I – Comparaison des fonctions au voisinage d’un point

Chapitre IV : COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONS RÉELLES D’UNE VARIABLE RÉELLE

I – Comparaison des fonctions au voisinage d’un point

Dans tout ce paragraphe, désigne un réel ou −∞ ou +∞

1) Fonction négligeable devant une autre fonction

Définition 1 : Soient et deux fonctions définies au voisinage de . On dit que la fonction est négligeable devant la fonction au voisinage de s’il existe une fonction définie au voisinage de , de limite 0 en , telle que ( ) = ( )( ) au voisinage de .

On note : ( ) =_→( ) ou plus simplement ( ) = ( ) et on lit ( ) est un "petit o" de ( ) au voisinage de .

Exemple 1 :

=_%&( ^')∶ en effet, = ^' ×1

et lim^→%&1

= 0 . ici ( ) = 1 0

√ =_%&( )∶ en effet, √ = × 1

√ et lim_→%& 1

√ = 0 .ici ( ) = 1

√ 0

' =₂ ( )∶ en effet, ^' = × et lim_→2 = 0 ( ici ( ) = )

Théorème 1 : (caractérisation pratique de la négligeabilité) Si ( ) ≠ 0 au voisinage de , alors :

( ) = ( ) ⇔ lim_→( ) ( ) = 0 Remarque 1 :

( ) = (1) signifie que lim_→( ) = 0 Propriété 1 : (Transitivité)

Soient trois fonctions , et ℎ définies au voisinage de : Si ( ) = ( ) et ( ) = ℎ( ) alors ( ) = ℎ( ) Propriété 2 : (Combinaison linéaire)

Soient trois fonctions , et ℎ définies au voisinage de :

Si ( ) = ℎ( ) et ( ) = ℎ( ) alors, pour tous réels : et ;, :( ) + ;( ) = ℎ( ) Théorème 2 : (négligeabilités usuelles)

Pour tout réel _{: > 0} :

ln =_%&( ⁼) et ⁼_%&= (>)

Exemple 2 :

1 On déduit de la propriété 1 et du théorème 2 que : ln _%&>

2) Avec : 1

2, ln _%&√ ce qui se traduit par lim_→%&ln

√ 0

3) ^D_%& > ce qui se traduit par lim_→%&>^D 0 ou encore lim_→%& ^D >^E 0

Remarque 2 :

1 De la relation, ln _%& , on peut déduire une nouvelle négligeabilité usuelle : Au voisinage de 0^%, 1

est dans un voisinage de +∞, ainsi ln .1

0 ² .1 0 ce qui donne ln ₂ .1

0 ou encore ln ₂ .1

0 ce qui se traduit par lim_→2ln

1 0 ⇔ lim_→2 ln 0

2) On retrouve, par le biais des négligeabilités, les croissances comparées déjà rencontrées au lycée.

2) Fonctions équivalentes

Définition 2 : Soient et deux fonctions définies au voisinage de . On dit que les fonctions et sont équivalentes au voisinage de s’il existe une fonction définie au voisinage de , de limite 0 en , telle que ( ) = 1 au voisinage de .

On note : ~_→ ou plus simplement ~ et on lit est équivalent à au voisinage de .

Théorème 3 : (caractérisation pratique de l’équivalence)

( ) ~( ) ⇔ ou encore ⇔ ~ Si ( ) ≠0 au voisinage de , alors :

~ ⇔ lim_→ 1

Exemple 3 :

1 ln _%&√ donc ln √ ~_%&√

2) ^D_%& > peut se traduire par ^D >_%&~ >

Propriété 3 : (Opérations sur les équivalents)

Soient trois fonctions , et ℎ définies au voisinage de : 1 Si ~ alors ℎ ~ ℎ

2) Si ~ >J ℎ ~ K alors ℎ ~ K

3) Si ~ et si 3 0 et 3 0 au voisinage de alors 1

~ 1 4) Si ~ alors, pour tout entier naturel M, ^N~ ^N

5) Si ~ et si P 0 et P 0 au voisinage de alors Q ~ Q

Remarque 3 : Il n’existe aucune règle d’addition et de composition d’équivalents.

