Exercices sur les intégrales (1)

Exercices sur les intégrales (1)

1 Soitf une fonction définie et continue sur l’intervalle^I



^{a b;}



(ab) à valeurs dans_. Pour tout entier natureln, on pose :

I n

un



f ^.

1°) Démontrer que, pour tout entiern2, on a :u u_{n n2}u_n1². 2°) On suppose quef est à valeurs strictement positives sur I.

Démontrer que la suite

1

 

 

 

n n

u

u est convergente.

2 Soitf une fonction définie et continue sur un intervalle^I



^{a b;}

 

ab



à valeurs dans

 

^{0 ;1 .}

Comparer

I



f ^et I ²



f ^.

Préciser dans quel cas il y a égalité (autrement dit, déterminer les fonctionsf définies et continues sur I à valeurs dans

 

0 ;1 telles que ²

I I

f f

 

^).

3 Soitf une fonction continue définie sur l’intervalle ^I

 

^{0 ;1} à valeurs dans telle que ¹

 

0

d 1 f x x2



^.

1°) Démontrer qu’il existe un réelaI tel que

 

¹

2

f a .

2°) Démontrer quef admet un point fixe.

4 Soitf une fonction définie et continue sur un intervalle^I



^{a b;}

 

ab



telle que, pour toute fonctionen escalier sur I, on ait

I

0

 f



^.

Déterminerf.

Indication : On pourra utiliser le théorème d’approximation rappelé ci-dessous.

Pour tout 0, il existe une fonction en escalier définie sur I telle que pour tout xI, on ait

   

f x   x .

5 Soitf une fonction continue de [0 ; 1] dans.

Pour tout entier natureln non nul, on pose ¹

 

0

I_n xf x d x n x





 ^et 0¹

^{ }

J_n nf x d

x n x





 ^.

Étudier la convergence de

 

I_n et

 

J_n .

6 Soitf une fonction définie et continue sur un intervalle^I



^{a b;}



^(ab) à valeurs dans telle que

2 3 4

I I I

f  f  f

  

^.

Démontrer quef est constante sur I.

Indication : On pourra calculer



²



²

I

f f



^.

7 Soit E l’ensemble des fonctionsf définies sur l’intervalle^I

 

^{0 ;1} à valeurs dans de classeC¹ telles que

 

0 0

f  et f

 

1 1.

Pour toute fonctionf de E, on pose

 

¹

   

0

' d

J f 



f t f t t^. 1°) Démontrer que pour toute fonction fE, on a :

 

¹

J f e. Indication : Calculer d’abord ¹

   

0

e^tf' t f t  dt



^.

2°) Existe-t-il une fonction fE telle que

 

¹

J f e ?

3°) Pour tout entier naturel n1, on considère la fonction f_n définie sur I par

 

^{e e}

e e

t nt

n n

f t





 

 .

a) Vérifier que f_nE. b) Calculer J f

 

n .

c) Justifier que l’ensemble



^{J f}

 

^{, fE}



admet une borne inférieure et donner sa valeur.

8 Soitf une fonction définie et continue sur l’intervalle^I

 

^{0 ;1} à valeurs dans.

Déterminer

 

1 2

0

lim ⁿ d

n n t f t t

  



^.

Le 11-10-2020

On peut faire directement

 

1 2

0

lim ^x d

x x t f t t

  



^.

9 Soitf une fonction définie et continue sur un intervalle^I



^{a b;}



(ab) à valeurs dans.

On suppose qu’il existe un entier natureln tel que ^k



^{0, 1,}ⁿ

  

I

d 0

x f xk x



^.

Le but de l’exercice est de démontrer quef s’annule au moinsn1 fois en changeant de signe dans l’intervalle

 

^{a b; .}

1°) Calculer

   

I

d f x P x x



^{pour Pn}

^{ }

^{X .}

2°) Démontrer quef s’annule en changeant de signe au moins une fois dans l’intervalle

 

^{a b; .}

3°) On suppose quef s’annule en changeant de signe ena₁,a₂, …,a_p (a₁a₂ ... a_p) dans l’intervalle



^{a b;}



^{avec pn.}

Conclure en considérant

   

1 p

i i

P x x a







 ^.

