Etude locale des fonctions : d´ ´ erivation

Etude locale des fonctions : d´ ´ erivation

On consid`ere dans ce chapitre des fonctionsR Ñ R d´efinies sur un intervalleI non r´eduit `a un point.

1 Nombre d´ eriv´ e

1.1 D´erivabilit´e de f au point x₀

D´efinition. Soit f d´efinie surI etx0 PI. D´efinissons le taux d’accroissement de f en x0

ϕ_x0 : Irtx₀u Ñ R

x ÞÑ ^fpx_x^qf_x^p₀^x0q

Siϕ_x0 admet une limite finie`enx<sub>0</sub>, alors on dit quef est d´erivable au point x<sub>0</sub>, et que`est sonnombre

d´eriv´e au point x₀, not´ef¹px₀q. Interpr´etation g´eom´etrique.

C

a a+h

f(a)

Th´eor`eme de caract´erisation.

La fonction f est d´erivable au point x₀ si et seulement s’il existe une fonction ε : I Ñ R, telle que

εpxq ÝÝÝÑ

xÑx0

0 et un r´eelcP Rtel que :

fpxq fpx0q cpxx0q pxx0qεpxq On a dans ce cascf¹px₀q.

Remarque.

D´efinition. SiIXsx0, 8r∅et siϕx0pxq ÝÝÝÑ_xÑx

x¡x00

`P R,

alors on dit que f est d´erivable `a droite en x<sub>0</sub> et on note`f_d¹px₀q. Remarque.

Exemple.

Propri´et´e. Six₀ n’est pas une borne deI, alors f est d´erivable au pointx₀ si et ssi elle est d´erivable `a droite et `a gauche enx0 etf_g¹px0q f_d¹px0q.

Th´eor`eme.

Si f est d´erivable `a droite (resp. `a gauche) en x₀, alors f est continue `a droite (resp. `a gauche) en x₀.

Corollaire. Si f est d´erivable `a droite et `a gauche en x0 (en particulier si f est d´erivable en x0), alors f est continue en x₀.

Remarque importante.

Ce logo signale un lien vers une animationgeogebradisponible sur le sitempsi1.lamartin.fr/geogebra

1.2 Op´erations sur les fonctions d´erivables

1.2.1 Lin´earit´e

Proposition. Soitf etg d´efinies surI, d´erivables au pointx0PI,λetµdes r´eels. Alorsλf µg est d´erivable au point x0 etpλf µgq¹px0q λf¹px0q µg¹px0q

1.2.2 Produit

Proposition. Mˆeme hypoth`eses. Alors f gest d´erivable au point x₀ etpf gq¹px₀q f¹px₀qgpx₀q fpx₀qg¹px₀q

1.2.3 Inverse et quotient

Proposition. Sif est d´erivable en x0PI, etf ne s’annule pas sur I, alors _f¹ est d´erivable en x0 et 1

f ₁

px₀q f¹px0q pfpx₀qq²

Cons´equence. Le quotient.

1.2.4 Composition Th´eor`eme.

Soit f d´efinie sur un intervalleI etgd´efinie sur un intervalleJ telles quefpIq €J. On suppose que (a) f est d´erivable au point x₀ PI, de nombre d´eriv´ef¹px₀q

(b) g est d´erivable au pointy₀ fpx₀q PJ, de nombre d´eriv´eg¹py₀q

Alorsgf est d´erivable au point x₀ et

1.2.5 Bijection r´eciproque Th´eor`eme.

Soit I etJ deux intervalles, et f : I ÑJ une bijection continue, strictement monotone surI. Soit

x0 PI tel quef est d´erivable au point x0.

(a) Sif¹px0q 0, alorsf¹ est d´erivable au pointy0 fpx0q et on a pf¹q¹py₀q 1

f¹px0q 1 f¹f¹py0q

(b) Sif¹px₀q 0, alorsf¹ n’est pas d´erivable au point y₀fpx₀q mais sa repr´esentation graphique admet une tangente verticale au point d’abscissey0.

Interpr´etation graphique.

C

C

Exemple.

