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Considérons la fonction carré f(x) = x 2 , et effectuons avec une calculatrice un zoom de sa représentation graphique au voisinage de son point M 0 d'abscisse x 0 = 2 (et d'ordonnée y 0 = 4).

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

DÉRIVÉES

I Nombre dérivé - Tangente

Exemple

Considérons la fonction carré f(x) = x 2 , et effectuons avec une calculatrice un zoom de sa représentation graphique au voisinage de son point M 0 d'abscisse x 0 = 2 (et d'ordonnée y 0 = 4).

On peut constater, si le grossissement est assez fort, que la courbe semble être rectiligne.

(Ce résultat sera d'ailleurs vrai en n'importe quel point)

Si on considère un point M sur la courbe, proche du point M 0 , l'abscisse de M peut s'écrire sous la forme 2 + h (avec h "petit") et l'ordonnée du point M est alors (2 + h) 2

Le coefficient de la droite (M 0 M) est : y - y 0

x - x 0 = f(x) - f(x 0 )

x - x 0 = (2 + h ) 2 - 2 2

2 + h - 2 = h 2 + 4 h

h = h + 4 On peut remarquer que lorsque h tend vers 0 , ce coefficient directeur tend vers 4.

Si on superpose sur le graphique la droite passant par M 0 et de coefficient directeur 4, c'est-à-dire la droite d'équation y = 4x - 4, on peut constater qu'elle est, au voisinage du point M 0 , quasiment confondue avec la courbe.

En un point M 0 d'abscisse x 0 quelconque, on obtiendrait un résultat similaire.

En effet pour un point M proche de x 0 , notons x = x 0 + h l'abscisse de M.

Le coefficient de la droite (M 0 M) est alors : y - y 0

x - x 0 = f(x) - f(x 0 )

x - x 0 = (x 0 + h) 2 - x 2 0

x 0 + h - x 0 = 2x 0 h + h 2

h = 2 x 0 + h On peut remarquer que lorsque h tend vers 0 , ce coefficient directeur tend vers 2 x 0 .

La courbe sera quasiment confondue avec la droite passant par M 0 et de coefficient directeur 2x 0 .

Remarque ( voir animation )

Dans le cas général de la représentation graphique d'une fonction f , le coefficient directeur de la droite (M 0 M) sera f(x) - f(x 0 )

x - x 0 ou encore f(x 0 + h) - f(x 0 )

h .

où x = x 0 + h est l'abscisse de M et x 0 l'abscisse de M 0

Lorsque h tend vers 0, M se rapproche de M 0 et la droite (M 0 M) peut avoir une position "limite", représentée en rouge sur le dessin, que l'on appelera tangente à la courbe au point M 0 .

Définition

Soit f une fonction définie sur un intervalle I, soit x 0 ∈ I . Si

h lim → 0 f ( x 0 + h ) - f ( x 0 )

h existe et appartient à IR, on dit que la fonction f est dérivable en x 0 .

h lim → 0 f ( x 0 + h ) - f ( x 0 )

h c'est-à-dire

x lim → x

0

f(x) - f(x 0 )

x - x 0 sera noté f'(x 0 ) et appelé nombre dérivé de f en x 0 . La courbe représentative de f a pour tangente en M 0 (x 0 ; f(x 0 )) la droite T de coefficient directeur f'(x 0 ).

T a pour équation y = f'(x 0 ) (x - x 0 ) + f (x 0 ) .

M M M

M

0

(2)

Cas particulier

Si f'(x 0 ) = 0, T est parallèle à l'axe des abscisses (horizontale).

Propriété

Une fonction dérivable en x 0 est continue en x 0 . (La réciproque est fausse)

Exercice 01 (voir réponses et correction) Soit f définie sur [0 ; +∞ [ par f(x) = x .

Étudier, en utilisant la définition, la dérivabilité de f en x 0 = 3 , puis en x 0 ∈ ]0 ; +∞ [.

Que peut-on dire de la dérivabilité de f en 0 ?

II Fonction dérivée

Définition

Si une fonction f est dérivable en tout point x 0 d'un intervalle I, on dit que f est dérivable sur I.

L'application qui à tout x de I associe le nombre dérivé de f au point x est appelée fonction dérivée de f.