10 Soitf une fonction définie et continue sur un intervalle^I



^{a b;}



^(ab) à valeurs dans.

Démontrer que si l’on a :

I I

f  f

 

^{, alors}f est de signe constant sur I.

Indication : Écrire f f_f_ et distinguer deux cas suivant que

I

0



f^{ ou}



^If0.

11 Pour tout entier natureln1, on note f_n la fonction en escalier définie sur l’intervalle^I

 

^{0 ;1} par

 

fn x n si 1 0 ;

x n

 

   et fn

 

x ⁰ si x0 ou si 1

; 1

x n

 

  . 1°) Déterminer lim _n

 

n f x

   (xI fixé).

2°) Calculer

I

fn



^.

12 Soitf une fonction définie et continue sur un intervalle^I



^{a b;}

 

^a^b



à valeurs dans.

Démontrer que l’on a :

       

2 2

2 2

cos d sin d d

b b b

a a a

f x x x f x x x b a f x x

   

 

 

     

   





 



 ^



^.

Préciser le cas d’égalité.

13 Soitf une fonction définie et continue sur l’intervalle ^I

 

^{0 ;1} à valeurs dans.

1°) Démontrer que ¹

 

0

lim ⁿ d 0

n x f x x

  



 ^.

2°) Démontrer que si ^f

 

^{1 0, alors 1}

 

0

lim ⁿ d 0

n n x f x x

  



 ^.

14 Soitf une fonction définie et continue sur l’intervalle



^{0 ;}



à valeurs dans_. On suppose qu’il existe un réela tel que pour tout entier^k



^{0 ; 1 ; 2}



^{, on ait}

     

0

cos 2kx f x dx 4k 1 a



 



^.

Le but de l’exercice est de démontrer quef est identiquement nulle sur



^{0 ;}



^.

1°) Pour tout entier^k



^{0 ; 1 ; 2}



^{, on pose 2}

 

0

cos^k d

Jk x f x x







^.

Calculer J_k, pour tout entier^k



^{0 ;1 ; 2}



, en fonction de a.

2°) Calculer J₀ J₁ J₂ ; conclure.

15 Étudier les variations de la fonction :x xe^x. En déduire

0

lim e d

n

n nx

n x ^ x

  



^.

16 Soitf une fonction définie et continue sur l’intervalle^I

 

^{0 ;1} à valeurs dans l’intervalle



^{a b;}



^{oùa etb}

sont deux réels tels quea 0 b. Démontrer que si

 

I

d 0 f t t



^{, alors}



^{If t}

^{ }

^{2 dt–ab.}

Méthode : On part de



^{af t}

   

^{bf t}

^{ } 

^0 pour tout réeltI.

17 Soitf une fonction définie sur à valeurs dans. Pour tout réelX, on pose

     

0

E d

X

F X 



f x x^. Donner une expression de ^{F X}

 

^.

Pour tout réelX, E(X) désigne la partie entière deX.

18 On considère la fonctionf :

 

^{0 ;1 ®} telle que ^{f x}

 

^x si x et ^{f x}

 

⁰ sinon.

On se propose de démontrer quef n’est pas intégrable au sens de Riemann sur

 

^{0 ;1 .}

1°) Démontrer que^I

 

^f ⁰.

2°) Soith une fonction en escalier sur

 

0 ;1 telle que pour tout^x

 

^{0 ;1 f x}

 

^{h x}

 

^.

On note 



x0,x1, ...,x_n



une subdivision adaptée àh.

Démontrer que ¹



1



¹



1



0 1 1

( ) d

2

n n

k k

k k k k k

k k

x x

h x x x x x_ ^ x x_

 

  

 



^{  .}

En déduire queI

 

¹

f 2

  .

3°) Conclure.

4°) Démontrer que^I

 

¹

f 2

  .

19 On considère la fonctionf :x 1 2 x .

On considère la suite de fonctions

 

g_n définies sur par g₀id_ et g_n1fg_n.

Déterminer ¹

 

0

lim _n d

n g x x

  



^.

20 Soita etb deux réels tels queab. On pose ^I



^{a b;}



et l’on noteE l’ensemble des fonctions continues de I dans.

