Exercice 1 – Que de 2… pour se mettre en jambes ! (3 points)

Lycée Fénelon Sainte-Marie Terminales S5

Année 2015-2016 Mathématiques

Lundi 21 septembre 2015 Durée : 2 heures DTL N°1

Corrigé

Exercice 1 – Que de 2… pour se mettre en jambes ! (3 points)

Pour tout entier naturel n, on pose : ^{1 2 3}

0

2 1 2 2 2 ... 2

n

k n

n k

S

=

= ∑ = + + + + + ^.

Démontrer par récurrence que l’on a : S _n = 2 ^{n + 1} − 1 .

On considère la propriété : « ^{1 2 3}

0

, 2 1 2 2 2 ... 2

n

k n

n k

n S

=

∀ ∈ ^` = ∑ = + + + + + ^».

Initialisation.

0 n = .

Par définition de S _n , on a :

0

0 0

0 0

2 2 1

k

S

=

= ∑ = = ^.

Par ailleurs, pour n = 0 , on a : 2 ^{n+ 1} − = 1 2 ^{0 1 +} − = − = 1 2 1 1 Ainsi : S ₀ = 2 ^{0 1 +} − 1 .

La propriété est donc vraie au rang n = 0 . Elle est initialisée.

Hérédité.

On suppose que la propriété est vraie à un rang N quelconque fixée.

On a donc : ^{1 2 3 1}

0

2 1 2 2 2 ... 2 2 1

N

k N N

N k

S ⁺

=

= ∑ = + + + + + = − ^. Il vient alors :

( )

( )

1

1 2 3 1

1 0

1

1 1

1 1 1

2 1 2 2 2 ... 2 2

2

2 1 2 d'après l'hypothèse de récurrence

2 2 1

2 1

N

k N N

N k

N N

N N

N N

S S

+ +

+

= +

+ +

+ + +

= = + + + + + +

= +

= − +

= × −

= −

∑

La propriété est donc vraie au rang N + 1 . Elle est héréditaire.

Conclusion.

La propriété est initialisée au rang n = 0 et elle est héréditaire. Elle est donc vraie pour tout entier naturel n.

1 2 3 1

0

, 2 1 2 2 2 ... 2 2 1

n

k n n

n k

n S ⁺

=

∀ ∈ ^` = ∑ = + + + + + = −

Exercice 2 – A vous de jouer ! (4 points)

On s’intéresse à la suite ( ) I n définie par :

( )

, _n 1 3 5 7 ... 2 1

n I n

∀ ∈ ` = + + + + + +

1. Donner les valeurs de I ₀ , I ₁ , I ₂ , I ₃ , I ₄ et I ₅ . 2. Conjecturer l’expression de I _n en fonction de n.

3. Démontrer la conjecture précédente à l’aide d’un raisonnement par récurrence.

1. On a facilement :

0 1

I = , I ₁ = + = 1 3 4 , I ₂ = + + = 1 3 5 9 , I ₃ = + + + = 1 3 5 7 16 ,

4 1 3 5 7 9 25

I = + + + + = et I ₅ = + + + + + = 1 3 5 7 9 11 36 .

2. Les nombres encadrés ci-dessus correspondent aux carrés des premiers entiers naturels (1, 2, 3, 4, 5 et 6). On peut alors conjecturer :

Conjecture : ∀ ∈ n ` ^, I n = ( n + ¹ ) ²

3. On considère la propriété : ∀ ∈ n ` ^, I n = ( n + ¹ ) ² . Initialisation.

0 n = .

On a : I ₀ = 1 et, d’autre part : ( ^{n + 1} ) ( ^{2 = 0 1 +} ) ^{2 = = 1 2 1 .}

La propriété est donc vraie au rang n = 0 . Elle est initiée.

Hérédité.

Supposons que la propriété soit vraie à un rang N quelconque fixée.