2 Fonction d´ eriv´ ee

2.1 D´eriv´ee d’une fontion

D´efinition. Soitf d´efinie surI, d´erivable en tout pointx0PI. On appelle fonction d´eriv´ee de f la fonction

f¹ : I Ñ R

x ÞÑ f¹pxq

Autres notations.

Op´erations sur les fonctions d´eriv´ees. Elles se d´eduisent du paragraphe (1.2). Reprenons ensemble les r´esul- tats sur la composition et sur la bijection r´eciproque :

2.2 D´eriv´ees successives

2.2.1 D´efinition de la d´eriv´ee n^`eme

D´efinition. Soit f d´efinie surI. On d´efinit par r´ecurrence surnP Nla d´eriv´een^`eme de f surI par :

(a) On pose f^p0qf

(b) Soit nP N quelconque fix´e. On supposef^pnq d´efinie sur I

(c) Sif^pnq est d´erivable surI, on dit quef estpn 1q-fois d´erivable surI et on posef^{pn 1q} pf^pnqq¹ Exemple.

Exemple. D´eterminer l’expression de la d´eriv´ee n^`eme de :

xÞÑx^p etxÞÑ 1 xa o`up est un entier,a un r´eel.

2.2.2 Classe d’une fonction

D´efinition. f est dite de classe Cⁿ surI si et ssif estn-fois d´erivable surI etf^pnq est continue sur I; elle est dite C⁸ si elle est de classeCⁿ pour toutnP N.

Remarque. f est de classe C⁰ ðñ f est continue.

Exemple.

Remarque.

2.2.3 Op´erations sur les fonctions de classe Cⁿ

Proposition. Sif et gsont deux fonctions de classe Cⁿ,λetµ deux r´eels, alorsλf µg est de classeCⁿ et pλf µgq^pnqλf^pnq µg^pnq

Corollaire. L’ensemble CⁿpI,Rq des fonctions de classe Cⁿ est un espace vectoriel, sous-espace vectoriel de FpI,Rq.

Th´eor`eme (de Leibniz).

Soit f etg admettant chacune une d´eriv´een^{`eme</sup> surI. Alorsfg admet une d´eriv´ee n<sup>`eme} surI et

pfgq^pnq

¸n k0

n k

f^pkqg^pnkq

Corollaire. Sif etg sont de classeCⁿ, alorsle produit l’est aussi.

Corollaire. Sif est de classeCⁿ sur I etg est de classeCⁿ sur J tel quefpIq €J, alorsgf est de classeCⁿ sur I.

Remarque.L’articlehttp: // www. dma. ens. fr/ culturemath/ maths/ pdf/ analyse/ derivation. pdfpr´esente un moyen d’obtenir l’expression de la d´eriv´een^`eme d’une fonction compos´ee en utilisant des arbres.

Corollaire. Soitf de classe Cⁿ surI tel quefpIq € R ou R. Alors 1

f est de classe Cⁿ surI. Corollaire. Quotient de deux fonctions de classeCⁿ.

Th´eor`eme.

Soit f : I ÑJ une bijection de classe Cⁿ. Sif¹ ne s’annule pas surI, alorsf¹ est de classeCⁿ sur J.

3 Cas des fonctions ` a valeurs complexes

La d´efinition se g´en´eralise sans probl`eme au cas des fonctions complexes.

D´efinition. Soit f une fonction R Ñ C. On suppose f d´efinie sur I et t₀ PI. On dit que f est d´erivable en t0 si et seulement si ^fptq_t^f_t^pt0q

0 admet une limite finie lorsque t Ñ t0. Cette limite, complexe, est alors appel´e

d´eriv´ee de f en t₀, not´eef¹pt₀q. Remarque.

Th´eor`eme.

f est d´erivable en t0 si et seulement si Ref et Imf sont d´erivables en t0, et

f¹pt0q pRefq¹pt0q ipImfq¹pt0q.

Proposition. Op´erations sur les fonctions d´erivables : Combinaisons lin´eaires, produit, quotient, d´eriv´ees suc- cessives. . .

Th´eor`eme de Leibniz.

Espace vectoriel C^kpI,Cq, 0¤k¤ 8.

Exemple. D´eriv´ee de l’exponentielle complexe.pe^atq¹ ae^at.