Déterminer les fonctions fE telles que pour toute fonction gE, on ait :

I

0 fg



^.

21 Première formule de la moyenne

I désigne un intervalle

 

^{a b, oùa et}b sont deux réels tels queab.

Soitf une fonction continue sur I dans etg une fonction continue sur I dans à valeurs positives ou nulles.

Démontrer qu’il existe un réelcI tel que

 

I

fg f c g

 

^.

Application : Déterminer

2

0

lim cos d

x

x x

t t

 t





^.

22 Soitf une fonction continue de ^I



^{a b;}



^{(ab) dans}. On pose

I

Msupf.

On veut démontrer que

 

I

lim n ⁿd M

n f x x

  



   ^.

1°) Démontrer que n ^*

 

I

d M

n n

n



f x  x^ b a ^.

2°) Soit un réel strictement positif. À l’aide de la question précédente, démontrer qu’il existe un entier naturel N tel que1 nN₁Þ

 

I

d M

n

n



f x  x^  ^.

3°) Démontrer qu’il existe un intervalle^J



^{c d;}



(cd) inclus dans I tel que pour tout tJ on ait

 

^M

f t  2. Conclure.

23 Soit ^a

 

^{0 ;1}.

Déterminer toutes les fonctionsf continues de^I

 

^{0 ;1} dans telles que x I

   

0

d

ax

f x 



f t t^. Indication : Introduire

 

I

M sup

x

f x



 .

24 Soitu une fonction continue définie sur l’intervalle^I

 

^0,1 à valeurs dans telle que l’on ait

I

1 u2



^.

1°) Démontrer queu admet au moins un point fixe x₀ dans I.

On considèrera la fonctionv définie sur I par^{v t}

   

^{u t} ^t. 2°) On suppose de plus que l’on a

 

I

d 1 tu t t3



^.

Démontrer queu admet au moins deux points fixes distincts dans I.

On considèrera la fonctionw définie sur I parw t

  

 t x v t0

  

.

25 1°) Soit A une partie non vide de. Pour tout réelx, on pose

 

A

d ; A inf

a

x x a

   .

Démontrer que la fonctionf :xd



x; A



est continue (on pourra démontrer quef est lipschitzienne de rapport 1).

2°) Dans cette question, on prend 1 ^*

A ,n

n

 

  

 . Calculer l’intégrale def sur

 

0 ;1 (on pourra s’aider de l’allure de la représentation graphique def).

26 Inégalité de Tchébytcheff

1°) Soit



^a₁^{, ...,a}_n



^et



^b₁^{, ...,b}_n



deux suites finies de réels de même monotonie.

Démontrer que

1 1 1

1 ⁿ 1 ⁿ 1 ⁿ

i i i i

i i i

a b a b

n n n

  

  

  

  



  

 ^{ .}

Indication : Calculer

  

1 1

n n

i j i j

i j

a a b b

 

 



^.

2°) Soitf etg deux fonctions définies sur l’intervalle ^I

 

^0,1 à valeurs dans continues par morceaux.

On suppose quef etg sont monotones et de même monotonie surI.

Démontrer que l’on a :

I I I

f g fg

  

^{ .}

Inégalité à rapprocher de l’inégalité de Grüss ? Partie 1

Dans toute cette partie,n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 1 et on poseEⁿ.

Soit ^a



^a₁^{, ...,a}_n



et^b



^b₁^{, ...,b}_n



deux éléments deE que l’on a pourra assimiler à des suites finies de réels.

On dit quea etb vérifient la conditionS lorsque ^

 

^{i j, }

 

^{1 ;n 2}



aiaj



bibj



⁰. Dans ce cas, on peut dire que les suitesa etb sont synchrones.

1°) Dans cette question, on prend n3.

Démontrer que les suites ^a



^{4, 1, 2}



^{et b}



^{1, 1, 0}



vérifient la conditionS.

2°) Justifier que la conditionS est vérifiée dans chacun des cas suivants :

· l’une des deux suitesa oub est constante ;

· les deux élémentsa etb deE ont la même monotonie ;

·b a avec est un réel positif ;

·^{b   a}



^{, , ...,}



^où est un réel.

3°) Soita etb deux éléments deE vérifiant la conditionS.

