exercice 6. Orientabilit´ e des espaces projectifs (bis). On consid` ere R P

ⁿ

comme le quotient de S

ⁿ

par {± Id} et on note p : S

ⁿ

→ R P

ⁿ

la projection canonique. On note en outre ω

₀

la forme volume de S

ⁿ

d´ efinie par

∀x ∈ S

ⁿ

, ∀(v

₁

, ..., v

_n

) ∈ T

_x

S

ⁿ

, (ω

₀

)

_x

(v

₁

, ..., v

_n

) = det(x, v

₁

, ..., v

_n

).

Supposons que R P

ⁿ

admette une forme volume α.

1. Montrer que ω = p

^∗

α est une forme volume sur S

ⁿ

satisfaisant (− Id)

^∗

ω = ω.

2. Il existe donc une fonction f lisse et de signe constant sur S

ⁿ

telle que ω = f ω

₀

. Calculer (− Id)

^∗

ω

₀

puis (− Id)

^∗

ω en fonction de ω

₀

. En d´ eduire que n est n´ ecessairement impair, et que les espaces projectifs de dimension paire ne sont donc pas orientables.

3. Soit Γ un groupe discret agissant librement et proprement sur une vari´ et´ e X et p : X → V /Γ l’application de revˆ etement sur la vari´ et´ e quotient. Montrer que pour toute forme diff´ erentielle ω sur X satisfaisant

γ

^∗

ω = ω ∀γ ∈ Γ,

il existe sur X/Γ une unique forme diff´ erentielle α telle que p

^∗

α = ω, qui est une forme volume si ω l’est.

4. En d´ eduire que les espaces projectifs de dimension impaire sont orientables.

Exercice 7. Cas particuliers de la formule de Stokes.

1. Formule de Green-Riemann. Soit D un domaine r´ egulier de R

²

et P, Q de fonctions lisses d´ efinies au voisinage de D. Montrer que

Z

∂D

P dx + Qdy = Z

D

(∂

_x

Q − ∂

_y

P)dxdy.

2. Formule d’Ostrogradski. Soit D un domaine r´ egulier de R

³

, ω = dx ∧ dy ∧ dz et X un champ de vecteurs sur R

³

. Montrer que

Z

∂D

ι

X

ω = Z

D

(divX)ω.

(3)

Que devient cette ´ egalit´ e pour X = P ∂

_x

+ Q∂

_y

+ R∂

_z

? On d´ efinit en outre le flux de X ` a travers S = ∂D, not´ e R

S

X, comme Z

S

hX, N iσ

o` u N d´ esigne le champ normal sortant et σ = ι

N

ω la forme volume canonique sur S.

V´ erifier que

ι

_X

ω

_|S

= hX, N iσ ce qui entraˆıne :

Z

S

X = Z

D

(divX)ω.

3. Formule de Stokes “classique”. Soit Γ ⊂ R

³

une courbe ferm´ ee lisse orient´ ee et X un champ de vecteurs au voisinage de Γ. Soit γ : I ⊂ R → R

³

une param´ etrisation (n´ ecessairement non injective) de Γ (compatible avec l’orientation) et [a, b] ⊂ I tel que γ([a, b]) = Γ et γ

|]a,b[

injective. On d´ efinit

Z

γ

X :=

Z

b a

hX(γ(t)), γ(t)idt. ˙

(a) V´ erifier que R

γ

X = R

Γ

X

^[

(cf. exercice 2). Cette quantit´ e ne d´ epend donc pas de la param´ etrisation. On l’appelle circulation de X le long de Γ et on la note H

Γ

X. (b) On suppose ici que Γ est le bord (orient´ e) d’un domaine compact S d’une surface orient´ ee de R

³

. V´ erifier que

I

Γ

X = Z

S

rot(X) (flux du rotationnel ` a travers S).

Exercice 8. Stokes et r´ esidus. Une forme diff´ erentielle complexe de degr´ e k sur un ouvert U de R

ⁿ

est une application lisse de U dans l’espace des applications k-lin´ eaires altern´ ees de R

ⁿ

dans C. Une telle forme s’´ ecrit de fa¸ con unique sous la forme α + iβ avec α, β ∈ Ω

^k

(U ). On d´ efinit sa diff´ erentielle comme la forme diff´ erentielle complexe dα + idβ et son int´ egrale (sur ce qui a un sens) comme R

α + i R β.

Etant donn´ ´ ee une fonction f : U ⊂ R

²

' C → C , on d´ esigne par f (z)dz la 1-forme diff´ erentielle complexe f (x + iy)(dx + idy) (notamment, dz := dx + idy).

1. Si f est de la forme P + iQ avec P, Q : U ⊂ R

²

→ R, exprimer d(f (z)dz) en fonction des d´ eriv´ ees de P et Q.

2. On rappelle qu’une fonction R -diff´ erentiable f = P +iQ : U ⊂ R

²

' C → C est holomorphe si et seulement si

^∂P_∂x

=

^∂Q_∂y

et

^∂P_∂y

= −

^∂Q_∂x

(´ equations de Cauchy-Riemann). Comment cela se traduit-il en termes de la forme f (z)dz ?

3. Soit f : U → C une fonction holomorphe. Montrer que pour tout domaine compact D de U , R

∂D

f (z)dz = 0.

4. Soit A ⊂ U un sous-ensemble discret et f : U \ A → C une fonction holomorphe. Montrer que pour tout domaine compact D ⊂ U dont le bord ne rencontre pas A,

Z

∂D

f (z)dz = 2πi X

a∈A∩D

Res(f, a),

o` u Res(f, a) =

_2πi¹

R

∂B(a,ε)

f(z)dz pour tout ε suffisamment petit pour que B(a, ε) ⊂ U \ A.