f =o sur un voisinage de a

Universit´e Antilles–Guyane DEUG MIAS 1^e ann´ee UFR Sciences Exactes et Naturelles Modules MIP 2 D´ept Scientifique Interfacultaire 2^e semestre 2003–2004

Math´ematiques 2 / Analyse — T.D. s´erie n^◦ 3 : D´eveloppements limit´es.

G´en´eralit´es ; D.L. de fonctions ´el´ementaires.

Exercice 1. Montrer que : (a) f =

(a)o(f) =⇒ f =o sur un voisinage de a.

(b) o(t²) =

(0)t o(t) ; (c) t²+o(t) =

(0)o(t) ; (d) _1+t+o(t)¹ =

(0)1−t+o(t).

Exercice 2. Montrer qu’une fonction polynˆomialef de degr´edadmet unDL_n(0) (d´eveloppement limit´e d’ordre n au voisinage de 0), pour tout n∈N. Exercice 3. En utilisant la formule de Taylor-Lagrange, montrer que

(a) ∀x∈R:|e^x−x−1| ≤ ¹₂x²e^|x|, (b) ∀x∈R+:x−¹₂x² ≤ln(1 +x)≤x . Exercice 4. D´eterminer le DL_n(0) des fonctions suivantes :

(a) x7→chx= ¹₂(e^x+e^−x) (n = 2p+ 1 avecp∈N) ; idem pour x7→shx (b) x7→e^xsinx (n= 5)

(c) x7→arctanx (n= 2p+ 2 avecp∈N) Exercice 5. D´eterminer les D.L. suivants :

(a) DL₄(1) de x7→ lnx

x² , (b) DL₂(∞) de x7→x−√⁴

x⁴−x³, (c) DL₄(^π₆) de x7→(sin 2x)².

Exercice 6. On rappelle que ∀x∈

−^π₂,^π₂

: arcsin(sinx) = x ,

∀x∈[−1,1] : arccosx= ^π₂ −arcsinx .

(a) D´eterminer le DL₃(0) de x7→arcsinx`a l’aide du D.L. de x7→sinx.

(b) En d´eduire le DL₃(0) de la fonction x7→arccosx.

Recherche de fonctions ´equivalentes et limites Exercice 7. D´eterminer un ´equivalent, au voisinage de x₀, des fonctions

f(x) = 1

sinx − 1

tanx (x₀ = 0) , g(x) = 2^x−x² (x₀ = 2) . Exercice 8. A l’aide de D.L., calculer les limites suivantes :

`₁ = lim

x→0

e^x−cosx−x

x−ln(1 +x) , `₂ = lim

x→1

xlnx+ 1−x

(x−1) lnx , `₃ = lim

x→0

xcosx−sinx

x³ .

Exercice 9. Pourα ∈R, calculer `a l’aide d’un D.L. la limite lim

x→∞

1 + α

x x

. 1

Branches infinies et ´etude locale de fonctions

Exercice 10. Donner, `a l’aide de D.L., au voisinage de ∞et −∞, l’asymptote et la position par rapport `a l’asymptote, de la courbe d’´equationy= x

1 +xe^1/x. Exercice 11. A l’aide d’un D.L. ´etudier la convexit´e et la concavit´e locale au voisinage de x₀ ainsi que la nature (extr´ema, point d’inflexion) du point (x0, f(x0)), et donner l’´equation de la tangente en ce point, pour

f(x) = 2x³−3x²−12x+ 2 et x₀ ∈

−1,¹₂,2 . Exercice 12. Soit f la fonction d´efinie sur

−^π₄,0

∪ 0,^π₄

par f(x) = g(x)

tanx avec g(x) =e

√1 + sinx−e .

(a) Calculer le DL₃(0) de g.

(b) Montrer que f admet un prolongement par continuit´e en 0.

(c) Notons fece prolongement de f. Montrer quefeest d´erivable en 0.

(d) Donner l’´equation de la tangente (t) au graphe de feau point (0,fe(0)).

(e) Pr´eciser la position du graphe de fepar rapport `a (t) au voisinage de 0.

Exercices suppl´ementaires Exercice 13. Ecrire lesDLn(0) des fonctions suivantes :

f(x) = expx

√1 +x (n= 4) , g(x) =a^x (a >0, n ∈N) , th(x) = shx

chx (n= 6) . Exercice 14. A l’aide de DL, calculer les limites suivantes si elles existent :

`1 = lim

x→0

(1−cosx) arcsinx

x−tan²x , `2 = lim

x→0

1−cosx

xsinx ; `3 = lim

x→1

x^x−x 1−x+ lnx . Exercice 15. A l’aide de D.L., calculer, selon la valeur du param`etre m∈ R, les

limites suivantes si elles existent

x→0lim

x³

sinx−mx ; lim

x→1

1

lnx − m x−1

.

Exercice 16. A l’aide de D.L., ´etudier les branches infinies de la courbe repr´esen- tative de la fonction f(x) =√

x²+ 1−√

x²−1. Exercice 17. Trouver leDL_n(0) des fonctions

f(x) = tanx (n= 5) , g(x) = tan²x (n = 6) , h(x) = ln(1 +x)

1 +x (n= 4) , j(x) = x

sinx (n = 4) , k(x) =e^cosx (n= 6) , `(x) = x−arctanx

sin³x (n= 1) . 2