2:Dm 1 Correction 2014-2015
A x M B
P N R
D Q C
8−x
x10−x
P
I Une fonction
On considèref la fonction définie sur [0; 8] parf(x) =x2−9x+ 20.
1. Prouver quex2−9x+ 20 = (x−4)(x−5), pour toutx∈R.
∀x∈R, (x−4)(x−5) =x×x−5×x−4×x+4×5 =x2−5x−4x+20 =x2−9x+20.
L’égalité est prouvée.
2. En déduire les antécedents de 0 parf dans[0; 8].
Trouver les antécédents de 0 c’est résoudref(x) = 0, c’est à direx2−9x+20 = 0.
Mais d’après la question précédente, cela revient à résoudre (x−4)(x−5) = 0.
On reconnaît une équation-produit :
(x−4)(x−5) = 0⇔x−4 = 0 oux−5 = 0⇔x= 4 oux= 5.
Ces deux solutions sont dans [0; 8] donc 0 a deux antécédents parf dans [0; 8]
qui sont 4 et 5.
II Application
La figure ci-contre représente un panneau rectangulaire de 8 mètres (AB = 8) sur 10 (BC = 10) partagé en quatre zones : un carré AM N P et trois rectanglesM BRN, N RCQet P N QD.
Deux artistes sont invités à s’exprimer sur ce panneau : Amélie sur la zone coloriée et Wilson sur la zone hachurée.
On désire que la zone attribuée à Amélie soitégaleà celle attribuée à Wilson.
Problème :quelle(s) est(sont) la(les) position(s) possible(s) du pointM sur le segment [AB] ?
On note xla distanceAM.
1. A quel intervalle xappartient-il ?
On a 0 6 AM 6 AB (la longueur AM est comprise entre 0 et AB) donc 06x68.
2. Exprimer en fonction dexl’aire de chacune des deux zones (la coloriée et celle qui est hachurée).
On note A(x) l’aire de la zone attribuée à Amélie et W(x) celle de la zone attribuée à Wilson.
• A(x) =AM2+RN×RC =
long.sur.f igx2+ (8−x)(10−x) =x2−18x+ 80 ;
• W(x) =P N×P D+M B×M N =x(10−x) +x(8−x) = 18x−2x2. 3. Montrer que résoudre le problème posé revient à résoudre l’équation
x2−9x+ 20 = 0 dans l’intervalle [0; 8].
Conclure.
On souhaite que A(x) =W(x)⇔2x2−18x+ 80 = 18x−2x2 ⇔4x2−36x+ 80 = 0⇔4(x2−9x+ 20) = 0⇔x2−9x+ 20 = 0
On retrouve l’équation de la partie I. qui admet comme solution 4 et 5 : cela signifie que pour un choix de x= 4 ou un choix dex= 5, les deux artistes disposeront de zones ayant la même aire.
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