Mémoire sur les courbes du second ordre à branches infinies

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

C. E. P ^AGE

Mémoire sur les courbes du second ordre à branches infinies

Nouvelles annales de mathématiques 1^re série, tome 1 (1842), p. 61-74

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MÉMOIRE

COURBES DU SECOND ORDRE A BRANCHES INFINIES.

FAR C. E. PAGE, Professeur à l'École royale d'artillerie de La Fére.

SECONDE ET DERNIÈRE PARTIE f ) .

DE L'HYPERBOLE.

16. Dans l'équation A (page 22), posons b"=b et a!'=a'\

ce qui revient à supposer que les deux points P et P" sont sur une même droite parallèle à Taxe des x, et les deux points P' et P" sur une même droite parallèle à l'axe des y ; cette équation se réduit à

C'est l'équation d'une hyperbole rapportée à deux axes parallèles à ses asymptotes. On en conclut ce théorème :

Soit un triangle variable ABC (fig. 17) dont les trois notés sont assujettis à tourner autour de trois points fixes P_, F et P" ; si le sommet A est assujetti à glisser sur une droite fixe OX, parallèle à la droite qui joint le point P" au point V, autour duquel tourne le côté opposé BC ; si le sommet B est assujetti à glisser sur une droite fixe OY, parallèle à la droite qui joint le point P" au point P ' , autour duquel tourne le côté opposé CA : le troisième sommet C décrira une hyperbole

C ) P o u r la J«e p a r t i e d e ce M é m o i r e , voyez la p a g e 20.

À N N . DE M À T H E M . l .

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dont les asymptotes seront parallèles aux deux droites fixes OX et OY.

17. En joignant les quatre points O, P , P', C, on forme un quadrilatère OPP'C ( ftg. 18) inscrit à la courbe; les deux côtés opposés P'C et PO, rencontrent en F, et en E, les droites PK et P'H, menées par les points P et P', parallèlement aux asymptote-. Et, à cause des parallèles, on a :

PF OA QA PP" PP" PE PG Q(T qo P R ' PK"~PO' d'où,

P F P E PG~~ PÔ

Ce qui fait voir que la ligne E F , qui joint les points d'in- tersection des côtés PC et PO, avec les parallèles aux asymp- totes menées par les points P et P', est parallèle au qua- trième côté OC ; on conclut de là ce théorème •-

Un quadrilatère étant inscrit à une hyperbole, si, par deux sommets adjacents à un même côté, on mène deux droites paral- lèles aux asymptotes, et qu'on les prolonge jusqu'à la ren- contre des côtés qui passent par les mêmes sommets, la ligne qui joindra ces points d'intersection, sera parallèle au qua- trième côté.

Ainsi, le quadrilatère OPP'C, [fig. 10), étant inscrit à une hyperbole, si, par les deux sommets P et P', on mène, parallèlement aux asymptotes, des droites qui aillent rencon- trer les côtés FC et PO . aux points F et E , la ligne EF sera parallèle au quatrième côté CO.

18. Les deux sommets , C et O , peuvent se réunir en un seul C {fig. 20), dans ce cas le côté CO devient une tangente à la courbe ; on a donc ce théorème :

Un triangle étant inscrit à une hyperbole, si par deux som- mets on mène deux droites parallèles aux asymptotes jusqu'à

la rencontre des côtés opposés > la ligne qui joindra ces deux points d'intersection, sera parallèle à la tangente menée par le troisième sommet.

Ce théorème donne un moyen facile de résoudre le pro- blème suivant :

Construire la tangente en un point d'une hyperbole, quand on connaît deux autres points de la courbe, et, les directions des asymptotes.

19. Lorsque le côte AB du triangle variable ABC(fig. 17), vient rencontrer la droite fixe OX, au même point que la droije PP' prolongée ( fig. 21 ), le point G se confond avec le point P, et par conséquent, la droite BP se confond avec la tan- gente à la courbe en ce point.

Par les deux points P' et O , menons une transversale qui rencontre la liçne PP" au point D. La droite qui joindra le point B au point D sera parallèle à la droite PP'. En effet, la droite BD prolongée rencontre P P" en F ; les parallèles donnent :

P P ' _ M O P"A ' F⁷F ~ M B ~ F⁷B ' donc BF est parallèle à P'A.

