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b) Et si on ne suppose plus f continue en 0 ?

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

PanaMaths

[ 1 - 2 ]

Décembre 2017

a) Soit f définie sur \ , continue en 0 et vérifiant ∀ ∈ x \ , f ( ) 2 x = f x ( ) .

Que peut-on dire de f ?

b) Et si on ne suppose plus f continue en 0 ?

Analyse

Dans la première question, la relation f

( )

2x = f x

( )

se récrit

( )

2 f x = ⎜ ⎟f⎛ ⎞x

⎝ ⎠ et on peut facilement, pour tout réel x fixé, construire une suite de réels convergeant vers 0, point où nous savons f continue…

Dans la seconde question, on constate que le résultat obtenu à la première tombe… Un (ou plusieurs !) contre-exemple sera bien sûr plus que bienvenu !

Résolution

Question a.

Soit x appartenant à \.

Considérons alors la suite géométrique

( )

xn :

0

, 1

2

n n

x x

n x+ x

⎧ =

⎪⎨

∀ ∈ =

⎪⎩ `

La raison étant strictement inférieure à 1 en valeur absolue, on a immédiatement lim n 0

n x

→+∞ = .

La fonction f étant continue en 0, on peut affirmer que la suite

(

f x

( )

n

)

converge vers f

( )

0 .

On a f x

( )

0 = f x

( )

et ,

( )

1

( )

2

n

n n

n f x+ fxf x

∀ ∈` = ⎜⎝ ⎟⎠= .

Une récurrence immédiate nous permet alors d’écrire : ∀ ∈n `, f x

( )

n = f x

( )

0 = f x

( )

. La suite

(

f x

( )

n

)

prend donc la valeur constante f x

( )

. Et comme nlim f x

( )

n f

( )

0

→+∞ = , on en

déduit finalement : f x

( )

= f

( )

0 .

Le résultat précédent étant valable pour tout x réel, la fonction f est constante.

(2)

PanaMaths

[ 2 - 2 ]

Décembre 2017

La fonction f est constante.

Question b.

La question précédente nous conduit à un résultat précieux : toute fonction constante f sur \+ (respectivement \) vérifie ∀ ∈x \+, f

( )

2x = f x

( )

(respectivement

( ) ( )

, 2

x f x f x

∀ ∈\ = ).

On en déduit que toute fonction de la forme :

( )

si 0

: 0 si 0

si 0

k x

f x f x

k x

+

⎧ <

⎪ =

⎨⎪ >

⎩ 6

k, f

( )

0 et k+ sont des réels quelconques, vérifie : ∀ ∈x \, f

( )

2x = f x

( )

.

En choisissant kk+ ou k =k+f

( )

0 , on obtient une fonction non continue en 0.

Notons que l’on a : x∈\ _\ ⇔2x∈\ _\ . La fonction indicatrice des rationnels :

1 si

1 : 0 sinon

xx

⎨⎩

_

6 _

vérifie bien : ∀ ∈x \, f

( )

2x = f x

( )

, mais elle n’est continue en aucun point de \.

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