Théorème 4 : (équivalents usuels)

1 ln1 ~₂ , > 1~₂ et 1 ^: 1~₂ :

2) Un polynôme non nul est équivalent au voisinage de +∞ et de −∞ à son terme de plus haut degré.

3) Un polynôme non nul est équivalent au voisinage de 0 à son terme de plus bas degré.

Exemple 4 :

Étudier les limites suivantes à l’aide d’équivalents :

→%&lim ln .1 1

0 , lim^{→%& '}.>^R 10 , lim_→%&3 ^' 2 1

5 ^D 2 et lim^→2√1 1 e 1 Théorème 5 : Soient et deux fonctions définies au voisinage de .

1 Si ~ et si lim_→ ℓ réel ou infini alors lim_→ ℓ.

2) Si lim_→ ℓ où ℓ est un réel UVU UWX alors ~ ℓ. Remarque 4 :

On n’écrit jamais ~0 !!!

II – Développements limités

1) Développements limités au voisinage d’un réel a. Développements limités d’ordre 1 Définition 3 :

On dit qu’une fonction définie au voisinage d’un réel ₂ admet un DL d’ordre 1 en ₂ lorsqu’il existe deux réels ₂ et _R tels que, au voisinage de ₂ :

( ) =

\ ]^^^^_^^^^`₂+ _R( − ₂)

abcdef aghijgkebhf lm no

₂ On écrit aussi

\ _{2 R 2 2} où lim_→

\ 0 Exemple 5 :

Au voisinage de 0, l’égalité ( ) =₂ 1 2 est un DL de à l’ordre 1 au voisinage de 0.

Remarque 5 :

On peut modifier l’écriture d’un DL comme une égalité classique :

( ) =₂ 1 +2 + ( ) peut donner ( ) − − 1 =₂ + ( ) mais il faut garder à l’esprit que l’on manipule une égalité « locale », à savoir au voisinage de 0.

b. Développements limités d’ordre 2 Définition 4 :

On dit qu’une fonction définie au voisinage d’un réel ₂ admet un DL d’ordre 2 en ₂ lorsqu’il existe trois réels ₂, _R et _' tels que, au voisinage de ₂ :

( ) =

\ ]^^^^^^^^^_^^^^^^^^^`₂+ _R( − ₂) + _'( − ₂)^'

abcdef aghijgkebhf lm no

+ (( − ₂)^') On écrit aussi ( ) =

\ ₂+ _R( − 2) + '( − 2)^'+ ( − ₂)^'( ) où lim_→

\( ) = 0 Exemple 6 :

Au voisinage de 0, l’égalité ( ) =₂ 2 − + 3 ^'+ ( ^') est un DL de à l’ordre 2 au voisinage de 0.

Ce qui donne aussi ( ) −2 + =

2 3 ^' + ( ^').

Théorème 6 : Si ( ) =

\ ₂+ _R( − 2) + '( − 2)^'+ (( − ₂)^') alors ( ) =

\₂+ _R( − 2) + ( − 2) Autrement dit, si admet un DL d’ordre 2 en ₂, alors admet aussi un DL d’ordre 1 en ₂ que l’on obtient en « tronquant » le DL d’ordre 2.

Théorème 7 :

Si une fonction admet un DL d’ordre 1 (respectivement d’ordre 2) en ₂ alors il est unique.

