Intégrale de Riemann

(1)

Intégrale de Riemann

Exercice 1. Primitives de fraction rationnelles

Déterminer une primitive pour chacune des fonctions suivantes : 1) 1

x³−1 2) 1

(x³−1)² 3) 1

x³(1 +x³) 4) x²+x+ 1 (x²−1)² 5) 1

1 +x⁴ 6) x²

1 +x⁴ 7) x

(x⁴+ 1)² 8) x²+x+ 1 x³−2x−4 9) x²−4

x⁶−2x⁴+x² 10) 1

x²⁰−1 11) 1

(x−a)ⁿ(x−b) Exercice 2. Primitives de fonctions trigonométriques

Déterminer une primitive pour chacune des fonctions suivantes :

1) 1

sinxsin 4x 2) tanx

1 + tanx 3) cosx√

cos 2x 4) 1

sinx+ sin 2x

5) 1

cosxcos 2x 6) 1

sinxp

sinx(1 + sinx) 7) asinx cosx√

cos²x−a²sin²x Exercice 3. Primitives de radicaux

Déterminer une primitive pour chacune des fonctions suivantes : 1) √ x+ 1

x²−3x+ 2 2) √ 4x−3

−4x²+ 12x−5 3) 1

2x−x²+√

2x−x² 4) 1

2 +√

1 +x+√ 3−x 5) 2 +√

x+ 3 1 +√

x+ 4 6) x+√

a²+x² 7) (x+√

a²+x²)ⁿ 8) 1

√3

1 +x³ Exercice 4. Primitives diverses

Déterminer une primitive pour chacune des fonctions suivantes : 1) x^klnx 2) ln(1 +x²) 3) x²+a

x²+ 1arctanx 4) 1−1

x e^1/x

5) x

cos²x 6) √ 1

e^x−1 7) arctan

rx+ 1

x+ 3 8) arcsinr x

x+ 1 9) e^arcsin^x 10)x(cos²x)e^−x 11) (x²+x+ 1)e^2xcosx

Exercice 5. Intégrales définies Calculer les intégrales suivantes :

1) Rπ/2

t=0 cos⁴tdt 2) Rπ/2

t=−π/2sin²tcos³tdt 3) Rπ/2

t=0 t²costdt 4) Rπ/2

t=−π/2t²sintcos²tdt 5) Rπ/2 t=0

sint

1 + cos²tdt 6) Rπ/2 t=0

dt 1 + sint 7) Rπ/2

t=0

sin²t

sint+ costdt 8) Rπ/2 t=0

sin 2t

√1−asintdt 9) R1

t=0tlntdt 10) R1

t=0arcsintdt 11) R3 t=0

2t

(1 +t²)(3 +t²)dt 12) R1 t=0

t²arctant 1 +t² dt 13) Rln 2

t=0

√e^t−1 dt 14) R9 t=4

√dt

t−1 15) R1

t=0

te^t

√e^t+ 1dt 16) R1

t=0

ln(1−a²t²)

t² dt 17) R1

t=0

dt 2 +√

1−t² 18) R1 t=−1

dt t+√

t²+ 1 19) R1

t=−1

√1 +t²dt

Exercice 6. Densité des fonctions en escalier

Soitf : [a, b]→Rcontinue telle que pour toute fonctiong : [a, b] →R en escalier,Rb

t=af(t)g(t) dt = 0.

Démontrer quef = 0.

Exercice 7. Zéros

Soitf : [a, b]→Rcontinue non identiquement nulle, telle que : ∀k∈ {0,1, . . . , n−1},Rb

t=at^kf(t) dt= 0.

Démontrer quef s’annule au moinsnfois sur ]a, b[ (raisonner par l’absurde).

(2)

Exercice 8. Formule de la moyenne généralisée Soient f, g: [a, b]→Rcontinues,f positive.

1) Démontrer qu’il existec∈[a, b] tel queRb

t=af(t)g(t) dt=g(c)Rb

t=af(t) dt.

2) Sif ne s’annule pas, montrer qu’il existe un telc∈]a, b[.

3) Application : Soitf continue au voisinage de 0. Déterminer lim_x→0(_x¹₂Rx

t=0tf(t) dt).

Exercice 9. Inégalité de Jensen

Soitf : [a, b]→Rcontinue etg:R→Rcontinue convexe.

Démontrer queg

1 b−a

Rb

t=af(t) dt

6 _b−a¹ Rb

t=ag(f(t)) dt.

Exercice 10. p 1 +f²

Soitf : [0,1]→Rcontinue positive. On poseA=R1

t=0f(t) dt.

Montrer que√

1 +A²6R1 t=0

p1 +f²(t) dt61 +A.

