II Fonction carré - - - - Fonction inverse - - - - Fonctions affines

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pas une fonction x O

FONCTIONS

I Généralités sur les fonctions

Définitions Soit D une partie de l'ensemble IR.

On définit une fonction f de D dans IR, en associant à chaque réel x de D, un réel et un seul noté f(x) et que l'on appelle l'image de x par f.

La fonction est notée f : D →IR x ֏f(x)

L'ensemble D est appelé ensemble de définition de la fonction f.

On appelle représentation graphique de f, ou courbe représentative de f, l'ensemble (C) des points M de coordonnées (x ; f(x)) avec x ∈ D

L'équation y = f(x) est appelée équation de (C).

Remarque

• Pour x ∈ D, on sait que x a une image et une seule par f.

La représentation graphique de f a donc un et un seul point d'abscisse x.

• Si l'ensemble de définition d'une fonction n'est pas indiqué, il est convenu que cet ensemble de définition est le plus grand ensemble sur lequel f(x) existe.

Par exemple la fonction f définie par f(x) = 1

x est définie sur IR^* c'est-à-dire sur ]-∞;0[ ∪ ]0;+∞[.

Exercice 01 (voir réponses et correction)

Parmi les courbes ci-dessous, indiquer celles qui peuvent représenter une fonction.

Remarque

• Si x et y sont deux réels tels que y = f(x), alors y est l'image de x par la fonction f.

x est un antécédent de y par la fonction f.

• Par une fonction f, un réel x ne peut pas avoir plusieurs images, mais un réel y peut avoir plusieurs antécédents.

x f(x)

O

représente une fonction

O x

y courbe 1

O x

y courbe 2

O

x y

courbe 3

O

x y

courbe 4

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-5 -4 -3 -2 -1O 1 2 3 4 5 6

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

Exercice 02 (voir réponses et correction) On considère la fonction f définie par f(x) = 1

x² + 1 1°) Justifier que f est définie sur IR.

2°) Donner les images par f de 3 ; 0 ; 1 2 ; -3.

3°) Les nombres 2 ; 0 ; 1

2 ont-ils des antécédents par f ? Si oui déterminer ces antécédents.

Exercice 03 (voir réponses et correction) ( voir animation ) On considère la fonction f dont la courbe est donnée par

le graphique ci-contre ou par l'animation.

Compléter le tableau de valeurs suivant :

x - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 f(x)

x 1 2 3 4 5 6

f(x)

Exercice 04 (voir réponses et correction) On considère la fonction f dont la courbe est donnée par le graphique ci-contre ou par l'animation de l'exercice 3.

1°) Donner les valeurs de f(-3) ; f(0) ; f(2) 2°) Donner les antécédents par f de :

0 ; 2 ; - 10 ; - 2

3°) Résoudre les équations f(x) = 1 ; f(x) = - 12 4°) Quel est le minimum de f sur [-5 ; 6] ?

En quelle valeur ce minimum est-il atteint ? Quel est le maximum de f sur [-5 ; 6] ? En quelle valeur ce maximum est-il atteint ?

On considère la fonction f dont la courbe est donnée par le graphique ci-dessus ou par l'animation de l'exercice 3.

1°) Compléter : f est décroissante sur <<<<<<<<<<

f est croissante sur <<<<<<<<<<<

Dresser le tableau de variations de f.

2°) Donner l'ensemble des solutions de chacune des inéquations suivantes : f(x) £ 0 ; f(x) ³ 1 3°) Compléter les propositions suivantes : Si 5 £ x £ 6 alors £ f(x) £

Si -3 £ x £ 3 alors £ f(x) £

Exercice 06 (voir réponses et correction) On considère la fonction f définie par f(x) =3x - 1

2x + 4 (f est une fonction homographique) 1°) Quel est l'ensemble de définition D de f ?

2°) Donner les images par f de 0 ; 1 ; - 3.

3°) Les nombres 1 ; 0 ; 3

2 ont-ils des antécédents par f ? Si oui déterminer ces antécédents.

4°) a) Justifier que pour tout x ∈ D, on a : f(x) =3 2 - 7

2x + 4 b) En déduire que pour tout x > - 2 on a f(x) < 3

2 .

c) Préciser la position de la courbe de f par rapport à la droite d'équation y =3 2 . d) Vérifier en utilisant une calculatrice ou un ordinateur.