La transversale P'O rencontre la tangente BP au point K , et, à cause de BD parallèle à PP', on a :

KP' KP K D ~ K B

Par le point P, menons parallèlement à Taxe O Y une droite qui rencontre la transversale P'O en E , nous aurons :

KP KE , KP' KE „ . _ . „__ ..^

KB=W> d°U KD = KO °U K P K 0 = K E K D

Les deux points P' et O sont les intersections de la trans- versale avec la courbe, et les deux points E etD, sont les intersections de cette même transversale avec les droites

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menées parallèlement aux asymptotes par le point de con- tact P ; on a donc ce théorème :

Si, par le point de contact d'une tangente à l'hyperbole, on mène deux droites parallèles aux asymptotes, et que, d'un point quelconque pris sur cette tangente, on mène une transversale qui coupe la courbe en deux points, et les deux parallèles aux asymptotes également en deux points : le produit des segments interceptés sur cette transversale entre la tangente et les deux points d'intersection avec la courbe, sera égal au produit des segments interceptés sur cette même transversale, entre la tan- gente et les deux points d'intersection avec les parallèles aux

asymptotes.

Ainsi, par exemple , si, par le point de contact A de la tangente CO (fig. 22), on mène deux droites parallèles aux asymptotes, et que, d'un point O pris sur la tangente , on mène une transversale qui rencontre ces deux parallèles, en

M et N , et la courbe en P et Q ; on aura : OM.ON=OP.OQ.

20. Par les deux points P et Q, menons deux droites respec- tivement parallèles aux deux asymptotes, et qui rencontrent la tangente en B et C, on aura :

O B _ O P O C _ O Q 0A~~0M OA~~ON' multipliant membre à membre, il viendra :

d'où l'on conclut ce théorème :

Si par un point pris dans le plan dune hyperbole, on mène une tangente, et une transversale qui rencontre la courbe en deux points, et que par ces deux points on mène deux droites respectivement parallèles aux asymptotes, h segment compris

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entre le point donné et le point de contact, sera moyen pro- portionnel entre les deux segments compris entre le point donné, et les deux points d'intersection de la tangente avec les deux parallèles aux asymptotes.

Il est facile de voir que la démonstration resterait la même en menant par le point P une parallèle à AN, et par le point

Q, une parallèle à AM.

21. Les trois côtés d'un triangle variable ABC étant assu- jettis à tourner autour des trois points fixes P, F , F ' , {fig. 17), et les deux sommets A et B étant assujettis à glisser sur les deux droites fixes OX et OY respectivement parallèles aux droites PP" et F F ' ; si la droite mobile AB rencontre Taxe OX au même point que la droite fixe P F , la droite qui joint le point B au point P est une tangente à la courbe en ce point (n° 19); de même, si la droite mobile AB dans une seconde position A'B' {fig. 23), rencontre Taxe OY au même point que la droite fixe PP', la droite menée du point A' au point F sera tangente à la courbe au point F ; et il est facile de voir qu'on aura

On démontrerait de la même manière qu'on a OB'a=OM.OB;

on conclut de là ce théorème :

Étant données deux tangentes à Vhyperbole et leur corde de contact, si par un point quelconque de la courbe, on mène une transversale parallèle à Vune des asymptotes, le segment compris sur cette transversale, entre la courbe et la corde de contact, sera moyen proportionnel entre les deux segments compris sur cette même transversale entre la courbe et les deux tangentes.

22. Il peut arriver que les deux points P et F {fig. 17), autour desquels tournent les côtés BC et AC du triangle ABC, soient situés à l'infini; dans ce cas les deux côtés BC et AC

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doivent se mouvoir en restant constamment parallèles aux deux droites fixes OX et OY ; on a donc un triangle variable ABC (fig.%), dans lequel deux sommets A et B glissent sur les deux droites fixes OX et OY ; le côté AB tourne autour du point fixe P" ; enfin, les deux côtés BC et AC, se meuvent en restant parallèles aux deux droites fixes OX et OY. Il est facile de voir que la courbe engendrée par le troisième som- met C est une hyperbole dont les asymptotes sont justement les deux droites menées par le point P", parallèlement aux deux droites fixes OXet OY.

En effet, on a

On a encore OE=AP" et AP"=CF, donc OE~CF ; On conclut de là ces deux théorèmes :

Si dans le plan d'une hyperbole, on mène une transversale qui rencontre la courbe en deux points > et les asymptotes également en deux points; les deux segments interceptés sur cette transversale, entre la courbe et les asymptotes, seront toujours égaux.

