Seconde 6 DS7 correction 26 mars 2016 Exercice 1 : Questions de cours : Fonction inverse (0 points)
1. L’ensemble de d´efinition est ]− ∞; 0[∪]0; +∞[
2. f(x) = 1x
3. f est strictement d´ecroissante sur ]−∞; 0[ et strictement d´ecroissante sur ]0; +∞[
(on attend un tableau de variations).
4. La courbe est une hyperbole.
5. Cette courbe est sym´etrique par rapport `a l’origine.
Exercice 2 : Reconnaissance d’une courbe (0 points)On trace les droites d’´equations x = −2 et y = 2. La fonction est d´ecroissante et d´ecroissante.
Il existe doncλun r´eel positif tel quef(x) = 2 + λ x+ 2
On remarque graphiquement quef(1) = 3, d’autre partf(1) = 2 + λ
1 + 2 = 2 +λ 3. On a donc 1 = λ
3 c’est-`a-dire λ= 3. On a alors : f(x) = 2 + 3 x+ 2.
Exercice 3 : Position dans l’espace (0 points)
1. a. (AB)//(HG).
b. (AF) et (BG) non coplanaires.
c. (BK) et (CG) s´ecantes enG.
d. (EF) et (ADH) s´ecante enE.
e. (EF) et (ABG) sont parall`eles.
f. (AK) et (EF G) sont s´ecantes en un point sur (HG).
g. (EF G) et (ABC) sont parall`eles.
h. (ABK) et (CDH) sont s´ecantes en (HG)
i. (DBK) et (EF G) sont s´ecantes en une droite passant parG et parall`ele `a (DB).
2. On se place dans le triangle ADB. J milieu de [AD] et L milieu de [AB] donc par le th´eor`eme des milieux. (J L)//(DB). EF GH et ABCD sont deux carr´es parall`eles dans un cube leur diagonale sont donc parall`ele, donc (HF)//(DB).
Par transition, on en conclut que (J L)//(HF).
Exercice 4 : ´Etude d’une fonction homographique (0 points) Soitf la fonction d´efinie parf(x) =−3x+ 10
x−5 1. f est d´efinie sur ]− ∞; 5[∪]5; +∞
2. f(6) = −3×6 + 10
6−5 = −8 etf 12
= −32+ 10
1
2−5 = −17 9 3. R´esoudre les ´equations suivantes :
E1 Pour x6= 5,f(x) = 0 ssi−3x+ 10 = 0 ssix= 10
3 . S=10 3
E2 Pour x 6= 5, f(x) = 2 ssi −3x+ 10
x−5 − 2x−10
x−5 = 0 ssi −5x+ 20
x−5 = 0 ssi
−5x+ 20 = 0 ssix= 4. S ={4}
E3 Pour x 6= 5, f(x) = −3 ssi −3x+ 10
x−5 + 3x−15
x−5 = 0 ssi −5 x−5 = 0 Il n’y a pas de solution.
E4 Pour x 6= 5, f(x) = −3x−2 ssi −3x+ 10
x−5 + (3x+ 2)(x−5)x−5 = 0 ssi
−3x+ 10 + 3x2+ 2x−15x−10
x−5 = 0 ssi 3x2−16x
x−5 = 0 ssix(3x−16) = 0 : S=
0;163 4. −3 + −5
x−5 = −3(x−5)−5
x−5 = −3x+ 15−5
x−5 = −3x+ 10
x−5 =f(x). On vient de mettref sous forme canonique. Au d´ebutf ´etait sous forme r´eduite.
5. Il faut tracer les droites d’´equations x= 5 ety =−3 puis tracer une hyperbole sachant quef est croissante et croissante.
6. a > b >5 ssia−5> b−5>0 ssi 1
a−5 < 1
b−5 (car la fonction inverse est stric- tement d´ecroissante sur ]0; +∞[) ssi −5
a−5 > −5
b−5 ssi−3 + −5
a−5 >−3 + −5 b−5. On a biena > b >5 ssif(a)> f(b).
On vient de d´emontrer que f est strictement croissante sur ]0; +∞[
Exercice 5 : Probl`eme (0 points)
1. Il s’agit d’une pyramide `a base carr´e
2. On calcule l’aire du carr´e : 9 × 9 = 81 c’est-`a-dire 81cm2 puis le vo- lume est donn´ee par la formule V = 1
3 × B × h = 81×12
3 = 324.
Le volume du t´etra`edre est donc 324cm3 . 3. Appelonsxla distanceAM
Calculons l’aire du carr´eM N P Q, pour cela calculonsM N.
(M N)//(AB) (Car la surface de l’eau est plate) donc par Thal`es appliqu´e dans le triangleSAB, M N
AB = SM AS =SN
SB. DoncM N =AB×SM
AS = 9×(12−x)
12 =
3(12−x)
4 .
L’aire du carr´e est donc 9(12−x)2
16 .
Le volume deM N P S est donn´e par 9(12−x)2
16 ×(12−x)×1
3 =3(12−x)3)
16 .
On souhaite que 2 × VM N P QS = VABCDS On cherche donc `a r´esoudre 3(12−x)3)
8 = 324 c’est-`a-dire (12−x)3 = 864. On trace la fonction g : x 7→
(12−x)3−864 `a la calculatrice, on cherche αtel que g(α) = 0, on trouve une solution approximativeα≈2,48 `a 10−2 pr`es.
Il faut donc mettreM `a environ 2,48 cm deA.