Démontrer que l’on a

1 1 1

1 1 1

n n n

i i i i

i i i

a b a b

n n n

  

  

  

  



  

 ^{ .}

Indication : Calculer

  

1 1

n n

i j i j

i j

a a b b

 

 



^.

4°) Qu’obtient-on dans l’inégalité précédente lorsque l’une des suitesa oub est constante ? 5°) Quelle inégalité obtient-on lorsqueab ? Retrouver ce résultat par une autre manière.

Partie 2

1°) SoitI un intervalle non vide de.

On dit que deux fonctionsf etg définies surI vérifient la conditionS lorsque



^{x y,}



^I2

 



^{f x}

 

^{f y}

   

^{g x}

   

^{g y}



^0.

Dans ce cas, on peut dire que les fonctionsf etg sont synchrones.

Justifier que la conditionS est vérifiée lorsque :

· l’une des deux fonctionsf oug est constante ;

· les deux fonctionsf etg ont la même monotonie surI ;

· g f où est un réel positif ;

· g  f où est un réel.

2°) Dans toute la suite, on suppose que :

·I est un intervalle fermé borné de dont la longueur est égale à 1 ;

·f etg sont deux fonctions définies surI continues par morceaux vérifiant la conditionS.

Démontrer que l’on a :

I I I

f g fg

  

^{ .}

Indication : considérer des sommes de Riemann et utiliser la partie 1.

Énoncer une condition suffisante pour qu’il y ait égalité.

3°) Que donne l’inégalité précédente lorsque l’une des deux fonctionsf oug est constante ? 4°) Quelle inégalité obtient-on lorsque f g ? Retrouver ce résultat par une autre manière.

27 Soitu une fonction continue de ^I

 

^{0,1 dans.}

Comparer

2

I

u

 

 

 





 ^et



^Iu2. À quelle condition y a-t-il égalité ? Indication : On pourra calculer

 

²

I

um



^avecm



^Iu.

28 Soitu une fonction continue de ^I

 

^0,1 dans.

Démontrer que l’on a : e e^u

I Iu



^



^.

Indication : On pourra utiliser l’inégalité e^x1x appliquée à

 

I

xu t 



u^. À quelle condition y a-t-il égalité ?

29 Soitu une fonction continue sur ^I

 

^0,1 à valeurs strictement positives.

Démontrer que l’on a : 1

1

I I

u u

   

   

   



 

  ^ . À quelle condition y a-t-il égalité ? 30 Pour toutn^*, on pose

 

1 1

n n 1i j

n

i j

S i j



 

 



 . Trouver lim n

n S

   . Indication : On pourra utiliser le fait que

1 1 0

1 t^ dt





pour transformer l’écriture de S_n.

31 Même énoncé qu’au 30 avec

 

 

1 1

1

2 1

n n i j

n

i j

S i j



 

 

 



^; 0¹²

1 d

2 1 t ^ t

 



^.

32 Inégalité de Jensen

On pose ^I

 

^{0 ; 1}. Soitu une fonction deI dans continue par morceaux et une fonction convexe de dans

.

En utilisant les sommes de Riemann, comparer :

I

u

 

 





 ^et I

 u



^{ .}

33 Soitu une fonction continue de ^I



^{0 ;}



^dans telle que l’on ait :

 

^{sin d 0}

I

u x x x



^.

1°) Démontrer queu admet au moins un zéro x₀ dansI.

2°) On suppose de plus que l’on a :

 

^{cos d 0}

I

u x x x



Démontrer queu admet au moins deux zéros distincts dansI.

On pourra raisonner par l’absurde en considérant la fonctionv définie surI par v x

    

u x sin x x 0



. 34 Soitf une fonction définie de^I



^{a b;}

 

^ab



^dans continue par morceaux. Pour tout entier natureln

non nul, on pose

 

I

e d

x n

un



f x x^.

Démontrer que

 

^u_n converge et déterminer sa limite.

Indication : Traiter d’abord le cas oùf est positive.

35 Soitu une fonction définie sur^I



^{a b;}

 

^ab



à valeurs dans

 

0 ;1 continue.

Comparer ²

I



u ^et I



u. À quelle condition y a-t-il égalité ? Application :

Démontrer que l’on a :

0

sin dx x 2





 ^.