La fonction dérivée de f est notée f' . Exemple

Considérons la fonction f (racine carrée), définie sur [0 ; +∞ [ par f(x) = x . (Voir Exercice 1) f est dérivable sur ]0 ; +∞ [ . Pour tout x 0 ∈ ]0 ; +∞ [ , le nombre dérivé de f en x 0 est f'(x 0 ) = 1

2 x 0 . La fonction dérivée de la fonction racine carrée est donc la fonction f' définie sur ]0 ; +∞ [ par f'(x) = 1

2 x

Exercice 02 (voir réponses et correction) On considère la fonction f définie sur IR par : f(x) = x 2 Soit x 0 ∈ IR. Calculer f(x 0 + h) - f(x 0 )

h .

En déduire que f est dérivable sur IR et donner sa fonction dérivée.

Propriétés (rappels)

Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I.

• u + v est dérivable sur I et on a (u + v)' = u' + v'

• u v est dérivable sur I et on a (u v)' = u'v + u v'

• si u ne s'annule pas sur I , alors 1

u est dérivable sur I et

 

 

1 u

' = - u ' u 2

• si v ne s'annule pas sur I , alors u

v est dérivable sur I et

 

 

u v

' = u'v - u v' v 2 Cas particulier

Si k ∈ IR , la dérivée de ku est ku' et la dérivée de u

k est u' k . Remarques

• Une fonction dérivable sur un intervalle I est continue sur I

• Si f' est elle-même dérivable sur I, la dérivée de f' sera notée f" , on l'appelle dérivée seconde de f

(3)

Dérivées des fonctions usuelles

On donne ci-dessous les dérivées de fonctions rencontrées couramment.

Fonction Dérivée Intervalle

f(x) = k f'(x) = 0 IR

f(x) = x f'(x) = 1 IR

f(x) = ax + b f'(x) = a IR

f(x) = x 2 f'(x) = 2x IR

f(x) = x 3 f'(x) = 3 x 2 IR

f(x) = 1

x f'(x) = -

1

x 2 ]- ∞ ; 0[ ou ]0 ; +∞ [

f(x) = x f'(x) = 1

2 x ]0 ; +∞ [

f(x) = x n n ∈ ZZ n ≠ 0 f'(x) = nx n-1 IR si n > 0

]- ∞ ; 0[ ou ]0 ; +∞ [ si n < 0

Exercice 03 (voir réponses et correction)

Calculer, en précisant l'intervalle considéré, les dérivées des fonctions suivantes.

f(x) = x 3 - 3x 2 + 2x - 5 g(x) = -2x 2 +3x - 4 h(x) = 1

2 x 4 - x 3 + 5 3 x p(x) = - 3 x 6 + 1

2 x 2 - x + 1

4 q(x) = 3 x - 5

2 r(x) = x 2 - 3 x + 1

5

Exercice 04 (voir réponses et correction)

Calculer, en précisant l'intervalle considéré, les dérivées des fonctions suivantes.

• f(x) = 2 + 1

x g(x) = x x h(x) = (x - 3)

 

 

1 + 1

x 2 p(x) = x + 1 x - 3

• f(x) = 2 x - 5

3 - 4 x g(x) = 2 x + 1 + 1

x - 4 h(x) = 3

2 x p(x) = x 2 + x - 1

x 2 + x + 1

• f(x) = 1

x 6 g(x) = x + 1

x 2 + 1 h(x) = 1

2 x - 3 - 5

3x p(x) = 1

2 x + 1 - 5

Exercice 05 (voir réponses et correction) Soit f définie par f(x) = x 2 + 1

x - 1 .

La courbe représentative de f a-t-elle des tangentes parallèles à la droite d'équation y = -x + 1 ? Si oui en quels points ?

Exercice 06 (voir réponses et correction) La courbe ci-contre représente une fonction f , toutes les droites tracées sont tangentes à la courbe.

Déterminer :

f ( - 4) ; f ( - 2) ; f (1) ; f (4) ; f (7)

f'(-4) ; f'(-2) ; f'(1) ; f'(4) ; f'(7)

(4)

III Application aux variations d'une fonction

Théorème (rappel)

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.

Si f' est nulle sur I, alors f est constante sur I.

Si f' est positive ou nulle sur I, alors f est croissante sur I.

Si f' est strictement positive sur I, alors f est strictement croissante sur I.