18.1Soitfd´erivablesurR.Montrerque (a)sifestpaire(resp.impaire)alorsf1 estimpaire(resp.paire); (b)sifestT-p´eriodique,alorsf1 estT-p´eriodique. derivlocale_2.tex 18.2Soitfd´erivablesurJetpa,bqPJ2 .Onsupposefstricte- mentpositivesursabretfpaqfpbq0.Montrerquef1 paqf1 pbq¤0. derivlocale_3.tex 18.3

´ Etudierlad´erivabilit´e,calculerlad´eriv´eeet´etudierlesens devariationdesfonctionssuivantes: (Ondiscutera,lecas´ech´eant,selonlesvaleursden) ?sinx paqf:xÞÑln|3cosxsinx|pbqf:xÞÑ x d 11x2 pcqf:xÞÑlnpx2|x|1qpdqf:xÞÑ x1x

peqf:xÞÑp2x1qcospπxqpfqf:xÞÑxn? 1x pgqf:xÞÑ1xn lnxphqf:xÞÑex 1exlnp1ex q derivlocale_7.tex 18.4Calculerlesd´eriv´eesdesfonctionsd´efiniesparlesexpressions suivantes: paq1 3? x21 ? x3pbqb xa 1x2 pcqxx pdqln tanx 2

peqln tanp1a sinpx2qqpfqpcosxqsinx derivlocale_17.tex 18.5Onconsid`erea3a π 2etf:saarÑR xÞÑtanpx3 q (a)Montrerquefadmetunefonctionr´eciproqueg. (b)´ Etudierlad´erivabilit´edegetexprimer,lecas´ech´eant,lad´eriv´ee degenfonctiondeg.

derivlocale_6.tex 18.6D´eterminerlad´eriv´een`eme desfonctionssuivantes: paqf:xÞÑcos3 xsin2 xpbqfp:xÞÑx2 p1xqp ppPN q pcqf:xÞÑ1 xαpαPRqpdqf:xÞÑ1 x21 peqf:xÞÑp3x2 x5qex pfqf:xÞÑlnp32xq pgqf:xÞÑx3 sinxphqfn:xÞÑxn p1xqn D´eduireduderniercalcullasomme

n¸ k0

n k

2 derivlocale_8.tex 18.7Calculerlesd´eriv´eesn-i`emesdelafonctiond´efiniepar: fpxqpx3 2x7qex derivlocale_14.tex 18.8TrouveraPRetαPR telsquef:xÞÑ # a? xsixPs0αr x2 12sixPrα8rsoitdeclasseC1 surR .derivlocale_4.tex 18.9

´ Etudierlacontinuit´eetlad´erivabilit´esurRdesfonctions suivantes,etpr´eciserleurclasseexacte.pα¡0q ## 112 xsinsix0xsinsix0xx f:xÞÑg:xÞÑ 0six00six0 derivlocale_5.tex 818.10Soitf:RÑRunefonctiondeclasseCsurR.On n11 d´efinitlafonctiongpargpxqxf@xPR.D´emontrernnx parr´ecurrencesurnPNque n p1q1pnqpnq @xPRgpxqfnn1xx derivlocale_9.tex $ ' &1six 0 3πx 18.11Soitfd´efiniepar:fpxq1sinsi0¤x¤12' % 0six¡1

.

(a)fest-elledeclasseC1 surR?fadmet-elleuned´eriv´eeseconde surR? (b)Remplacergsurr01sparunefonctonpolynomialededegr´e minimaltellequegsoitdeclasseC2 surR. derivlocale_10.tex 18.12Soitfd´efiniesurRpar: fpxq# e1 xsix¡0 0six¤0 MontrerquefestdeclasseC8 surRetquepourtoutnPN: fpnq p0q0 derivlocale_13.tex

18.13Soitflafonctiond´efiniesurs1,1rpar: # fpxqx ln|x|cos1 xsix0 fp0q0 (a)Montrerquefestd´erivablesurs1,1r. (b)

11´ Etudierleslimitesdepfpuqqetpfpvqqo`unnnn 11 uetvnnππ 2πn2πn 22 1(c)End´eduirequefn’estpasborn´eeauvoisinagede0. 1(d)fest-elledeclasseCsurs1,1r? derivlocale_23.tex