36 Soitu une fonction définie sur^I



^{a b;}

 

^a^b



à valeurs dans

 

0 ;1 continue par morceaux. Pour tout entier natureln, on pose _n ⁿ

I

a 



u ^. Démontrer que la suite

 

an converge.

37 Soitf une fonction définie sur l’intervalle^I

 

^{0, 1} à valeurs dans.

Déterminer

 

1

0

lim d

n

n tf t t

  



^.

38 Déterminer

2

0

lim ⁿsin d

n x x



  



(on pourra utiliser, après l’avoir prouvée, l’inégalité 2 sin

x x x

   pour

0 ;2 x  

  ).

39 Soitu une fonction continue définie sur ^I

 

^{0 ;1} à valeurs dans I.

Démontrer que l’on a

 

I

1 1 u u 4



^{ .}

À quelle condition y a-t-il égalité ?

40 Soitf une fonction continue définie sur un intervalle

 

^{a b, (ab}) à valeur dans. On suppose que



^{0, ...,}



k n

 

 

d 0

b k a

x f x x



^.

1°) SoitP une fonction polynomiale de degré inférieur ou égal àn. Que vaut

 a b,



fP ^? 2°) a) Démontrer qu’il existe au moins un réel de

 

^{a b, en lequel}f s’annule et change de signe.

b) Démontrer quef s’annule et change de signe en au moins n1 réels de

 

^{a b, .}

Indication : raisonner par l’absurde en supposant que x₁, …, x_n sont les réels de

 

^{a b, où}f s’annule et change de signe puis considérer P x

  

 xx1

 

... xx_n



.

41 Soitu une fonction définie sur un segmentI de à valeur positives ou nulles.

Pour tout entier naturelk, on pose k ^k

 

^d

I

a 



t u t t^.

Démontrer que pour toute suite finie



x x0, 1, ...,x_n



de réels on a :

0 0

0

n n

i j i j

i j

a_x x

 



^{ .}

Indication : Considérer le carré du polynôme

 

0 n

i i i

P t x t







^.

Soitu une fonction définie sur un segmentI de à valeurs positives ou nulles.

Pour tout entier naturelk1, on pose k ^k1

 

^d

I

a 



t^u t t^. Démontrer que



x1, ...,x_n



ⁿ

1 1

0

n n

i j i j

i j

a_x x

 



^{ .}

Indication :

 

2 1 2

1 1 1

d

n n n

i

i j i j i

i j I i

a_x x x t^ u t t

  

 

 

  

 

  

^.

Application :

Démontrer que



x1, ...,x_n



ⁿ

1 1

0

n n

i j

i j

x x i j

  



^{ .}

On peut aussi, en se limitant à des indices supérieurs ou égaux à 1, démontrer que

1 1

0

n n

i j

i j

x x i j

  



^{ .}

Voir pour cela, le DS1 d’Aurélien Poiret année scolaire 2020-2021.

42 Lemme de Lebesgue

Soitf une fonction continue par morceaux de^I

 

^{a b,}



^a^b



dans. Pour tout entier natureln, on pose

   

I

cos d

Jn



f x nx x^.

Démontrer que J_n_{n  } 0 lorsquef est en escalier sur I puis lorsquef est continue par morceaux (on pourra utiliser la propriété suivante d’approximation :

 0  en escalier sur I telle que x I ^{f x}

   

^{  x )}

Démontrer directement que J_n_{n  } 0 lorsquef est de classeC par une méthode simple.¹

43 Soitf une fonction continue par morceaux de^I

 

^{a b,}



^a^b



dans. Pour tout entier natureln, on pose

   

I

sin d

Jn



f x nx x^.

Démontrer que

 

Jn converge et exprimer sa limite en fonction de

I



f ^:



dans le cas oùf est constante



puis dans le cas oùf est en escalier



et enfin dans le cas oùf est continue par morceaux (on pourra utiliser la propriété d’approximation suivante vue dans le cours : 0  en escalier sur I telle que x I ^{f x}

   

^{  x ).}

44 Inégalités de Cauchy-Schwartz et de Minkovski

Soitu etv deux fonctions de^I

 

^{a b,}



^a^b



dans continues par morceaux.