(3)

• On dit qu'une fonction f est croissante sur un intervalle I, si pour tout a et pour tout b de I tels que a £ b on a f(a) £ f(b) (On dira que f est strictement croissante si on a la même propriété avec des inégalités strictes)

• On dit qu'une fonction f est décroissante sur un intervalle I, si pour tout a et pour tout b de I tels que a £ b on a f(a) ³ f(b) (On dira que f est strictement décroissante si on a la même propriété avec des inégalités strictes)

Remarque

Une fonction croissante est une fonction qui conserve l'ordre.

Une fonction décroissante est une fonction qui inverse l'ordre.

Si une fonction f est croissante sur un intervalle I ou décroissante sur I, on dit que f est monotone sur I.

Exercice 07 (voir réponses et correction) a et b sont deux réels.

1°) Démontrer, en utilisant des inégalités que l'on justifiera soigneusement, que si a < b alors - 3a + 4 > - 3b + 4

Que peut-on en déduire pour la fonction f définie par f(x) = - 3x + 4 ?

2°) De la même façon justifer le sens de variation de la fonction g définie par g(x) = 2x - 5.

II Fonction carré - - - - Fonction inverse - - - - Fonctions affines

Exercice 08 (voir réponses et correction) 1°) Soient a et b deux réels dans [0;+∞[ tels que a < b .

Factoriser a² - b².

Sachant que a < b que peut on dire du signe de a - b ?

Sachant que a et b sont dans [0;+∞[, que peut on dire du signe de a + b ? En déduire que a² - b² < 0.

Donner, en le justifiant, le sens de variation de la fonction carré sur [0;+∞[.

2°) En raisonnant comme dans le 1°), déterminer le sens de variation de la fonction carré sur ]-∞;0].

3°) Avec une calculatrice ou un ordinateur, tracer la courbe de la fonction carré et vérifier le sens de variation trouvé.

Fonction carré

La fonction carré est définie par f : IR →IR x ֏f(x) = x²

La fonction carré est strictement décroissante sur ]-∞;0].

La fonction carré est strictement croissante sur [0;+∞[.

Son tableau de variations est :

La fonction carré est une fonction paire c'est-à-dire que pour tout réel x on a : f(-x) = f(x).

La courbe de la fonction carré, donnée ci-contre, a pour axe de symétrie l'axe des ordonnées.

La courbe de la fonction carré s'appelle une parabole.

a b f(a)

f(b)

fonction croissante

a b f(a)

f(b)

fonction décroissante

x -∞ 0 +∞

f(x) = x²

0

(4)

Exercice 09 (voir réponses et correction) 1°) Soient a et b deux réels dans ]0;+∞[ tels que a < b .

Justifier que 1 a - 1

b=b - a ab

Sachant que a < b que peut on dire du signe de b - a ?

Sachant que a et b sont dans ]0;+∞[, que peut on dire du signe de ab ? En déduire que b - a

ab > 0.

Donner, en le justifiant, le sens de variation de la fonction inverse sur ]0;+∞[.

2°) En raisonnant comme dans le 1°), déterminer le sens de variation de la fonction inverse sur ]-∞;0[.

3°) Avec une calculatrice ou un ordinateur, tracer la courbe de la fonction inverse et vérifier le sens de variation trouvé.

Fonction inverse

La fonction inverse est définie par f : IR^*→IR x ֏f(x) =1

x

La fonction inverse est strictement décroissante sur ]-∞;0[.

La fonction inverse est strictement décroissante sur ]0;+∞[.

La fonction inverse est une fonction impaire c'est-à-dire que pour tout réel x non nul on a : f(-x) = -f(x).

La courbe de la fonction inverse, donnée ci-contre, a pour centre de symétrie le point O, origine du repère.

La courbe de la fonction inverse s'appelle une hyperbole.

1°) On considère la fonction f définie sur IR par f(x) = 3x - 4.

Soient a et b deux réels tels que a < b .

Étudier le signe de f(a) - f(b) et en déduire le sens de variation de la fonction f.

2°) Même question avec la fonction g définie sur IR par g(x) = -2x + 3.

3°) Avec une calculatrice ou un ordinateur, tracer les courbes représentatives des fonctions f et g et vérifier les résultats des questions précédentes.