On a donc : I _N = + + + + + 1 3 5 7 ... ( 2 n + = 1 ) ( n + 1 ) ² . On s’intéresse à I _{N + 1} et on veut montrer :

( ) ( ( ) )

( )

( ) ( )

1

2 2

2

1 3 5 7 ... 2 1 2 1 1

1 1 2

4 4

I N n n

n n

n n

+ = + + + + + + + + +

= + + = +

= + +

On a :

( ) ( )

( ) ( )

( )

1

2

2 2

2

1 3 5 7 ... 2 1 2 3

1 2 3

2 1 2 3 4 4

2

N

N

I

I n n

n n

n n n

n n

n

+ = + + + + + + + +

= + + +

= + + + +

= + +

= +

L’égalité est bien vérifiée au rang N + 1 , la propriété est vraie à ce rang. Elle est héréditaire.

Conclusion.

La propriété est initialisée au rang n = 0 et elle est héréditaire. Elle est donc vraie pour tout entier naturel n.

( ) ( ) ²

, _n 1 3 5 7 ... 2 1 1

n I n n

∀ ∈ ` = + + + + + + = +

Exercice 3 – Tout en variation… (3 points)

Soit ( ) u n et ( ) v n les suites définies, pour tout entier naturel n, par :

1 1 1 1

1 ....

1! 2! 3! !

1 1 1 1 1

1 ....

1! 2! 3! ! !

n

n

u n

v n n

= + + + + +

= + + + + + +

Montrer que la suite ( ) u n est strictement croissante et que la suite ( ) v n est strictement décroissante pour n ≥ 2 .

Rappel : ∀ ∈ n ` *, ! 1 2 3 ... n = × × × × n et 0! 1 = . Pour tout entier naturel n, on a :

( )

( )

( )

1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 .... 1 ....

1! 2! 3! ! 1 ! 1! 2! 3! !

1 1 ! 1

1 !

n n

n n

u u

n n n

u u

n n

+ − = + + + + + + + − + + ⎛ ⎜ ⎝ + + + ⎞ ⎟ ⎠

= + −

+

= +

Comme une factorielle est toujours strictement positive, on a

( )

1

, 1 0

n n 1 !

n u u

+ n

∀ ∈ − = >

` + et, finalement :

La suite ( ) u n est strictement croissante.

On a par ailleurs :

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 .... 1 ....

1! 2! 3! ! 1 ! 1 ! 1! 2! 3! ! !

2 1 2 1 2 1

1 ! ! 1 ! 1 ! 1 ! 1 !

1 1 !

n n

v v

n n n n n

n n

n n n n n n n

n n

+ − = + + + + + + + + + − + + ⎛ ⎜ ⎝ + + + + ⎞ ⎟ ⎠

+ +

= − = − = −

+ + + × + +

= − +

On a : n ≥ ⇔ > ⇔ − < 2 n 1 1 n 0 . On en déduit alors : v _{n + 1} − < v _n 0 . La suite ( ) v n est strictement décroissante pour n ≥ 2 .

Exercice 4 – Et une suite, une ! (4 points)

Soit ( ) u n la suite définie par :

( )

0

1

4 3

, _{n n}

u

n u ₊ f u

⎧ >

⎪ ⎨

⎪∀ ∈ =

⎩ `

où f est la fonction définie sur \ par f x : 6 3 x ² − 4 . 1. Etudier les variations de la fonction f sur \ .

2. Démontrer par récurrence que l’on a : 4 , ⁿ 3

n u

∀ ∈ ` > .

3. Résoudre l’équation ^{f x} ( ) ^{= x} puis factoriser le trinôme 3 x ² − − x 4 . 4. Démontrer que la suite ( ) u n est strictement croissante.

1. La fonction f est dérivable sur \ en tant que fonction polynôme. Pour tout x réel, on a :

( )

' 6

f x = x . On en tire immédiatement :

• Si x < 0 alors ^{f '} ( ) ^{x < 0 .}

• ^{f ' 0} ( ) ^{= 0 .}

• Si x > 0 alors ^{f '} ( ) ^x > ⁰ .

