Etude locale des fonctions ´

(1)

MPSI B FEUILLE D’EXERCICES 9 23 novembre 2003

Etude locale des fonctions ´

1. Soit f et g deux fonctions lipschitziennes sur un intervalle I de R . Montrer que si f et g sont born´ ees alors f g est lipschitzienne. Montrer qu’il n’en est plus n´ ecessairement de mˆ eme si on ne suppose plus les fonctions born´ ees.

2. Soit f une fonction d´ efinie sur [0, +∞[ et born´ ee sur tout intervalle de longueur 1. On d´ efinit g sur le mˆ eme intervalle par g(x) = f (x + 1) − f (x). On suppose que g converge en +∞ vers un r´ eel l. Soit φ tel que φ(x) =

^f(x)_x

, montrer que φ converge vers l en +∞.

3. Soit f d´ efinie par f (0) = 1 et f (x) = x E(

_x¹

) si x 6= 0.

Etudier la continuit´ e de f ; en particulier en 0 et en

1

p

pour p ∈ Z

^∗

.

4. Etudier la continuit´ e en tout point des applications suivantes :

f (x) =

cos x si x ∈ Q sin x si x ∈ R − Q g(x) =

1

q

si x =

^p_q

0 si x ∈ R − Q

Pour l’application g, les entiers p et q sont premiers entre eux.

5. Quelles sont les applications f de R dans R , conti- nues en 0, telles que f (x) = f (3x) pour tout x ? Quelles sont les applications f de R dans R , conti- nues en 1, telles que f (x) = −f (x

²

) ?

6. D´ eterminer la limite de la suite

cos nπ

3n + 1 + sin nπ 6n + 1

ⁿ

n∈N

.

7. D´ eterminer les limites des fonctions suivantes en 0 : e

^sin^x

− e

^tan^x

sin x − tan x ; (1 + x)

^lnx^x

− x

x(x

^x

− 1) ; (cos x)

^{cot an}^x²

;

x

^x^x

ln x x

^x

− 1 ; (ln(e + x))

¹^x

;

f (x) = x

^x

; g(x) = x

^f(x)

; h(x) = x

^g(x)

; sin x

x

_sin¹_x

8. D´ eterminer les limites des fonctions suivantes aux

points indiqu´ es : en π

2 ` a gauche : ln 2x

π

e

^cosx¹

, en e : sin x − sin e

ln x − 1 , en 2 :

2

^x

+ 3

^x

2

^x+1

+ 5

^x²

_2−x¹

, en π

6 : arctan(2 sin x) −

^π₄

cos 3x . 9. D´ eterminer les limites des fonctions suivantes en +∞

p ln(x

²

+ 1) − p

ln(x

²

− 1) ;

x sin 1 x

^x²

;

tan π

4 + 1 x

^x

; ln(1 + x)

ln x

^x^ln^x

(x + 1)

^x¹

− x

¹^x

(x ln x)

²

x

^x¹^x

− x

.

10. D´ eterminer des fonctions simples ´ equivalentes aux fonctions suivantes au point indiqu´ e :

en + ∞ : (sh (x + 1))

^a

− (ch (x + 1))

^a

, en 0 : exp

1 2x ln

ch x cos x

− 1, sin(sh x) − sh(sin x), x

^x

− (sin x)

^sin^x

,

1 nexo9

(2)

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6. lim

_n→∞

cos

_3n+1^nπ

+ sin

_6n+1^nπ

n

= e

²⁴¹

√3π

.

7. lim

_x→0^e_sin^sinx_x−tan^−e^tan_x^x

= 1, lim

_x→0^(1+x)

lnx x −x x(x^x−1)

= −

¹₂

, lim

_x→0

(cos x)

^{cot anx}²

= e

⁻^2an¹

, lim

_x→0^x_x^xx_x₋₁^ln^x

= 1,

lim

_x→0

(ln(e + x))

¹^x

= e

¹^e

, lim

x→0 sinx

x

_sinx¹

= 1, lim

_x→0+

(x+1)¹x−x^x¹ (xlnx)² x^x

1 x−x

= 0, lim

_x→0

x

^x

= 1,

lim

_x→0

x

^x^x

= 0, lim

_x→0

x

^x^xx

= 1.

8. lim

_x→^π

2+

ln

^2x_π

e

^cos¹^x

= 0, lim

_x→e^sin_ln^x−sine_x−1

= (cos (e)) e, lim

_x→2

2^x+3^x 2^x+1+5^x2

2−x¹

= exp

₁₃⁴

ln 2 −

₁₃⁹

ln 3 +

₂₆⁵

ln 5

, lim

_x→^π

6

arctan(2 sinx)−^π₄

cos 3x

= −

¹₆

√ 3.

9. lim

x→∞

p

ln(x

²

+ 1) − p

ln(x

²

− 1)

= 0, lim

_x→∞

x sin

¹_x

^x²

= e

⁻¹⁶

, lim

_x→∞

tan

^π₄

+

¹_x

x

= e

²

, lim

_x→∞

_ln(1+x)

lnx

xlnx

= e.

lim

_x→+∞

(x+1)¹x−x¹x

(xlnx)² x^x

1 x−x

= 1 10. (sh (x + 1))

^a

− (ch (x + 1))

^a

=

ln(

^sin_x^x

) = −

¹₆

x

²

−

₁₈₀¹

x

⁴

+ O x

⁵

sin(sinh x) = x −

₁₅¹

x

⁵

−

₉₀¹

x

⁷

+ O x

⁸

sinh(sin x) = x −

₁₅¹

x

⁵

+

₉₀¹

x

⁷

+ O x

⁸

sin(sinh x) − sinh(sin x) = −

₄₅¹

x

⁷

+ O x

⁹

2 nexo9