1°) Démontrer que l’on a : ^{2 2}

I I I

uv u  v



^

 

^.

À quelle condition y a-t-il égalité dans le cas oùu etv sont continues ? Indication : Considérer la fonctionF définie sur par

   

²

I

F t 



tuv ^.

2°) Démontrer que l’on a :

 

^{2 2 2}

I I I

uv u  v



^

 

^.

À quelle condition y a-t-il égalité dans le cas oùu etv sont continues ? 45 Soit a₀ etb₀ deux réels fixés.

On considère les suites réelles

 

an et

 

bn telles que pour tout entier natureln, on ait 1 ¹

 

0

max , d

n n

a_ 



x b x

et 1 ¹

 

0

min , d

n n

b_ 



x a x^.

Étudier la convergence des suites

 

an et

 

bn .

46 À toute fonctionf, continue sur l’intervalle

 

0 ;1 , à valeurs dans, on associe la suite



ak

 

f



k

 définie

par

 

¹

 

0 k d ak f 



x f x x^.

1°) Démontrer que pour toute fonctionf continue sur l’intervalle

 

0 ; 1 , à valeurs dans on a :

 

⁰

k k

a f _{  } .

2°) Soit et deux réels vérifiant 0  1.

Démontrer qu’il existe un polynômeP du second degré satisfaisant aux conditions suivantes : (i) :^{   x}

 

^, P x

 

1

(ii) : ^x

   

^0, ^{,1 0P x}

 

^1.

Un tel polynômeP étant choisi, calculer ^lim

 

^{n d}

n P x x



  



 

 



^.

3°) a) Soitf une fonction continue sur l’intervalle

 

0 ;1 à valeurs dans.

On suppose qu’il existe trois constantes,, avec 0 et 0  1 telles que l’on ait

 

^,

   x ^{f x}

 

.

Soit alors un polynômeP satisfaisant aux conditions imposées dans la question précédente.

Calculer ¹

   

0

lim ⁿ d

n f x P x x

  



  ^.

b) En déduire que sif est une fonction continue sur

 

0 ; 1 telle que^a_k

 

^f ⁰ pour tout entier naturelk, alorsf est identiquement nulle.

On pourra raisonner par l’absurde.

4°) Soitf une fonction continue sur

 

^{0 ; 1 .}

a) Calculerak

 

F oùF est la fonction définie sur

 

^{0 ; 1 par}

 

¹

 

^d

x

F x  



f t t^.

b) On suppose qu’il existe un entier naturelp tel que pour tout entier naturelkp, on aitak

 

f ⁰. Démontrer quef est identiquement nulle.

47 1°) Démontrer que pour tout réelx0, on a : ^{2 ln 1}

 

2

xx  x x. 2°) Soitf une fonction continue sur l’intervalle

 

0 ;1 à valeurs dans.

Déterminer

0

lim 1 1

n

n k

f k

n n

  



    

  

 



^.

3°) Déterminer ₂

0

lim 1

n

n k

k

   n



  

 

 



^{, 3}

0

lim 1

n

n k

k

   n



 

  

 

 



^{, 1}

0

lim 1

n

n k

k n



   



  

 

 

 ^

^{ 0}

^

^.

48 Soitf etg deux fonctions définies et continues sur l’intervalle ^I

 

^0,1 à valeurs dans.

Déterminer

1

0

lim 1

n

n k

k k

f g

n n



  



    

   

   



^.

Indication : Considérer

1

0

A 1

n n

k

k k

f g

n n n





   





      ^.

On pourra d’abord considérer le cas oùg est lipschitzienne.

Application :

Soit et deux réels strictement positifs tels que    1. Démontrer que la suite de terme général

   

0

1 1

n

k_ nk ^  n k ^



converge et déterminer sa limite.

Corrigé

2 « dans I » : très important

Dans l’énoncé initial, j’avais souligné deux fois le « à valeurs dans I »

Déterminer les fonctionsf continues définies sur^I

 

^{0 ;1} à valeurs dans I telles que ²

I I

f f

 

^.