2) Formules de Taylor-Young Théorème 8 :

Si est une fonction définie en ₂ et de classe p^R sur un intervalle q contenant ₂, alors admet un DL d’ordre 1 en ₂ donné par l’égalité :

( ) =

\ ( ₂) + ( − ₂)^r( ₂) + ( − ₂) Théorème 9 :

Si est une fonction définie en ₂ et de classe p^' sur un intervalle q contenant ₂, alors admet un DL d’ordre 2 en ₂ donné par l’égalité :

( ) =

\ ( ₂) + ( − ₂)^r( ₂) +( − 2)^'

2 ^rr( ₂) + (( − ₂)^') Remarque 6 :

Ces deux théorèmes donnent l’existence d’un DL d’ordre 1 pour les fonctions p^R et d’ordre 1 et 2 pour les fonctions p^' (grâce aussi au théorème 6).

Théorème 10 :

Si est une fonction telle que _{2 2 R '} ^{' '}, alors on déduit les équivalents suivants ∶ ( ) ~_{2 2} si ₂3 0

Mais aussi

( ) ~_{2 2}+ _R si ₂, _R 3 0,0 Ou encore

( ) ~_{2 2}+ _R + _' ^' si ₂, _R, _' 3 0,0,0

3) Développements limités usuels au voisinage de 0 Théorème 11 :

1) ln(1 + s) =

2 s −s^'

2 + (s^') 2) >^t ₂ 1 s s^'

2 s^'

3) Pour tout réel :, 1 s⁼ ₂ 1 :s :: 1

2 s^' s^'

Remarque 7 : Cas particuliers importants : Pour : 1, 1 s^ER 1

1 s ² 1 s s^' s^' En remplaçant s par s, 1 s^ER 1

1 s ² 1 s s^' s^' Pour : 1

2, √1 s 1 s

R'

2 1 1 2 s 1

8 s^' s^' Pour : 1

2, 1

√1 s 1 s^ER' ₂ 1 1 2 s 3

8 s^' s^' Exemple 7 :

1) En utilisant la formule de Taylor-Young, donner un DL à l’ordre 2 en 0 de ( ) = >√1 + 2) Donner un DL à l’ordre 2 en 0 de ( ) = √1 + − 1 et de ℎ( ) = >− .

4) Exemples d’utilisation des développements limités

a. Lever une indétermination, déterminer un équivalent

L’étude des équivalents est parfois limitée par les opérations non compatibles (addition, composition,…), on fait alors appel aux DL dont l’utilisation est plus « souple ».

Exemple 8 : Déterminer les limites suivantes en utilisant des DL puis des équivalents

→2lim

ln(1 + ) −

>− 1 − et lim_→22√1 2 > 1

b. Étude locale d’une fonction

Si est une fonction telle que _{2 2 R '} ^{' '}, alors on déduit ∶ 1) La continuité de en 0 avec (0) = ₂

2) La dérivabilité de en 0 avec ′(0) = _R

3) La droite d’équation z = ₂+ _R est la tangente à la courbe {_| au point d’abscisse 0.

4) Si _' >0, {_| est au-dessus de sa tangente au voisinage de 0 et si _' }0, {_| est en-dessous de sa tangente au voisinage de 0.

Exemple 9 :

Dans l’exemple 6, on a obtenu : >√1 ₂ 1 3 2 7

8 ^{' '} En déduire l’étude locale de la fonction au voisinage de 0.

c. Déterminer une asymptote Exemple 10 :

Soit la fonction définie sur 0, ∞‚ par ƒ1 1 Déterminons l’équation d’une asymptote à {_| en +∞.

Il faut tout d’abord déterminer un DL d’ordre 2 de √1 + s au voisinage de 0 : On sait que √1 s ₂ 1 1

2 s 1

8 s^' s^' ₂ 1 1 2 s 1

8 s^' s^'s où lim_t→2s 0 Lorsque → ∞,1

→ 0, on peut donc appliquer le DL précédent à 1 ∶

ƒ1 +1

_%&1 1 2 +1

1 8 + 1

' 1

' .1 0 Puis ƒ1 1

^%& 1 2 1

8 +1 1

.1

0 ^%& 1 2 1

8 .1 0 On en déduit que ~_%& 1

2 et que . 1

20 ~^%& 1 8

Conclusion : la droite d’équation z = +^R_' est asymptote à {_| en +∞ et la courbe se situe en-dessous de son asymptote au voisinage de +∞.

