1. À l’aide de la formule de Taylor-Young, montrer que lorsque x est au voisinage de 0 on a : ln(2 − e x ) = −x − x 2 + o ( x 2 ) .

ECS2 Lycée Louis Pergaud

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DM5

Exercice 1

1. À l’aide de la formule de Taylor-Young, montrer que lorsque x est au voisinage de 0 on a : ln(2 − e ^x ) = −x − x ² + o ( x ² ) .

2. (a) Montrer que pour tout entier k supérieur ou égal à 2, on a : 2 − e ^1/k ∈ ]0 , 1[ .

(b) En déduire le signe de ln(2 − e ^1/k ), pour tout entier k supérieur ou égal à 2.

(c) Quelle est la nature de la série de terme général ln(2 − e ^1/k ) ? (d) Pour n entier supérieur ou égal à 2, on pose :

V _n =

n

X

k=2

ln(2 − e ^1/k ) et u _n = exp V _n . Déterminer lim _n→+∞ V n et lim _n→+∞ u n .

3. (a) Montrer que :

ln( nu n ) =

n

X

k=2

h ln(2 − e ^1/k ) − ln(1 − 1 k ) ⁱ .

(b) Déterminer un équivalent, quand k tend vers + ∞ , de ln(2 − e ^1/k ) − ln(1 − 1 k ).

(c) En déduire que u _n est équivalent, quand n tend vers + ∞ , à K

n avec K > 0.

Quelle est la nature de la série de terme général u _n ? 4. On pose

S n = ^{X n}

k=2

( − 1) ^k u k . (a) Étudier le sens de variations de la suite ( u n ) n≥2 .

(b) Montrer que les suites ( S _2n ) n≥1 et ( S _2n+1 ) n≥1 sont deux suites adjacentes.

(c) En déduire la nature de la série de terme général ( − 1) ⁿ u _n .

Problème.

L’objectif du problème est d’étudier une suite de variables aléatoires ( Z _k ) k∈ N

.

Les deux premières parties sont indépendantes et la troisième utilise certains résultats obtenus dans les deux premières parties.

La partie I est consacrée à l’étude de deux endomorphismes sur R n [ X ].

La partie II consiste à calculer l’espérance et la variance de Z k ainsi qu’à calculer la somme

+∞

X

k=0

P(Z k = r) sous réserve de convergence.

La partie III fournira la loi de Z _k ainsi que l’étude de la convergence de la série ^X

k≥0

P ( Z _k = r ).

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Partie I : Étude de deux endomorphismes.

Soit n un entier naturel. On note R n [ X ] l’ensemble des polynômes à cœfficients réels de degré au plus n .

Pour tout k ∈ { 0 , 1 , . . . , n} , on désigne par e _k le polynôme de R n [ X ] défini par : e _k = X ^k . Rappelons que B = ( e ₀ , e ₁ , . . . , e _n ) est une base de R n [ X ].

Si P ∈ R n [ X ], on définit les fonctions f ( P ) et g ( P ) par :

∀x ∈ R \ { 1 }, f ( P )( x ) = 1 x − 1

Z x 1

P ( t )d t et f ( P )(1) = P (1)

∀x ∈ R, g(P )(x) = [(X − 1)P] ⁰ (x) = (x − 1)P ⁰ (x) + P (x).

1. Prouver que g est un endomorphisme de R n [ X ].

2. Soit P ∈ R n [X]. Calculer f (g(P )) puis justifier que ker(g) = { 0 } .

3. Démontrer que g est un isomorphisme, que g ⁻¹ = f et que f est un endomorphisme de R n [ X ].

4. Écrire la matrice A de f dans la base B = ( e ₀ , e ₁ , . . . , e _n ) ainsi que la matrice B de g dans cette même base.

5. Pour tout k ∈ { 0 , 1 , . . . , n} on désigne par u _k le polynôme de R n [ X ] défini par : u k = (X − 1) ^k .

Prouver que C = ( u ₀ , u ₁ , . . . , u _n ) est une base de R n [ X ].

6. Calculer f ( u r ) pour r ∈ { 0 , 1 , . . . , n} . En déduire la matrice A ⁰ de f dans la base C = ( u ₀ , u ₁ , . . . , u _n ), ainsi que la matrice B ⁰ de g dans cette même base.

7. Justifier que : ∀s ∈ { 0, 1, . . . , n} , e s = ^{X s}

r=0

s r

! u r

et que : ∀r ∈ { 0 , 1 , . . . , n} , u _r =

r

X

j=0

( − 1) ^r−j r j

! e _j .

8. Déterminer la matrice de passage P de B à C , puis la matrice de passage Q de C à B.

9. Déterminer ( A ⁰ ) ^k , puis calculer A ^k











 0 ...

0 1













pour tout k ∈ N. En déduire que :

∀k ∈ N, f ^k (e n ) = ^{X n}

j=0





n

X

r=j

( − 1) ^r−j

n r

r j

( r + 1) ^k



 e j .