En supposant que les deux points d'intersection avec la courbe se réunissent en un seul, la transversale devient une tangente, d'où Ton conclut que : la portion d'une tangente à Vhyperbole interceptée entre les deux asymptotes, est toujours divisée en deux parties égales au point de contact.

23. Considérons l'hexagone circonscrit (fig. 2). Si les deux points P et P', autour desquels tournent les droites P'A et PB, sont situés sur les axes OX et OY, la droite QQ', sur laquelle ces droites sont assujetties à se couper, devient la corde de contact des deux tangentes OX et OY. Si l'on suppose que cette corde de contact passe tout entière à l'infini, les points de contact des tangentes OX et OY s'éloignent à l'infini ; par

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conséquent, ces droites sont les asymptotes d'une hyperbole à laquelle la droite AB doit rester constamment tangente.

Mais quand la droite sur laquelle les deux droites mobiles sont assujetties à se couper, passe tout entière à l'infini, ces deux droites doivent rester constamment parallèles entre elles;

on voit donc que si deux droites PB et P'A (fig. 25), tournant autour de deux points fixes, P et F , respectivement placés sur les axes OX et O Y, sont assujetties à rester parallèles entre elles ; la droite AB, qui joindra les points d'intersection de ces droites avec les axes, restera constamment tangente à une hyperbole dont les deux droites OX et OY sont les asymp- totes.

Il est facile de voir que la droite mobile BA doit venir oc- cuper la position de la droite PP' ; par conséquent, cette der- nière droite est une des tangentes de l'hyperbole.

Les deux points E et F , milieux de PP' et de BA, sont les points de contact de ces deux tangentes ; la corde de contact EF est évidemment parallèle aux droites AP' et BP, et vient rencontrer les asymptotes aux points C et D, milieux des seg- ments AP et BP'. On a donc ce théorème :

Dans rhyperbole, la corde de contact de deux tangentes di- vise en deux parties égales la portion d'asymptote comprise entre ces deux tangentes.

24. Par un point quelconque , M, pris sur l'une des tan- gentes, menons une droite parallèle à la corde de contact, qui rencontre l'autre tangente en N ; et deux droites parallèles aux asymptotes qui rencontrent l'autre tangente en G et H ; il est facile de voir qu'on aura :

KG

K Â K P ~ ~ K B e KÏÏ ~~~ KP "~ KÂ ' d'où 'RG.KH=:KN\

On en conclut ce théorème :

Étant données dei4r tangente* à l'hyperbofr. si d'un point

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quelconque pris sur Vune de ces tangentes, on mène deux droites parallèles aux asymptotes et une droite parallèle à la corde de contact qui aillent couper la seconde tangenteen trois points, le segment compris entre le point d'intersection des deux

tangentes et la parallèle à la corde de contact, sera moyen proportionnel entre les deux segments compris entre le même point et les deux parallèles aux asymptotes.

25. Soit CX (fig.%6) une asymptote de l'hyperbole ; par deux points fixes, P et P', pris sur la courbe, menons deux tangentes qui viennent rencontrer l'asymptote en deux points fixes B et A ; par un troisième point variable, Q_, pris sur la courbe, menons une tangente qui rencontre l'asymptote CX en un point variable C : la différence des distances du point variable C aux deux points fixes A et B sera constante et égale

àAB.

Joignons les deux points fixes P et P' avec le point variable Q, les deux cordes de contact P'Q et PQ passeront par les deux points E et F , milieux de CA et de CB (n° 23), et la diffé- rence des distances du point C aux deux points E et F sera égale à EF moitié de AB ; on tire de là ce théorème :

Si par deux points fixes pris sur le périmètre d'une hyper- bole ^y on fait passer deux droites mobiles assujetties à se couper constamment sur la courbe, la portion d'asymptote comprise entre ces deux droites mobiles sera d'une longueur constante et égale à la moitié de la portion d'asymptote comprise entre les tangentes menées par les deux points fixes.

PROBLÈMES SUR L'HYPERBOLE.

26. 1e r PROBLÈME. Construire une hyperbole connaissant trois points de la courbe, et les directions des asymptotes.

Soient 0 , P , P' (fig. 17) les trois points donnés; par l'un de ces points, 0 , par exemple, menons deux droites OX et OY parallèles aux asymptotes ; par le point P menons une

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droite parallèle à OX, et par le point F une droite parallèle à OY, ces deux droites se coupent en un point P".