III – Utilisation du logiciel Scilab – Représentations graphiques 1) Graphiques de fonctions

La fonction plot :

Pour deux variables et z contenant les vecteurs lignes ( _R, _', … , _N) et (z_R, z_', … , z_N), plot(x,y) commande le tracé du graphe obtenu en reliant les points de coordonnées ( _†, z_†) par des segments.

Remarque 8 : pour le graphe d’une fonction, on créé des points _† suffisamment rapprochés pour créer l’illusion d’une courbe (mais elle est en fait constituée de segments successifs de longueur très faible).

L’instruction x=min:pas:max créé un vecteur ligne constitué des réels compris entre min et max, le pas donne l’écart entre chaque coordonnée : par exemple x=-2:0.1:2.

Exemple 11 : Traçons le graphe de la fonction : ↦_√'ˆ^R >^{E ‰ŠŠ} sur [−3,3]

function [z]=f(x),z=1/sqrt(2*%pi)*exp(-x^2/2), endfunction x=-3:0.1:3;plot(x,f(x))

Il existe une autre possibilité pour tracer le graphe d’une fonction à l’aide d’un nuage de points : La fonction plot2d :

Pour deux variables et z contenant les vecteurs lignes ( _R, _', … , _N) et (z_R, z_', … , z_N), plot2d(x,y,style)commande le tracé du graphe obtenu :

- en reliant les points de coordonnées ( _†, z_†) par des segments si la valeur attribuée à style est positive,

- en représentant les points non reliés si la valeur attribuée à style est négative.

Tableau de transposition de l’option style :

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

∆  ♦ ⊕ × + . Noir Bleu

foncé Vert Bleu

clair rouge Par défaut, si aucun style n’est précis, le style « 1 » est utilisé.

Exemple 12 : x=1:10;y=[2,5,8,9,9,8,6,4,3,1];plot2d(x,y,1)

Exemple 13 : x=1:10;y=[2,5,8,9,9,8,6,4,3,1];plot2d(x,y,-4,rect=[0,0,11,10])

Remarque 9 : rect=[0,0,11,10] donne une zone d’affichage du graphe pour mieux visualiser les points extrêmes : on va du point (0,0) au point (11,10).

Exemple 14 : x=-1:0.01:3;y=3*x.^2-5*x+1;plot2d(x,y) ou plus simplement :

x=-1:0.01:3;plot2d(x,3*x.^2-5*x+1)

permet de dessiner le graphe de la fonction : ↦3 ^'− 5 +1 sur [−1,3]

Variante : la fonction fplot2d(x,f) : on construit le vecteur et la fonction Exemple 15 :

function [z]=f(x),z=exp(-x), endfunction x=-3:0.01:3;fplot2d(x,f)

2) Diagramme en bâtons, histogramme

Pour deux variables et z contenant les vecteurs lignes ( _R, _', … , _‹ et (M_R, M_', … , M_‹, bar(x,y) commande le tracé du diagramme en bâtons associé à la série dont les valeurs sont les _† et M_† les effectifs associés.

Exemple 16 : Traçons le diagramme en bâtons associé à la série = (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 et z = (2,5,8,9,9,8,2,4,5,6 :

x=1:10;y=[2,5,8,9,9,8,6,4,3,1];bar(x,y)

Pour une variable = ( _R, _', … , _‹ l’instruction

c=linspace(valeur mini,valeur maxi,n+1)

regroupe les _† en M classes (d’où les M +1 extrémités…), puis histplot(c,x) commande le tracé de l’histogramme correspondant.

Exemple 17 : Traçons l’histogramme associé à la série engendrée par la simulation de 1000 variables aléatoires indépendantes de même loi binomiale de paramètres 20 et 0,5 :

x=grand(1000,1,’bin’,20,0.5);c=linspace(0,20,21);histplot(c,x)