Fonctions affines --- Variations- ( voir animation ) On appelle fonction affine, toute fonction f définie sur IR par f(x) = ax + b , a et b étant deux réels.

La représentation graphique d'une fonction affine est une droite.

a est appelé coefficient directeur, b est appelé ordonnée à l'origine.

• Si a = 0, la fonction f est une fonction constante sur IR (elle est définie par f(x) = b).

• Si a > 0, la fonction f est une fonction strictement croissante sur IR.

• Si a < 0, la fonction f est une fonction strictement décroissante sur IR.

Son tableau de variations est : Son tableau de variations est :

x -∞ 0 +∞

f(x) =1 x

x -∞ +∞

f(x)

x -∞ +∞

f(x)

(5)

La représentation graphique d'une fonction affine est une droite Si a = 0, la droite est parallèle à l'axe (Ox).

Si a > 0

Représentation graphique :

Si a < 0

Représentation graphique :

Tableau de signes avec a > 0 Tableau de signes avec a < 0

Remarques

• Le coefficient directeur a est la valeur dont y varie lorsque x varie de 1.

• Dans le cas où b = 0, la fonction f est définie sur IR par f(x) = ax . C'est une fonction linéaire.

Sa représentation graphique est une droite passant par l'origine O du repère.

Exercice 11 (voir réponses et correction) Donner l'expression de la fonction affine représentée par chacune des droites ci-contre.

Dans chacun des cas, tracer, dans le plan muni d'un repère orthonormal, la droite passant par le point A et ayant pour coefficient directeur a. Donner l'expression de la fonction affine représentée par la droite.

1°) A(- 2 ; - 3) ; a = 3 2°) A(3 ; - 5) ; a = - 2 3°) A(2 ; - 2) ; a =1

2 4°) A(- 1 ; 3) ; a = - 1

5 Exercice 13 (voir réponses et correction)

Dans le plan muni d'un repère orthonormal, tracer les représentations graphiques des fonctions affines suivantes :

f₁(x) = 3x - 4 ; f₂(x) = - 2x - 5 ; f₃(x) = - 1

2 x + 1 ; f₄(x) = 3 ; f₅(x) =1 3 x + 2

3

x -∞ - b

a +∞

signe de

ax + b - 0 +

x -∞ - b

a +∞

signe de

ax + b + 0 -

b

- ba 1

a

a < 0 b

- ba

1 a

a > 0 ( voir animation )

d₅

d₃ d₁

d₂

d₄

(6)

III Fonction racine carrée - - - - Fonction cube

Définition

Soit x un nombre réel supérieur ou égal à 0.

On appelle racine carrée de x et on note x, l'unique nombre réel positif dont le carré est égal à x.

Exemple

4 est un nombre réel positif. Il y a deux nombres dont le carré est 4 : ce sont 2 et - 2.

La racine carrée de 4 est le nombre réel positif dont le carré est 4. Donc 4 = 2.

Remarques

• La touche racine carrée d'une calculatrice permet d'obtenir une valeur approchée ou exacte de la racine carrée d'un nombre.

9 donne 3

3 est la valeur exacte de 9 car 3²= 9 lorsqu'on fait le calcul 3² - 9

on obtient 0

12 donne 3.464101615

3.464101615 n'est pas la valeur exacte de 12 lorsqu'on fait le calcul 3.464101615² - 12

on n'obtient pas 0

• On a 1 = 1 ; 2 ≈ 1,414 ; 3 ≈ 1,732 ; 4 = 2 ; 9 = 3 ; 16 = 4 ; 25 = 5 (Ces valeurs sont à connaître).

• Déterminer en utilisant votre calculatrice 12345654320 ; 12345654321 ; 12345654322 Les résultats donnés par la calculatrice sont-ils exacts ?

Propriétés

Si a ³ 0 a² = a Si a £ 0 a² = - a

Si a ³ 0 et b ³ 0 a ^x b = a ^x b Si a ³ 0 et b > 0 a b = a

b Remarque

Si a et b sont des nombres positifs a + b n'est pas égal à a + b. Par exemple 1 + 1 = 2 alors que 1 + 1 = 1 + 1 = 2.

1°) Écrire plus simplement : 12 - 3 ; ( 2 - 3)( 2 + 3) ; ( 2 + 6)² . 2°) Soit A = 2 - 5 et B = 9 - 4 5 . En calculant A² et B², justifier que A²= B².