Supposons qu'une droite tourne autour du point P", joi- gnons les points A et B, où cette droite rencontre les axes OX et OY, avec les points F et P ; le point G, intersection des deux droites mobiles AF et BP, décrira la courbe ( n° 16 ).

On peut construire immédiatement le centre et, par suite, tous les éléments de la courbe. Pour cela, on construira la tangente en chacun des trois points donnés ( n° 18 ) ; la droite menée par le point d'intersection de deux tangentes et le mi- lieu de la corde de contact, sera un diamètre; l'intersection de deux diamètres déterminera le centre.

27. 2m e PROBLÈME. Construire une hyperbole connaissant trois tangentes et les directions des asymptotes.

Soient AB e t P F [fig. 25), deux des trois tangentes don- nées : par un point, M, pris sur la tangente P F , menons deux droites parallèles aux asymptotes, qui rencontrent la tan- gente AB aux points G et H ; à partir du point K, intersection des deux tangentes, portons sur la tangente AB une lon- gueur KN, moyenne proportionnelle entre KG et KH : la ligne menée du point M au point N sera parallèle à la corde de contact (n° 24) ; par conséquent, la ligne menée par le point K et par le milieu de MN sera un çles diamètres de la courbe.

En faisant la même construction, par rapport à la tan- gente P F et à la troisième tangente donnée, on aura un se- cond diamètre et, par conséquent, le centre.

La longueur KN peut être portée de part et d'autre du point K, ce qui donne deux diamètres différents passant par le point K. Par la même raison, on aura deux diamètres dif- férents passant par l'intersection de la tangente PP', avec la troisième tangente donnée; il s'en suit que le problème a quatre solutions.

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28. 3m« PROBLÈME. Construire une hyperbole connaissant deux points, une tangente, et les directions des asymptotes.

Soient P et Q (fig. 22), les deux points donnés; CO, la tangente : le problème serait résolu si l'on connaissait le point de contact.

Joignons les deux points P et Q, et prolongeons la droite PQ jusqu'à la rencontre de la tangente au point 0 . Par le point P, menons une parallèle à l'une des asymptotes, et par le point Q, une parallèle à l'autre. Ces deux droites iront rencontrer la tangente en deux points B e t c . À partir du point 0 , prenons, sur la tangente, une longueur OA moyenne proportionnelle entre OB et OC : le point A sera le point de contact cherché (n° 20).

La longueur OA pouvant être portée de part et d'autre du point 0 , le problème a deux solutions.

L'un des deux points donnés pourrait être situé sur la tangente.

Soit OC 1 a tangente ; A, son point de contact ; Q, le second point donné.

Par le point A, menons deux droites parallèles aux asymp- totes; par le point Q menons une droite quelconque qui ren- contre la tangente au point 0 , et les deux parallèles aux asymptotes en M et N Sur cette droite, prenons un point P tel que l'on ait 0P.0Q=0M.0N ; le point P sera situé sur la courbe (n° 19).

Le problème n'a qu'une seule solution.

29. k° PROBLÈME. Construire une hyperbole, connaissant deux tangentes, un point, et les directions des asymptotes.

Soient AB et CD {fig. 27) les deux tangentes, et G le point donné : le problème serait résoJu si l'on connaissait les points de contact des tangentes.

Parle point G, menons parallèlement à l'une des asymp-

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totes, une droite qui rencontre les tangentes en M et N ; pre- nons le point F tel que l'on ait :

La corde de contact devra passer par le point F ( n° 21).

Par le point G, menons parallèlement à la seconde asymptote une droite qui rencontre les tangentes en P et Q ; prenons un point E tel que Ton ait :

La corde de contact devra passer par ce second point ; les points de contact seront donc donnés par les intersections de la droite FE, avec les tangentes.

Les segments, GE et GF ,• pouvant être portés de part et d'autre du point G, il s'en suit que le problème a quatre solutions.

Le point donné pourrait être situé sur l'une des deux tan- gentes données. v

Soient AB, CD (fig. 29) les deux tangentes, et P le point de contact.de la tangente AB. Par le point P, menons paral- lèlement aux asymptotes, deux droites qui rencontrent la tangente CD , aux points C et E. A partir du point G, inter- section des tangentes, portons un segment GQ, moyen pro- portionnel entre GE et GC. La corde de contact devra passer par le point Q ; on aura donc cette corde de contact, en joignant le point P au point Q.