En en déduit alors :

La fonction f est strictement décroissante sur \ ₋ et strictement croissante sur \ ₊ . 2. Soit la propriété « 4

, ⁿ 3

n u

∀ ∈ ` > ».

Initialisation.

0 n = .

Par définition de la suite ( ) u n , on a ₀ 4 u > 3 .

La propriété est donc vraie au rang n = 0 . Elle est initialisée.

Hérédité.

Supposons que la propriété soit vraie à un rang N, entier naturel quelconque fixé.

On suppose donc que l’on a : 4

N 3 u > .

Comme la fonction f est strictement croissante sur \ ₊ , il vient : ( ) ⁴

N 3

f u f ⎛ ⎞

> ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ .

( ) N N +1

f u = u et

4 4 2 16 16 12 4

3 4 3 4

3 3 9 3 3 3

f ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = × ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − = × − = − = .

Ainsi : ( ) +1

4 4

3 3

N N

f u > f ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⇔ u > .

La propriété est vraie au rang N + 1 . Elle est héréditaire.

Conclusion.

La propriété est initialisée au rang n = 0 et elle est héréditaire. Elle est donc vraie pour tout entier naturel n.

, 4

n 3

n u

∀ ∈ ` >

3. ^{f x} ( ) ^{= ⇔ x 3 x 2 − = ⇔ 4 x 3 x 2 − − = x 4 0 .}

On peut résoudre cette dernière équation en procédant classiquement (calcul du

discriminant, etc.). On peut aussi remarquer que 1 − est « racine évidente ». On peut aussi se rappeler qu’à la question précédente, nous avons obtenu 4 4

3 3

f ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ … On trouve facilement les deux solutions : 1 − et 4

3 . Il vient alors : ^{3 2 4 3} ( ¹ ) ⁴

x − − = x x + ⎛ ⎜ ⎝ x − 3 ⎞ ⎟ ⎠ .

( ) ¹

f x = ⇔ = − x x ou 4

x = 3 . ^{3 2 4 3} ( ¹ ) ⁴

x − − = x x + ⎛ ⎜ ⎝ x − 3 ⎞ ⎟ ⎠

4. Pour tout entier naturel n, on a, en utilisant la factorisation de la question précédente :

( ) ^{2 2} ( )

1

3 4 3 4 3 1 4

n n n n n n n n n n 3

u ₊ − u = f u − u = u − − u = u − − = u u + ⎛ ⎜ ⎝ u − ⎞ ⎟ ⎠

Comme on a, d’après la deuxième question, 4 , ⁿ 3

n u

∀ ∈ ` > , il vient immédiatement :

4 0

n 3

u − > , 4

1 1 0

n 3

u + > + > et enfin : 1 ( )

3 1 4 0

n n n n 3

u ₊ − u = u + ⎛ ⎜ ⎝ u − ⎞ ⎟ ⎠ > . On en déduit finalement :

La suite ( ) u n est strictement croissante.

Exercice 5 – Une limite infinie. (3 points)

Soit ( ) u n la suite définie par :

0 1

, _n 3

u

n u n

⎧⎪ >

⎨ ∀ ∈ = +

⎪⎩ `

Démontrer, en utilisant la définition, que l’on a : lim _n

n u

→+∞ = +∞ . Soit A un réel positif quelconque fixé.

On cherche un rang N tel que : n ≥ N ⇒ u _n ≥ A .

On a : u _n ≥ ⇔ A n + ≥ ⇔ + ≥ 3 A n 3 A ² ⇔ ≥ n A ² − 3 .

Le réel A ² − 3 peut être strictement négatif. On doit donc, en toute rigueur distinguer deux situations :

• Si A ² − < 3 0 , on prend N = 0 .

• Si A ² − ≥ 3 0 , on prend pour N un entier naturel supérieur à A ² − 3 , par exemple

( ² )

E A − + 3 1 (où ^E ( ^{A 2 − 3} ) désigne la partie entière de A ² − 3 ).

Dans les deux cas, on a pu trouver N.