 

I

1 0

f f 



^{; or, f}

^

^1f

^

^{0 Þf}

^

^1f

^

^{0 Þ x f x}

^{ }

^{0 ou1f x}

^{ }

^0.

Autre version possible (écrite le 19-4-2021) :

Soitf une fonction définie et continue sur un intervalle^I



^{a b;}

 

ab



à valeurs positives ou nulles.

On note M le maximum def sur I.

Démontrer que ²

I I

M

f f



^



^.

3 1°) Inégalité de la moyenne

1

 

0

d m^



f x x^M

 0 ;1

minf

 0 ;1

maxf 1

m 2 M

On applique le TVI àf sur l’intervalle

 

0 ;1 car elle est continue sur

 

^{0 ;1 .}

Donc il existe un réel^a

 

^{0 ; 1tel que}

 

¹

f a 2. 4 f² f M d’où f  Mf²f  M On utilise un raisonnement à la Cauchy.

Autre méthode (Paul Dario le 7 février 2011) :

Sif n’est pas la fonction constante nulle, il existe un réel dans I tel que ^f

 

^{ 0.}

1^er cas : f

 

 0.

Il existe donc un réel > 0 tel que       ^x



^;



^{f x}

 

^0.

On considère la fonction définie par

   

 

1 si ;

0 si ;

x x

x

      

 

       . La fonction est en escalier.

On a donc :

I

0

 f



^.

D’où f 0



 



^.

Or la fonctionf est strictement positive et continue sur l’intervalle



     ^;



. On obtient ainsi une contradiction.

2^e cas : ^f

 

^{ 0.}

Conclusion : la fonctionf est la fonction nulle.

6 2°) Non, sinon ^{f t}

 

^Cet



^C



^.

8 On peut commencer par regarder ce qui se passe pour une fonction constante.

On écrit ensuite ^{f t}

 

^{ f t}

 

^–f

 

^{0 f}

 

^{0 .}

On se donne un nombre 0. On utilise la continuité def en 0.

La limite est

 

⁰

2

f .

10 Autre rédaction possible de l’indication :

Exprimerf à l’aide de f_ et de f_ et distinguer deux cas suivant le signe de

I



f^. 14 1°) 0

 

0

d

J f x x a







 ^.

   

2 1

0 0

1 cos 2 5

cos d d 3

2 2 2

x a a

J x f x x f x x a

 









   

 

4 2

0

cos d 4

J x f x x a









2°) J₀ J₁ J₂0



^{2 4}

  

0 1 2

0

1 cos cos d

J J J x x f x x



  



 

Or1 cos ²xcos⁴x 1 cos²xsin²x1 d’où la conclusion.



^{2 2}

  

0 1 2

0

1 cos sin d

J J J x x f x x



  





17 Il faut distinguer des cas suivants les valeurs deX.

Si X1, alors

 

^{E( ) 1}

         

0

E E

X

k

f X f k x X f X









  ^.

Si 0X 1, alors ^{f X}

 

^Xf

 

⁰ . Si X0, …

18

f :

 

^{0 ;1} ® telle que ^{f x}

 

^x si x et ^{f x}

 

⁰ sinon 1°) Démontrer queI–

 

f 0.

2°)h : fonction en escalier sur [0 ; 1] telle que^{ x}

 

^{0 ;1 f x}

 

^{h x}

 

^.

On note 



x x0, 1, ...,x_n



une subdivision adaptée àh.

h vaut c_i sur l’intervalle



x_i–1;x_i



. Or x



x_i–1;x_i



  ^{h x}

 

^x.

D’où x



x_i–1;x_i



  c_ix.

On prend une suite de rationnels

 

rn dans l’intervalle



x_i–1;x_i



qui tend vers x_i. On en déduit que n r_nc_i.

Par conséquent, en appliquant le TPLI, on obtient : x_ic_i. 3°) Conclure.

4°)^{ x}

 

^{0 ;1 f x}

 

^x

Donc^I

 

^I

   

^{I 1}

f x x 2

     .

19

 

¹



²



²

2

n

gn x     x 

26 Remarque : On peut prendre pourI un intervalle fermé borné de longueur 1.

27 Autre version :

Soitu une fonction continue de ^I

 

^{0, 1} dans.

