An 4 Fonctions etude locale

Master MEEF Maths Capes Externe

UE 2 ORAL 2

2013-2014

DOSSIER An 4 Fonctions : étude locale

L’exercice

Soit 𝑓 la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 𝜋] par : 𝑓(𝑥) = 𝑒^{− cos 𝑥} . On note 𝐶 sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère (O ; 𝑖⃗ , 𝑗⃗ ) .

On se propose de rechercher le nombre de tangentes à la courbe 𝐶 passant par l’origine O du repère.

1) Soit 𝑎 un réel appartenant à l’intervalle [0 ; 𝜋] et A le point de la courbe 𝐶 ayant pour abscisse 𝑎 . Ecrire une équation de la tangente en A à 𝐶 et prouver que cette tangente passe par le point O si et seulement si sin 𝑎 −¹_𝑎= 0 .

2) On définit la fonction 𝜓 sur l’intervalle ] 0 ; 𝜋] par 𝜓(𝑥) = sin 𝑥 − ¹_𝑥 .

En étudiant les variations de la fonction 𝜓 sur l’intervalle ] 0 ; 𝜋] , déterminer le nombre de solutions de l’équation 𝜓(𝑥) = 0 sur cet intervalle et en déduire le nombre de tangentes à la courbe 𝐶 passant par l’origine O du repère.

Les réponses proposées par deux élèves à la question 2

Elève 1.

Je ne sais pas étudier les variations de la fonction 𝜓 mais je peux répondre à la question posée à l’aide de ma calculatrice. Je trace la courbe de cette fonction sur l’écran de ma calculatrice, je choisis une bonne fenêtre (xmin = 0, xmax = 4, ymin =−1 , ymax = 2) ; je vois que la courbe coupe deux fois l’axe de abscisses ce qui veut dire que la fonction s’annule deux fois. Il y a donc deux tangentes à la courbe C qui passent par l’origine.

A l’aide de la touche G-Solv, j’ai même les valeurs approchées des abscisses des deux points de la courbe : 1,114 et 2,772 .

Elève 2.

𝜓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 − ¹_𝑥 donc 𝜓′(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + _𝑥¹₂ . Je ne sais pas étudier le signe de 𝜓′ donc je dérive encore une fois : 𝜓^′′ (𝑥) = − 𝑠𝑖𝑛 𝑥 − ^2𝑥

𝑥⁴ . Sur ] 0 ; 𝜋] , − sin 𝑥 < 0 , −2𝑥 < 0 donc 𝜓^′′ (𝑥) < 0 , 𝜓′ est donc décroissante .

De plus, 𝜓^′( 𝜋) < 0 et la limite en 0 de 𝜓′ est +∞ . Alors d’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel 𝛼 sur ] 0 ; 𝜋] tel que : 𝜓^′(𝛼) = 0.

Comme 𝜓′ est décroissante, elle est d’abord positive puis négative, alors je conclus que la fonction 𝜓 est croissante sur ] 0 ; 𝛼] et décroissante sur [𝛼 ; 𝜋].

Je ne sais pas continuer parce que ces variations ne me donnent pas le nombre de solutions de l’équation 𝜓(𝑥) = 0 .

Le travail à exposer devant le jury.

1. a. Analysez la production de l’élève 1 en mettant en évidence les compétences qu’il a acquises.

b. Analysez la production de l’élève 2 en mettant en évidence ses acquis dans le domaine de l’analyse.

2. Exposez une correction de la question 2 comme vous le feriez devant une classe de terminale S.

3. Proposez deux autres exercices sur le thème « Fonctions : étude locale » .