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On suppose, de plus, qu’il existe un réel a tel que pour tout réelx, f(x) =x+ 1 +axe−x2 1

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Texte intégral

(1)

LYCÉE ALFRED KASTLER TS 2014–2015 Devoir maison no 07 – mathématiques

Donné le 19/11/2014 – à rendre le 26/11/2014

Exercice 1 Pour tout nombre complexe z 6=−2i, on note Z = z−2 +i z+ 2i .

1. En notant z =x+iy, x ety étant deux réels, exprimer la partie réelle de Z, Re(Z).

2. Déterminer alors l’ensemble des points M(x;y) tels queZ soit un imaginaire pur (éventuelle- ment nul).

Exercice 2 Sur le graphique ci-dessous on a tracé, dans un repère orthonormé(O;−→u;−→v ), une courbe C et la droite (AB)où A etB sont les points de coordonnées respectives (0 ; 1) et(−1 ; 3).

O −→ i

−

→j

−1 3 B

A

C

On désigne par f la fonction dérivable sur R dont la courbe représentative est C. On suppose, de plus, qu’il existe un réel a tel que pour tout réelx,

f(x) =x+ 1 +axe−x2 1. (a) Justifier que la courbeC passe par le pointA.

(b) Déterminer le coefficient directeur de la droite (AB).

(c) Démontrer que pour tout réel x, f0(x) = 1−a(2x2−1)e−x2.

(d) On suppose que la droite (AB) est tangente à la courbe C au point A.

Déterminer la valeur du réel a.

2. Les expressions de f et de f0 étant maintenant entièrement connues : (a) Démontrer que pour tout réel x de l’intervalle ]−1 ; 0], f(x)>0.

(b) Démontrer que pour tout réel x inférieur ou égal à−1, f0(x)>0.

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