Fonctions associées à une fonction 1
Fonctions associées à une fonction
I. Valeur absolue
Activité p 30 A. Fonction valeur absolue
Définition
La valeur absolue d’un nombre réel positif est le nombre lui-même. La valeur absolue d’un nombre réel négatif est l’opposé de ce nombre. Autrement dit, on a |𝒙| = {−𝒙 𝒔𝒊 𝒙 ≤ 𝟎
𝒙 𝒔𝒊 𝒙 ≥ 𝟎
La fonction 𝑓 définie sur R, qui à tout nombre réel 𝑥 associe sa valeur absolue |𝑥|, est appelée fonction valeur absolue.
Exemples
|7,3| = 7,3 |−5,2| = 5,2 |1 − √2| = √2 − 1
Représentation graphique
La courbe représentative de la fonction valeur absolue est la réunion de deux demi-droites.
Dans un repère orthogonal, cette courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Sens de variation et signe
La fonction valeur absolue est décroissante sur ] − ∞; 0] et croissante sur [0; +∞[
Démonstration
Pour tout nombre réel 𝑥 ≥ 0, 𝑓(𝑥) = |𝑥| = 𝑥, donc 𝑓 est croissante sur [0; +∞[
Pour tout nombre réel 𝑥 ≤ 0, 𝑓(𝑥) = |𝑥| = −𝑥, donc 𝑓 est décroissante sur ] − ∞; 0]
𝑓 admet un minimum égal à 0 en 0.
Propriété
Pour tout nombre réel 𝑥,
|𝑥| ≥ 0
|−𝑥| = |𝑥|
Fonctions associées à une fonction 2 B. Représentation graphique de la fonction |u|
Soit 𝑢 une fonction.
Si 𝑢(𝑥) ≥ 0 alors |𝑢(𝑥)| = 𝑢(𝑥) Si 𝑢(𝑥) ≤ 0 alors |𝑢(𝑥)| = −𝑢(𝑥)
La courbe représentative 𝐶|𝑢| de la fonction |𝑢| est confondue avec celle de la fonction 𝑢 sur tous les intervalles où 𝑢(𝑥) ≥ 0.
La courbe représentative 𝐶|𝑢| de la fonction |𝑢| est symétrique de celle de la fonction 𝑢 sur tous les intervalles où 𝑢(𝑥) ≤ 0.
Voir exercice résolu 1 p 31
Applications n°1 – 2 p 31 Exercices n°1 à 8 p 37
II. Représentation graphique de la fonction u+k, avec k constante réelle Activité p 32
Propriété
Si la fonction 𝑢 est définie sur l’intervalle [𝑎 ; 𝑏], alors la fonction 𝒖 + 𝒌 est définie sur le même intervalle et a le même sens de variation que la fonction 𝑢.
La courbe représentative de la fonction 𝑢 + 𝑘 est l’image de la courbe représentative de la courbe de la fonction 𝑢 par la translation de vecteur 𝒌𝒋⃗
La translation de vecteur −3𝑗⃗ transforme la courbe 𝑃𝑓 en la courbe 𝑃𝑔
La translation de vecteur 2𝑗⃗ transforme la courbe 𝑃𝑓 en la courbe 𝑃ℎ
Voir exercice résolu 2 p 33
Applications n°1 – 2 p 31
Exercices n°10 à 14 p 37 – 38
Fonctions associées à une fonction 3 III. Représentation graphique de la fonction 𝒕 ↦ 𝒖(𝒕 +)u+k, avec constante réelle
Activité p 32
Si la fonction 𝑡 ↦ 𝑢(𝑡) est définie sur l’intervalle [𝑡1; 𝑡2], alors la fonction 𝑡 ↦ 𝑢(𝑡 +) est définie sur l’intervalle [𝒕𝟏−; 𝒕𝟐−], et a le même sens de variation que la fonction 𝑡 ↦ 𝑢(𝑡).
La courbe représentative de la fonction 𝑡 ↦ 𝑢(𝑡 +) est l’image de la courbe représentative de la courbe de la fonction 𝑢 par la translation de vecteur −𝒊⃗
La translation de vecteur −2𝑖⃗ transforme la courbe 𝑃𝑓 en la courbe 𝑃𝑔 La translation de vecteur 3𝑖⃗ transforme la courbe 𝑃𝑓 en la courbe 𝑃ℎ
