Chap 6 : Intégrale de Riemann à valeur dans un Banach
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Chap 6 : Intégrale de Riemann à valeur dans un Banach
I. Construction
([ , ], )
[ , ]a b segment de , ab ( ,E ) espace de Banach a b E est le ev des fonctions en escalier
0
1
0 1
1
... ) (
, )
( ) [ , ]
( ) ( )
2
( ) (
subdivision adaptée à
Le vecteur ne dépend
,
de norme
s'appelle l'intégrale de sur , que l'
pa
on not
d
e
s e
n n
i
i i
i i
b a
x
E b a
I a b
x
x x
I x x
I
L
([ , ], ) ( )
) ( ) [ ,
( ]
et
CV, sa limite ne dépend pas de , on l'appelle intégrale CVU ve
de sur , notée
n rs
n pm
b n a
f a b E
f a b f
f I
C
|| ( ) || ||
0 0
Linéarité de l'intégrale, positivité croissance
: si est strictement positive sur un point de continuité,
b b b
a a a
b a
f b a f f f E
E f f
II. Sommes de Riemann
0,
1 1
1 1 0
( ) (( ) ) [ , ] | | 0.
, 0, , [ , ]
([ , ], ) ( ) ( ) ( )
suite de subdivisions de dont le pas tend vers
, la suite converge vers
n
n i n i pn n n
n i n i n i n
p b
pm n i n i n i n a
i
x a b
n i p c x x
f a b E S f x x f c f
C
Approximation par
f k lip ok APMok
III. Formule de Leibniz
[ , ]a b intervalle de , p * f Cpm([ , ],a b p)
1
:[ , ]
'( ) ( )
On dit que est une primitive généralisée de si
est continue, par morceaux et : en tout point de continuité de
F a b p F f
F F x f x f
C [ , ]
: est une primitive généralisée de
p b a
a b
F f
x f
[ , ]: [ , ],
( ) ( )
primitive généralisée de sur primitive généralisée de sur est constante
b a
F f a b G f a b F G
f F b F a
, ([ , ], ) , :
( ) ( ) [ ] ( ) ( )
deux primitives généralisées de et
pm
b b b
a a a
f g a b F G f g
F x g x dx FG f x G x dx
C
