Secondes : Fonctions homographiques page 1
Fonction inverse
Fonctions homographiques
I. La fonction inverse :x7→ 1 x (A) Sens de variation
Définition 1
Lafonction inverseest définie surRparf :x7→ 1
x soit f(x)=1 x. Propriété 1
La fonction inverse estdécroissantesur l’intervalle ]− ∞; 0[.
La fonction inverse estdécroissantesur l’intervalle ]0;+∞[.
La fonction inverse a le tableau de variation suivant : x
f(x)
−∞ 0 +∞
0 0
−∞
+∞
0 0
Remarque
Dans le tableau de variations,la double barre sous 0indique que 0 n’a pas d’image.
(B) Courbe représentative
Représentation graphique :La courbe représentative de la fonction inverse estune hyperbole.
Elle est constituée de tous les pointsM µ
x;1 x
¶
et à pour équationy=1 x.
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Propriété 2
L’hyperbole admet le point (0; 0) commecentre de symétrie.
On dit que la fonction inverse estimpaire.
Démonstration
Pour n’importe quel réelx, on a µ
−1 x
¶
= −1 x. Les pointsM
µ x;1
x
¶ etM0
µ
−x;−1 x
¶
appartiennent tous les deux à la courbe et sont symétriques par rapport à origine du repère.
Définition 2
Une fonction f estimpairesi pour tout réelxde son ensemble de définition, le nombre−xfait aussi partie de l’ensemble de définition et f(−x)= −f(x).
Exercices no44 - 45 - 46 - 48 p 120
(C) Comparaison de nombres et inéquations Propriété 3(déduite du tableau de variations) Si 0<a6b, alors 1
a > 1 b. Sia6b<0, alors 1
a > 1 b.
Résolution d’inéquationsde la forme 1
x<aou1
x >aou1
x 6aou 1
x >aavecaréel donné.
Exemple 1 :Résoudre l’inéquation 1
x <4. D’après le graphique ou le tableau de variations, la so- lution est l’intervalle ]− ∞; 0[∪[1
4;+∞[.
Exemple 2 :Résoudre l’inéquation 1
x >7. D’après le graphique ou le tableau de variations, la so- lution est l’intervalle ]0;1
7].
Encadrement de nombres
On cherche à encadrer une expression dexen faisant intervenir des inverses à l’aide de l’enca- drement dex.
Exemple 1 :Donner un encadrement de 1
x pour 3<x<4.
On a 1 4< 1
x <1
3 (la fonction inverse est décroissante).
Exemple 2 :Donner un encadrement de 2
x−1 pour 3<x<4.
On a 1 4< 1
x <1
3 (la fonction inverse est décroissante).
D’où2 4<2
x<2 3⇐⇒2
4−1<2
x−1<2
3−1⇐⇒ −1 2< 2
x−1< −1 3.
Exercices no49-50-51 p 121
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II. Fonctions homographiques (A) Définition
Définition 1
Les fonctions homographiques sont les fonctionsf définies surR\
½
−d c
¾
parf(x)=ax+b c x+d oùa, b,c etdsont des nombres réels avecc non nul etad−bcnon nul.
(B) Courbe représentative Représentation graphique :
La courbe représentative d’une telle fonction s’appelle encoreune hyperbole.
Exemple Soitf :x7→ x
3x+6.
C’est une fonction homographique avec (a=1,b=0,c=3,d=6).
On a : 3x+6=0 ⇐⇒ x= −2.
f est donc définie en tout réel différent de−2.
L’ensemble de définition def est donc ]− ∞;−2[∪]−2;+∞[ que l’on peut aussi noterR\ {−2}.
Il n’y a pas de point d’abscisse−2 surCf.
Exercices no66-67-68-69-71-72 p 121-122
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