IV. Théorèmes de comparaison
Soita∈R∪ {+∞;−∞}, etI un intervalle.
Soitf,g eth trois fonctions dénies surI sauf éventuellement en a. th 1.
On suppose que ∀x∈I\{a}, f(x)≥0. Alors, si elle existe, on a lim
x→af(x)≥0. rem.
Le résultat est faux avec des inégalités strictes. Penser à lim
x→+∞
1 x. th 2.
On suppose que ∀x∈I\{a}, f(x)≤g(x).
Alors :
1. si elles existent, on a lim
x→af(x)≤ lim
x→ag(x).
(Le résultat est également faux avec des inégalités strictes.) 2. si lim
x→af(x) = +∞, alors lim
x→ag(x) = +∞
3. si lim
x→ag(x) =−∞, alors lim
x→af(x) =−∞
th 3. (théorème des gendarmes)
On suppose que ∀x∈I\{a}, h(x)≤f(x)≤g(x).
Alors si lim
x→ah(x) = lim
x→ag(x) =l∈R, on a lim
x→af(x) =l th 4. (théorème des gendarmes, avec valeur absolue) On suppose que ∀x∈I\{a}, |f(x)| ≤g(x).
Alors si lim
x→ag(x) = 0, on a lim
x→af(x) = 0
application 1. (du th 2.)
x→+∞lim ex
x = +∞
dem.
A l'aide d'une étude de fonction bien choisie, on montre déjà que ∀x >0, ex> x, puis on applique le deuxième point du th 2.
application 2. (du th 3.)
x→+∞lim ln(x)
x = 0
dem.A l'aide d'une étude de fonction bien choisie, on montre déjà que ∀x >0, ln(x)≤√ x. On en déduit ensuite que ∀x >0, 0≤ ln(x)
x ≤ 1
√x, puis on applique le th 3.
(Pour les deux applications précédentes, voir l'ex VII.)
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