On peut finalement conclure :

lim _n

n u

→+∞ = +∞

Exercice 6 – (Presque) Un peu de tout… (3 points)

Déterminer les limites des suites suivantes : 1. u _n = − 5 n ⁴ − 8 n + 11

2.

5

5 4

2 4 17

13 1

n

n n

v n n

− +

= − + −

3.

12 7

15

15 2

7 11

n

n n n n n

w

n n

− + −

= − +

1. On a :

( )

( ) ( )

4

Somme

4

lim 5

lim 8 lim 5 8 11

lim 11 11

n

n n

n

n

n n n

→+∞

→+∞ →+∞

→+∞

− = −∞ ⎫

− = −∞ ⇒ ⎪⎪ ⎬ − − + = −∞

= ⎪ ⎪⎭

( ⁴ )

lim _n lim 5 8 11

n u n n n

→+∞ = →+∞ − − + = −∞

2. Une analyse rapide conduit pour le numérateur et pour le dénominateur à deux formes indéterminées du type « ∞ − ∞ ».

On a alors, pour tout entier naturel n non nul :

5

5 5 5

5 4 4

5

5 5

4 5

5

4 17

2 1

2 4 17 2 2

13 1 1

13 1

13 13

2 17

2 1 2

1 1

13 1 13 13

n

n n

n n n n

v n n n

n n n

n n

n n

⎛ − + ⎞

⎜ ⎟

− + ⎝ ⎠

= =

− + − − ⎛ ⎜ ⎝ + − − − ⎞ ⎟ ⎠

⎛ + − + ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

= − ⎛ ⎜ ⎝ + − + ⎞ ⎟ ⎠

Sachant que l’on a (limite de suites de référence) : 1 1 ₄ 1 ₅

lim lim lim 0

n ^→+∞ n = n ^→+∞ n = n ^→+∞ n = , il vient :

Somme

4 4 5 4 5

5

lim 1 1

2 2 17 2 17

lim 0 lim 1 1 lim 2 1 2

2 2

lim 17 0

2

n

n n n

n

n n n n n

n

→+∞

→+∞ →+∞ →+∞

→+∞

⎫ ⎪

= ⎪

− ⎪ − ⎡ − ⎤

⎛ ⎞ = ⎬ ⇒ ⎛ + + ⎞ = ⇒ ⎛ + + ⎞ =

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎜ ⎟ ⎥

⎝ ⎠ ⎪ ⎝ ⎠ ⎣ ⎝ ⎠ ⎦

⎛ ⎞ = ⎪ ⎪

⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎭

Somme

5 5

5

lim 1 1

1 1 1 1 1

lim 0 lim 1 1 lim 13 1 13

13 13 13 13 13

lim 1 0

13

n

n n n

n

n n n n n

n

→+∞

→+∞ →+∞ →+∞

→+∞

⎫ ⎪

= ⎪

⎪ ⎡ ⎤

⎛ ⎞ = ⎬ ⇒ ⎛ + + ⎞ = ⇒ − ⎛ + + ⎞ = −

⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟ ⎢ ⎜ − ⎟ ⎥

⎝ ⎠ ⎪ ⎝ ⎠ ⎣ ⎝ ⎠ ⎦

⎛ ⎞ = ⎪ ⎪

⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎭

Alors :

4 5 division 4 5

5 5

2 17 2 17

lim 2 1 2 2 1

2 2 2

lim 1 1 13

1 1 13 1

lim 13 1 13

13 13

13 13

n

n n

n n n n

n n

n n

→+∞

→+∞

→+∞

⎡ ⎛ ⎜ + − + ⎞ ⎟ ⎤ = ⎫ ⎪ ⎛ + − + ⎞

⎢ ⎝ ⎠ ⎥ ⎜ ⎟

⎣ ⎦ ⎪ ⎬ ⇒ ⎛ ⎝ ⎠ ⎞ = −

⎡ − ⎛ ⎜ + + ⎞ ⎟ ⎤ = − ⎪ − ⎜ + + ⎟

⎢ ⎝ − ⎠ ⎥ ⎪ ⎝ − ⎠

⎣ ⎦ ⎭

5

5 4

2 4 17 2

lim lim

13 1 13

n n n

n n

v n n

→+∞ →+∞

− +

= = −

− + −

3. Une analyse rapide conduit encore pour le numérateur et pour le dénominateur à deux formes indéterminées du type « ∞ − ∞ ».

