Fonction inverse
Définition :
On appelle fonction inversela fonction définie pour tout nombre réel appartenant à ]− ∞; 0[∪]0; +∞[ par f :x7→= 1
x.
Tableau de valeurs :
x -4 -3 -2 -1 −12 0 12 1 2 4
1
x −14 −13 −12 −1 -2 || 2 1 12 14
Représentation graphique :
La représentation graphique de la fonction inverse est appelée hyperbole.
Propriété :
• L’inverse d’un nombre réel strictement négatif est strictement négatif (rgèle des signes pour les quotients). La fonction inverse est donc de signe stricte- ment négatif sur]− ∞; 0[.
• De même, l’inverse d’un nombre réel strictement positif est strictement posi- tif. La fonction inverse est donc de signe strictement positif sur ]0 +∞[.
Propriété et définition :
Pour tout réel x non nul, f(−x) = −f(x). La fonction est dite impaire. Sa repré- sentation graphique dans un repère orthogonal (O;~i;~j) est symétrique par rapport à l’origine O du repère.
Preuve :
Pour tous les réelsxnon nuls,f(−x) = −x1 =−1x =−f(x)et les pointsM(x,1x)etM0(−x;−1x )appartiennent à la courbe et sont symétriques par rapport à l’origine du repère.
Propriété :
Pour tout réel non nul a, 1
x =a équivaut à x= 1 a, c’est à dire que l’équation 1
x =a admet pour unique solution 1 a. Preuve :
Immédiat en remarquant que 1x =a s’écrit 1x = 1a.
1