Peut-on en déduire que A = B ? 3°) Justifier les égalités suivantes :

1 2

= 2

2 ; 1 11 - 3

= 11 + 3

2 ; 45 - 48 + 5 = 4( 5 - 3).

Définition

On appelle fonction racine carrée, la fonction qui à tout réel x supérieur ou égal à 0 associe le nombre x. On note : [0;+∞[ → [0;+∞[

x ֏ x

(7)

1°) a) Justifier que 3 + 5 est un nombre positif.

b) Calculer ( 3 + 5)( 3 - 5). En déduire le signe de 3 - 5. c) En utilisant les questions précédentes, montrer que 3 < 5. 2°) On considère deux nombres réels positifs a et b tels que a < b .

a) Justifier que a + b > 0.

b) Calculer ( a + b)( a - b). En déduire le signe de a - b. c) En utilisant les questions précédentes, montrer que a < b. 3°) Que peut-on en déduire pour la fonction racine carrée ?

Propriété

La fonction racine carrée est une fonction (strictement) croissante sur [0;+∞[.

La représentation graphique de la fonction racine carrée est donnée ci-contre :

Définition

On appelle fonction cube, la fonction qui à tout réel x associe le nombre réel x³. On note IR → IR

x ֏x³

Exercice 16 (voir réponses et correction) 1°)On considère deux nombres réels a et b .

En développant le produit (a - b)(a² + ab + b²), justifier que : (a - b)(a² + ab + b²) = a³ - b³.

2°) On considère deux nombres réels a et b positifs.

a) Justifier que a² + ab + b² est positif.

b) En déduire que a³ - b³ et a - b sont de même signe.

c) En déduire le sens de variation de la fonction cube sur [0;+∞[.

3°) On considère deux nombres réels a et b négatifs.

a) Justifier que a² + ab + b² est positif.

b) En déduire que a³ - b³ et a - b sont de même signe.

c) En déduire le sens de variation de la fonction cube sur ]-∞;0].

Propriété

La fonction cube est une fonction (strictement) croissante sur IR.

La fonction cube est une fonction impaire c'est-à-dire que pour tout réel x on a : f(-x) = -f(x).

La courbe de la fonction cube, donnée ci-contre, a pour centre de symétrie le point O, origine du repère.

x 0 +∞

f(x) = x 0

x -∞ +∞

f(x) = x³

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En utilisant la représentation graphique de la fonction cube obtenue avec une calculatrice ou un ordinateur, résoudre les équations et inéquations suivantes :

(On pensera à utiliser les fonctions de zoom pour plus de précision) a) x³= 7 b) x³ > 7 c) 2x³ + 5 = 0 d) - 2x³ ³ 5 e) - 2(x³ - 3) = 5

1°) En utilisant les représentations graphiques de la fonction inverse et de la fonction cube, donner les solutions de l'équation x³=1

x .

2°) Justifier par le calcul les résultats de la question précédente.

1°) a) Tracer, dans un repère orthonormal, les représentations graphiques des fonctions f et g définies sur IR par f(x) = x³ et g(x) = 3x - 2 .

b) Donner graphiquement le nombre de points d'intersection de ces deux courbes et préciser leurs abscisses.

c) Donner graphiquement les positions relatives des deux courbes.

2°) a) Développer le produit (x - 1)²(x + 2).

b) Retrouver par le calcul les résultats du 1°)b) et du 1°)c).

Exercice 20 (voir réponses et correction) Soit l’équation (E) : 1

x= x - 2 où l’inconnue est un réel de l’intervalle ]0;+∞[.

1°) Représenter, en utilisant une calculatrice, l'hyperbole d'équation y =1

x et la droite d’équation y = x - 2.

Au vu de ce graphique, combien l’équation (E) semble-t-elle admettre de solutions sur ]0;+∞[ ?

Pour chacune des solutions trouvées, déterminer, en utilisant la calculatrice, un encadrement d'amplitude 10^-2 .

2°) a) Justifier que, pour x ∈ ]0;+∞[, l'équation (E) est équivalente à l'équation x² - 2x - 1 = 0.

b) Montrer que pour tout réel x on a x² - 2x - 1 = (x - 1)² - 2.

c) En déduire la résolution de l'équation (E).