On a alors, pour tout entier naturel n non nul :

7 12

12 12 12

12 7

15

15

15 15

7 12

7 5 11 12

12 2

14 15

5 11 12

2

14

15 2

1

15 2

7 11 11

7 1

7 7

15 2

1

7 1 11

7 7

1 15 2

1

1 11

7 1

7

n

n n n

n n

n n n n n n

n n n n n

w

n n n

n n n

n n n

n n

n n n n n n n n

n n n n n

n n n n

n n n n n

n n

n n

⎛ + − + + − ⎞

⎜ ⎟

− + − ⎝ ⎠

= =

⎛ ⎞

− + ⎜ + − + ⎟

⎝ ⎠

⎛ + − + + − ⎞

⎜ ⎟

× ×

⎝ ⎠

= × × × ⎛ ⎜ ⎝ + × − × + ⎞ ⎟ ⎠

− −

+ + +

= + − + ₁₅

7n

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

Comme lim ² lim ⁵ lim ¹² lim ¹⁴ lim

n n n n n n n n n n

→+∞ = →+∞ = →+∞ = →+∞ = →+∞ = +∞ (limites de suites de référence), il vient (produit) lim ² lim ⁵ lim ¹² lim ¹⁴

n n n n n n n n n n n n

→+∞ = →+∞ = →+∞ = →+∞ = +∞ et

donc (division) :

2 5 12 14

1 1 1 1

lim lim lim lim 0

n ^→+∞ n n = n ^→+∞ n n = n ^→+∞ n n = n ^→+∞ n n = .

On a alors :

5

somme

5 11 12

11

12

lim 1 1

lim 1 0

1 15 2

lim 1 1

lim 15 0

lim 2 0

n

n

n n

n

n n

n n n n n

n n n

→+∞

→+∞

→+∞

→+∞

→+∞

= ⎫ ⎪

− ⎪

= ⎪ ⎪ ⇒ ⎬ ⎛ ⎜ ⎝ + − + + − ⎞ ⎟ ⎠ =

= ⎪ ⎪

− ⎪

= ⎪ ⎭

Puis :

somme

multiplication

14 14 15 2

14 15

15

2

lim 1 1

1 1 11

lim 7 0 lim 1 7 7 1 lim 7 1 1 11

7 7 lim 11 0

7

lim 7

n

n n

n n

n

n n n n n n n

n n n n

n n

→+∞

→+∞ →+∞

→+∞

→+∞

→+∞

⎫ ⎫

= ⎪ ⎪

⎪ ⎪

− = ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⇒ ⎛ ⎜ ⎝ + − + ⎞ ⎟ ⎠ = ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⇒ ⎡ ⎢ ⎣ ⎛ ⎜ ⎝ + − + ⎞ ⎟ ⎠ ⎤ ⎥ ⎦ = +∞

= ⎪ ⎭ ⎪ ⎪

= +∞⎭ ⎪

Et enfin :

5 11 12 division 5 11 12

2 2

14 15 14 15

1 15 2 1 15 2

lim 1 1 1

lim 0

1 11

1 11

7 1

lim 7 1

7 7 7 7

n

n n

n n n n n n n n n n

n n n n

n n n n n n

→+∞

→+∞

→+∞

− − ⎫

⎛ + + + ⎞ = ⎪ + − + + −

⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎪ ⇒ ⎬ ⎛ − ⎞ =

⎡ ⎛ + − + ⎞ ⎤ = +∞ ⎪ ⎜ + + ⎟

⎢ ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ ⎥ ⎪ ⎝ ⎠

⎣ ⎦ ⎭

12 7

15

15 2

lim lim 0

7 11

n n n

n n n n n

w

n n

→+∞ →+∞

− + −

= =

− +