Universit´e Lille I L3 Maths
2013-2014 M-52
5 - COMPACITE
Quizz Exercice 1
Les espaces suivants sont-ils compacts ?
{(x, y, z)∈R3/ x2+y2+z2≤1}; [0; +∞[ ; {(x, y)∈R2/ 2x+ 1≤y≤2x+ 2}; Q∩[0; 1]
Exercice 2
Montrer qu’unK-espace vectoriel norm´e non trivial n’est jamais compact (que peut-on dire de la suite n xsix6= 0 ?).
Pour s’entraˆıner Exercice 3
Montrer que l’ensembleO(n) des matrices orthogonales est compact.
Exercice 4
Soit 0< a < b, f : [a;b] →R continue telle que∀x, 0 ≤f(x) < x. Montrer qu’il existe k < 1 tel que
∀x, f(x)≤kx.
Exercice 5
SoitE une ellipse dans le plan. Montrer qu’il existe un triangle de p´erim`etre maximum inscrit dansE.
Exercice 6
Dans unK-espace vectoriel norm´eE, on suppose que la sph`ereS(0,1) est compacte.
a) A l’aide de l’application (ρ, ω)7→ρω d´efinie sur [0; 1]×S(0,1), montrer queBF(0,1) est compacte.
b) En d´eduire que toutes les boules ferm´ees de Esont compactes.
Les essentiels Exercice 7
SoitNune norme surMn(K). Montrer que l’applicationf : (A, B)7→N(AB) d´efinie surS(0,1)×S(0,1) est born´ee et atteint ses bornes.
En d´eduire qu’il existek >0 le plus petit possible tel que∀A, B∈ Mn(K), N(AB)≤kN(A)N(B).
Exercice 8
SoitK etF des parties non vides, disjointes, de (E, d). On suppose que K est compacte et F ferm´ee : montrer qued(K, F)>0. Est-ce encore vrai siK est seulement suppos´ee ferm´ee ?
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Exercice 9
SoitE unK-espace vectoriel norm´e etF un sous-espace vectoriel de dimension finie de E. Montrer que pour touta∈E,d(a, F) est atteinte (´etudier l’applicationx7→ ka−xkd´efinie surF).
Exercice 10
Soit (K, d) un espace m´etrique compact.
a) Justifier que pour toutr >0, il existea1, . . . , an∈K tels queK⊂S
B(aj, r). En d´eduire que pour toutk∈N∗, il existe une partie finie Fk deKtelle que∀x∈K, ∃a∈Fk |d(x, a)< 1k.
b) Montrer que ∀x∈ K, ∀ε > 0, ∃a ∈ S
k∈N∗Fk | d(x, a) < ε. En d´eduire que K poss`ede une partie dense d´enombrable.
c) Donner un exemple d’une telle partie siK est la boule unit´e ferm´ee deR2.
Pour aller plus loin Exercice 11
Dans l’espace m´etrique (E, d), on suppose que (xn)nconverge versl. Montrer queK:={l}∪{xn |n∈N} est un compact.
Exercice 12
Soit (K, d) un espace compact m´etrique etf :K→K telle que∀x6=y, d(f(x), f(y))< d(x, y).
a) En consid´erantK= [0; 1] etf :x7→x2/2, v´erifier que l’hypoth`ese n’implique pas quef est strictement contractante.
b) Montrer quef a un unique point fixe (on pourra chercher `a minimiser la fonctiong:x7→d(x, f(x)) surK).
Exercice 13 – Partiel, novembre 2011
DansMn(R), on noteSn l’ensemble des matrices sym´etriques, Sn+ l’ensemble des matrices sym´etriques positives etO(n) l’ensemble des matrices orthogonales :
Sn={S∈ Mn(R)|tS=S}
Sn+={S ∈Sn|pour tout vecteur colonneX, tXSX ≥0}
O(n) ={O∈ M(R)|tOO=In}
On admet le r´esultat suivant : toute matriceinversibleM s’´ecrit de fa¸con unique sous la forme
M =SO , o`u S∈ Sn+ et O∈ O(n). (1) Cette ´ecriture est appel´eed´ecomposition polairedeM.
a) Pourn= 1, d´ecrireS1, S1+ etO1.
b) Montrer queSn etSn+sont ferm´es dansMn(R).
c) Montrer queO(n) est compact.
d) SoitM ∈ Mn(R).
i) Montrer qu’il existe une suite (Mk) qui converge vers M, telle que pour tout k, il existe une matrice sym´etrique positive inversibleSk et une matrice orthogonaleOk v´erifiantMk=SkOk. ii) Montrer que la suite (Ok) admet une sous-suite Oϕ(k)
qui converge dansO(n) ; on note O sa limite.
iii) Exprimer Sk en fonction deMk et Ok. Comment se comporte la sous-suite (Sϕ(k)) ? iv) En d´eduire queM poss`ede une d´ecomposition polaire de la forme (1).
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