Démontrer que l’on a :

2 2

I I

u u

 

 

 



 

 ^ . À quelle condition y a-t-il égalité ? J’ai mis sur le site une autre version meilleure.

30

   

 

2 1

2 0

1

d 1

n n

t t

S t

t

  





 

1 2 0

d ln 2 1 1 2

n n

S t t

   t

  





34 Dans le cas oùf est positive ou nulle sur I, on a

 

^d n ^e1n

 

^d

I I

f x x I f x x



^{ }



^.

Lorsquef est de signe quelconque, on pose f f_f_.

37 Déterminer

 

1

0

lim d

n

n tf t t

  



^.

Solution :

Appliquer la formule de la moyenne (éventuellement faire quelques cas :f identiquement égale à 1).

45 Étude de suites définies par des intégrales Si0 x 1 on a

 

^{2 1}

2 2

F x x  Si x0 on a 1

( ) 2 F x  . Si x1 on a F x( )x. Si0 x 1, on a

 

²

2 G x  x x

Si x0, on aG x

 

x. Si x1, on a

 

¹

G x 2. 2

n an_2G b

  

n_1  GF

 

an

  

2

n n

b_  FG b

46 4°) a)

 

1

 

1

k k

a f

a F k

  



48 Dans le cas général, il faut utiliser la continuité uniforme deg.

Voir document :

Questions de cours

Théorie de l’intégration

1 Définition d’une fonction continue par morceaux sur un segment. Exemple (illustration graphique).

Exemple de fonction non continue par morceaux.

Propriétés (toute fonction continue par morceaux sur un segment est bornée). Structure d’espace vectoriel de l’ensemble des fonctions continues par morceaux sur un segment). Partie positive, partie négative, valeur absolue d’une fonction continue par morceaux.

2 Subdivision d’un segment. Subdivision régulière. Subdivision plus fine qu’une autre.

3 Définition d’une fonction en escalier sur un segment. Subdivision adaptée.

Structure d’espace vectoriel d’une fonction en escalier sur un segment.

Définition de l’intégrale d’une fonction en escalier sur un segment.

4 Définition de l’intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment.

5 Positivité de l’intégrale d’une fonction continue par morceaux. Cas de nullité dans le cas d’une fonction continue sur un segment de signe constant.

6 Linéarité de l’intégrale d’une fonction continue par morceaux.

7 Somme de Riemann d’une fonction continue sur un segment.

Théorème de convergence des sommes de Riemann.

Donner une illustration des sommes de Riemann dans le cas d’une fonction continue par morceaux à valeurs positives ou nulles.

Donner un encadrement de l’intégrale à l’aide de sommes de Riemann dans le cas d’une fonction continue par morceaux monotone à valeurs positives ou nulles. Préciser l’amplitude de l’encadrement.

8 Inégalité de Cauchy-Schwartz (énoncé et démonstration).

Si manque de temps, donner uniquement le principe de la démonstration.

9 Théorème d’approximation d’une fonction continue par morceaux sur un segment.

10 Cahier des charges d’un opérateur d’intégration sur l’ensemble des fonctions continues par morceaux sur un segment.

11 Inégalité de la moyenne pour les intégrales (énoncé et démonstration).

12 Le théorème fondamental de l’analyse (hypothèses, énoncé et démonstration).

13 Le théorème du changement de variable (hypothèses, formule, démonstration et si possible un exemple).

14 Le théorème d’intégration par parties (hypothèses, formule, démonstration et exemple).

15 Formule de Taylor avec reste intégral (hypothèses, énoncé, démonstration) ; inégalité qui en résulte.

Application : écrire la formule de Taylor avec reste intégral pour la fonction exponentielle entre 0 etx.

16 Intégrale d’une fonction continue par morceaux paire sur un segment centré en 0, intégrale d’une fonction continue par morceaux impaire sur un segment centré en 0, intégrale d’une fonction continue par morceaux périodique sur une période.

17 Cahier des charges

18 Intégrale supérieure et inférieure d’une fonction bornéef (hors-programme) ^I

 

^f et^I

 

^f . 19 Propriétés, évaluation (validation) du cahier des charges

20 Fonctions et telles que  f  et 0   

 et sont appeléesfonctions de Darboux.