Si f' est négative ou nulle sur I, alors f est décroissante sur I.

Si f' est strictement négative sur I, alors f est strictement décroissante sur I.

Exercice 07 (voir réponses et correction) f est définie sur IR par f(x) = x 3 - 3x 2 + 1

1°) Déterminer les limites de f en - ∞ et +∞ . 2°) Calculer la dérivée de f et étudier son signe.

3°) Donner le tableau de variations de f 4°) Représenter graphiquement f.

5°) Quel est le nombre de solutions de l'équation f(x) = 0.

Donner une valeur approchée de chacune des solutions.

Exercice 08 (voir réponses et correction) On considère la fonction f définie par f(x) = 3 + x

5 - x

1°) Déterminer l'ensemble de définition de f et les limites de f aux bornes de cet ensemble.

2°) Calculer la dérivée de f et étudier son signe.

3°) Donner le tableau de variations de f

4°) Représenter graphiquement f , on précisera les asymptotes à la courbe.

5°) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 3. Tracer cette tangente.

Exercice 09 (voir réponses et correction) On considère la fonction f définie par f(x) = 1 + x x 2 - 2x

1°) Donner l'ensemble de définition de f et les limites de f aux bornes de cet ensemble.

2°) Calculer la dérivée de f et étudier son signe.

3°) Donner le tableau de variations de f

4°) Tracer la courbe représentative de f . On précisera les asymptotes à la courbe.

Exercice 10 (voir réponses et correction)

Pour une production dont le coût f(x) en centaines d'euros varie avec le nombre x de dizaines d'articles fabriqués à la minute, on veut déterminer celle qui rend le coût unitaire moyen f(x)

10 x le plus faible possible.

Partie A

Soit la fonction numérique f définie sur [ 1 ; +∞ [ par f(x) = 2 x - 1 + 1 x 1°) Déterminer

x → lim + ∞ f(x) . Calculer la dérivée f'(x) et étudier son signe.

2°) Dresser le tableau des variations de f et tracer sa courbe représentative ( C ) dans le plan rapporté à un repère orthonormal (O; i , j ) (unité 1cm). On justifiera que ( C ) a une asymptote oblique.

Partie B

Soit la fonction numérique g définie sur [ 1 ; +∞ [ par : g(x) = f(x)

x = 2 - 1 x + 1

x 2 1°) Déterminer

x → lim +∞ g(x) . Calculer la dérivée g'(x) et étudier son signe.

2°) Dresser le tableau des variations de g .

(5)

IV Dérivée d'une fonction composée

Propriété (admise)

Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, si f est une fonction dérivable sur un intervalle J, et si pour tout x ∈ I u(x) ∈ J, alors

la fonction qui à x associe f(u(x)) est dérivable sur I et on a ( f ( u) ) ' = u ' x f ' ( u ) Exemples

On sait que ( x ) ' = 1

2 x , on peut en déduire que ( u ) ' = u' x 1 2 u = u'

2 u Soit h(x) = x 2 + 1 , en posant u(x) = x 2 + 1 , on peut écrire h(x) = ( u )

Alors h'(x) = u'

2 u = 2 x 2 x 2 + 1

= x

x 2 + 1

On sait que (x n ) ' = nx n-1 , on peut en déduire que (u n ) ' = u' x nu n-1 = n u' u n-1 Soit p(x) = (1 - 2 x ) 3 , en posant u(x) = 1 - 2 x , on peut écrire p(x) = u 3

Alors p'(x) = 3 u' u 2 = 3 x (-2) x (1 - 2x) 2 = -6 (1 - 2x) 2

Propriétés

• Si u est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I alors : u est une fonction dérivable sur I et on a ( u )' = u '

2 u .

• Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I alors :

pour tout n ∈ IN * u n est une fonction dérivable sur I et on a (u n ) ' = n u' u n-1 .

(si de plus u ne s'annule pas, le résultat ci-dessus peut être appliqué avec n entier relatif) Exercice 11 (voir réponses et correction)

Pour chacune des fonctions ci-dessous on considère un intervalle I sur lequel la fonction est dérivable.

Calculer alors la dérivée.

r(x) = x 2 + x s(x) = x 4 + x 2

p(x) = ( x 2 + 2 x ) 4 q(x) = ( x 3 - x - 5) 8

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