Par le point G menons, parallèlement aux asymptotes ^ deux droites qui rencontrent la corde de contact aux points M et N. Les points E et F , milieux des segments GM, et GN, appartiendront à la courbe,

Le segment GQ pouvant être porté de part et d'autre du point G , le problème a deux solutions.

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30. 5° PROBLÈME. Construire une hyperbole connaissant une asymptote et trois points.

Soient A, B , C (fig. 31) les trois points donnés £OX l'asymptote. Joignons le point A au point B, et prolongeons AB jusqu'à la rencontre de l'asymptote en Q. A partir du point A, portons sur AB une longueur AP, égale à BQ. Le point P étant pris entre A et B, ou sur le prolongement, sui- vant que le point Q est lui-même situé entre A et B ou sur le prolongement, ce point P appartient à la seconde asymptote.

On déterminera de la même manière sur AC un second point de la seconde asymptote.

31. 6^e PROBLÈME. Construire une hyperbole connaissant trois tangentes et une asymptote.

Soient OX l'asymptote (fig. 28); AC, BC et DE, les trois tangentes.

Les trois tangentes et l'asymptote forment un quadrilatère complet circonscrit à la courbe ; ce quadrilatère complet se décompose en trois quadrilatères simples ; or, on sait que dans tout quadrilatère simple circonscrit à une courbe du second ordre, la corde de contact des deux côtés opposés passe par le point de croisement des deux diagonales, (Voyez Complément de géométrie analytique, p. 24-1); le point de contact de l'asymptote OX est situé à l'infini, par conséquent, la ligne qui joint ce point de contact, avec le point de contact de l'une des trois autres tangentes, doit être parallèle à cette asymptote.

Par le point G, où se croisent les deux diagonales CD et AF du quadrilatère simple ADFC, faisons passer une droite parallèle à OX, cette droite ira rencontrer le côté opposé CF, en un point H qui sera le point de contact de ce côté.

En considérant successivement les deux autres quadrila- tères simples, on déterminerait de la même manière les points de contact des deux autres tangentes.

32. 7* PROBLÈME. Construire une hyperbole, connaissant deux points , une tangente et une asymptote.

Soient A et B ( fig. 30 ) les deux points ; CD, la tangente ; et OX l'asymptote : menons la ligne AB, et prolongeons la jus- qu'à ce qu'elle rencontre la tangente en N, et l'asymptote en M. Construisons les deux points doubles Q et Q' qui appar- tiennent au système d'involution déterminé par les quatre points A, B,M, N (Voyez Complément de géométrie analy- tique, 217). La corde de contact de la tangente CD et de l'asymptote OX, devra passer par l'un de ces deux points. Or, cette corde de contact doit être parallèle à l'asymptote ; par conséquent, en menant par le point Q, une parallèle à OX, cette parallèle rencontrera la tangente CD en un point E, qui sera le point de contact de cette tangente.

Comme on peut mener cette parallèle par le point Q, ou par le point Q', le problème a deux solutions.

Dans le cas où l'un des deux points donnés est situé sur la tangente, le problème n'a qu'une seule solution.

33. 8e PROBLÈME. Construire une hyperbole, connaissant deux tangentes , unpoint et une asymptote.

Soient AB, CD (/£</. 32) les deux tangentes ; OX l'asymp- tote ; et G, le point donné.

Par le point G menons, parallèlement à l'asymptote, une droite qui rencontre les deux tangentes en P et Q ; prenons les points K et K', tels que l'on ait :

G K²= G K " = G P . G Q

La corde de contact devra passer par l'un de ces deux points ( n° 21 ). Elle doit aussi passer par le point E , milieu de CA (n°23); par conséquent, si l'on mène la ligne KE, les points M et N, où elle rencontrera les deux tangentes, seront les points de contact de ces tangentes.

— n —

Comme on peut joindre le point E, avec l'un ou l'autre des deux points K ou K/, le problème a deux solutions.

Le point donné peut être situé sur Tune des deux tan- gentes. Soient AB, CD (fig. 33) les deux tangentes; OX l'asymptote; M, le point de contact delà tangente AB. En joignant le point M avec le point E , milieu du segment CA intercepté sur l'asymptote, entre les deux tangentes, on aura la corde de contact, et par suite le point de contact de la tan- gente CD.