2 Fonctions
I) Notion de fonction
Définition : Une fonction est un procédé (une machine) qui, à un nombre, associe (ou relie) un unique nombre. Il y a donc un nombre de départ, et un nombre d’arrivée. Souvent, on donne pour nom de la fonction.
Le nombre de départ s'appelle l'antécédent et le résultat ou le nombre d'arrivée est l'image.
Définition : Le nombre associé à par la fonction s'appelle l'image de . On le note . est l’antécédent de
Exemple 1 : On prend une fonction qui multiplie le nombre par 5 puis soustrait 3.
Nombre de départ 2 12 0 -4
Image de par la fonction 7
(5×2-3) 57
(5×12-3) -3
(5×0-3) -23
(5×(-4)-3)
L'image de 2 est 7. On note . On dit aussi que 2 est un antécédent de 7.
La fonction se note de la manière suivante ou . On appelle ça la forme algébrique de la fonction
Exemple 2 : On prend une fonction représentée ci-dessous.
Pour tracer ou pour lire, on rappelle que l'axe horizontale est l'axe des abscisses ou axe des x.
C'est sur cet axe qu'on lit les antécédents.
L'axe verticale est l'axe des ordonnées ou axe des y. C'est sur cet axe qu'on lit les images
Ici, l'image de -3 par la fonction est -2 . On note .
-3 est l'antécédent de -2.
Il y a plusieurs antécédents pour 4 : -2 ; -0,5 et 3
II) Fonctions linéaires.
Définition : On appelle fonction linéaire toute fonction qui, à tout nombre noté , associe le nombre où a est un nombre. ou est une fonction linéaire.
Dit plus simplement, une fonction linéaire correspond à une situation où le nombre de départ ( ) est toujours multiplier par un même nombre. Elle modélise donc une situation de
proportionnalité. Le nombre par lequel on multiplie le nombre de départ est le coefficient de proportionnalité, souvent noté Exemple : est une fonction linéaire.
Représentation graphique : La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite qui passe par l'origine du repère et par le point de coordonnées .
est appelé aussi coefficient directeur, car il donne la direction (la pente) de la droite.
Voici la représentation graphique de : la droite passe par (0;0) et par (1;2)
III) Fonctions affines.
Définition : On appelle fonction affine toute fonction qui, à tout nombre noté , associe le nombre où a et b sont deux nombres.
ou est une fonction affine.
est appelé coefficient directeur et est l'ordonnée à l’origine.
Exemple : est une fonction affine. Son coefficient directeur est 2 et son ordonnée à l’origine est -3.
Remarque : Dans le cas où b=0, on parle d'une fonction linéaire comme est une fonction linéaire. Toutes les fonctions linéaires sont affines.
Représentation graphique : La représentation graphique d'une fonction affine est une droite.
Pour la tracer, il suffit de connaître deux points, dont on peut calculer les coordonnées.
Par exemple si on veut tracer la fonction . On peut calculer donc la courbe va passer par le point de coordonnées . On peut calculer , donc la courbe va passer par le point de coordonnées
On peut aussi facilement placer un point à partir de l’ordonnée à l’origine et calculer les coordonnées d’un nouveau point ou alors utiliser le coefficient directeur comme sur cet exemple en vidéo.
Dans le cas d'une fonction linéaire ( ), cette droite passe par l'origine du repère et par le point de coordonnées .
A partir d’une représentation graphique (donc à partir de deux points), on peut retrouver la fonction affine qui correspond, comme sur cette vidéo.
Remarque : Tout nombre admet une unique image par une fonction linéaire ou affine.
Tout nombre admet un unique antécédent par une fonction linéaire ou affine non constante.