Partie II : Étude d’une suite de variables aléatoires.

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1. On dispose de n + 1 urnes notées U 0 , U 1 , . . . , U n et on suppose que pour tout i ∈ { 0 , . . . , n} , l’urne U i contient i + 1 boules numérotées 0 , 1 , . . . , i .

On s’intéresse au jeu suivant :

• Au premier tirage, on pioche une boule dans l’urne U n . Si la boule porte le numéro r alors on repose la boule dans l’urne U _n puis le tirage suivant s’effectue dans l’urne U _r .

• Plus généralement, pour tout entier naturel k non nul, si la boule numéro s a été piochée au k -ième tirage dans une certaine urne, on repose cette boule dans la même urne puis on effectue le (k + 1)-ième tirage dans l’urne U s .

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ECS2 Lycée Louis Pergaud Pour tout entier naturel k, on note :

• Z _k est la variable aléatoire égale au numéro de la boule piochée au k -ième tirage.

On convient que Z 0 = n.

• F _k est le polynôme de R n [ X ] défini par : ∀x ∈ R , F _k ( x ) =

n

X

r=0

P ( Z _k = r ) x ^r .

• E ( Z k ) désigne l’espérance de la variable aléatoire Z k . 1. Pour tout k ∈ N, déterminer Z k (Ω).

Que dire de la loi de Z ₁ ? En déduire l’expression de F ₁ . 2. À l’aide de la formule des probabilités totales, prouver que :

∀k ∈ N , ∀r ∈ { 0 , 1 , . . . , n}, P ( Z k+1 = r ) =

n

X

i=r

P (Z k = i) i + 1 .

3. Établir les formules suivantes valables pour tous entiers k ∈ N et r ∈ { 0 , 1 , . . . , n − 1 } : ( R ₁ ) : (n + 1)P (Z k+1 = n) = P (Z k = n)

( R ₂ ) : ( r + 1) P ( Z _k+1 = r ) − ( r + 1) P ( Z _k+1 = r + 1) = P ( Z _k = r ) . 4. On admet dans cette question que la série ^X

k≥0

P ( Z _k = r ) converge pour tout r ∈ { 1 , . . . , n} et on pose S r =

+∞

X

k=0

P ( Z _k = r ).

En sommant les relations ( R ₁ ) sur tous les entiers k ∈ N, donner la valeur de S n .

En sommant les relations ( R ₂ ) sur tous les entiers k ∈ N, donner la valeur de S n−1 et montrer que la suite (rS r ) 1≤r≤n−1 est constante.

5. Soit k ∈ N. Démontrer la relation :

( S ) : ∀x ∈ R , ( x − 1) F _k+1 ⁰ ( x ) + F _k+1 ( x ) = F _k ( x ) . 6. (a) Soit k ∈ N. Établir que F _k ⁰ (1) = E ( Z _k ) et F _k ⁰⁰ (1) = E ( Z _k ( Z _k − 1)) .

(b) En dérivant une fois puis deux fois la relation ( S ), donner la relation de récurrence vérifiée par la suite ( F _k ⁰ (1)) k∈ N ainsi que la relation de récurrence vérifiée par la suite ( F _k ⁰⁰ (1)) k∈ N . (c) Donner la valeur de F _k ⁰ (1) et de F _k ⁰⁰ (1) en fonction de k et n .

Expliciter alors la variance V ( Z k ) de Z k en fonction de k et n . Partie III : Loi de chacune de ces variables aléatoires.

On reprend toutes les notations des parties I et II et on pourra admettre tous les résultats établis dans ces deux parties.

Rappelons également qu’à la question II.4 la relation ( S ) est démontrée ce qui revient à écrire :

∀k ∈ N , g ( F _k+1 ) = F _k , soit encore f ( F _k ) = F _k+1 . 1. Montrer que : ∀k ∈ N,

n

X

j=0

P (Z k = j)e j = F k = f ^k (e n ).

2. Soient k ∈ N et j ∈ { 0 , 1 , . . . , n} . À l’aide des résultats obtenus à la partie I, établir que : P ( Z _k = j ) =

n

X

r=j

( − 1) ^r−j

n r

_r

j

( r + 1) ^k .

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ECS2 Lycée Louis Pergaud 3. Application.

(a) Soit j ∈ { 0 , 1 , . . . , n} . Déterminer un réel M _j,n tel que :

∀k ∈ N , |P ( Z _k = j ) | ≤ M _j,n ( j + 1) ^k puis justifier que la série ^X

k≥0

P (Z k = j) converge lorsque j ∈ { 1, 2, . . . , n} . (b) Déterminer un réel C _n tel que : ∀k ∈ N , |P ( Z _k = 0) − 1 | ≤ C _n

2 ^k . La série ^X

k≥0

P ( Z _k = 0) est-elle convergente ?

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