Exercice 11. Calcul de limite

Chercher lim_x→0+

Z 2x

t=x

cost ln(1 +t²) sin²tsht dt

! . Exercice 12. Calcul de limite

Pour 0< a < b, déterminez lim_x→0+

Z bx

t=ax

1−cosu u³ du

! . Exercice 13. R

f+R f⁻¹

Soit f : [a, b] → [c, d] continue, bijective, strictement croissante. Calculer Rb

t=af(t) dt+Rd

u=cf⁻¹(u) du (faire un dessin, et commencer par le cas oùf est de classeC¹).

Exercice 14. Sommes de Riemann 1) Trouver limn→∞ 1

n+ 1 + 1

n+ 2+. . .+ 1

kn pourkentier supérieur ou égal à 2 fixé.

2) Trouver limn→∞ 1 n²(p

1(n−1) +p

2(n−2) +. . .+p

(n−1)1).

3) Trouver limn→∞ nr 1 + 1

n

1 + 2 n

. . . 1 + n

n

. 4) Trouver lim_n→∞ln

1 + π

n

Pn−1

k=0 1

2 + cos(3kπ/n). 5) Donner un équivalent pourn→ ∞dePn

k=1

√k.

6) SoitA₁. . . A_n un polygone régulier inscrit dans un cercle de rayon 1.

Chercher lim_n→∞ _n¹Pn

k=2A₁A_k . Exercice 15. Calcul de limite

Soitf : [0,1]→Rcontinue. Chercher lim_n→∞

1 n²

P

16i<j6nf(_nⁱ)f(_n^j) . Exercice 16. Moyenne géométrique

Soitf : [0,1]→Rcontinue. Montrer que (1 +_n¹f(¹_n))(1 +_n¹f(_n²)). . .(1 + ¹_nf(ⁿ_n))−→

n→∞exp(R1

t=0f(t) dt).

On pourra utiliser : ∀x>−¹₂,x−x²6ln(1 +x)6x.

Exercice 17.

1) Montrer que : ∀x>0,x−¹₂x²6ln(1 +x)6x.

2) Trouver lim_n→∞Qn k=1

1 + 1

k²+n² ⁿ

.

(3)

Exercice 18. Maximum-minimum

Soient a, b∈R. Étudier la convergence des suites (an), (bn) définies par : a0=a, b0=b, an+1=1

2 Z 1

x=−1

min(x, bn) dx, bn+1= 1 2

Z 1

x=−1

max(x, an) dx.

Exercice 19. Intégrale deln|x−e^it| Pour x∈R,x6=±1, on pose I=R2π

t=0ln|x−e^it|dt. En utilisant les sommes de Riemann, calculerI.

Exercice 20. Intégrale de|f|

Soitf : [a, b]→Rcontinue. Pourn∈N^∗, on poseIn=Pn−1 k=0

Ra_k+1

t=akf(t) dt

oùak =a+k b−a n . Montrer queI_n −→

n→∞

Rb

t=a|f(t)|dt.

Exercice 21. Usage de symétrie SoitI=Rπ

t=0

tsint

1 + cos²tdt. Effectuer dansI le changement de variableu=π−t, et en déduire la valeur deI.

Exercice 22. Usage de symétrie CalculerI=Rπ

t=0

t 1 + sintdt.

Exercice 23. Usage de symétrie CalculerRπ/4

t=0 ln(1 + tant) dt. On remarquera que cost+ sint=√

2 cos(^π₄−t).

Exercice 24. DSF de1/(2−cosx) On noteIn=Rπ

0

cosnx

2−cosxdx,Jn=Rπ/2 0

cosnx

2−cosxdx,Kn=Rπ/2 0

cosnx 2 + cosxdx.

Montrer que pour toutn∈N, on aI_n =J_n+ (−1)ⁿK_n etI_n+1= 4I_n−I_n−1. En déduireI_n en fonction den.

Exercice 25. Calcul d’intégrale Calculer pour toutn∈N^∗ : In=Rπ

x=0

dx 1 + cos²(nx). Exercice 26. arcsinetarccos

Simplifier Rsin²x

t=0 arcsin√

tdt+Rcos²x

t=0 arccos√ tdt.

Exercice 27. Approximation des rectangles pour une fonction lipchitzienne Soitf : [a, b]→R,K-lipchitzienne.

Montrer que

Rb

t=af(t) dt−b−a n

Pn k=1f

a+k b−a n

6 K(b−a)² 2n . Exercice 28. Approximation des tangentes

Soitf : [a, b]→Rde classeC². On fixen∈N^∗ et on note : ak =a+k b−a n ,a_k+1

2 = ak+ak+1

2 .

SoitIn=b−a n

Pn−1 k=0f(a_k+¹

2).

1) Donner une interprétation géométrique deI_n. 2) Montrer que

Rb

t=af(t) dt−In

6 M2(b−a)³

24n² oùM2= sup

[a,b]

|f⁰⁰|.

(4)

Exercice 29. Approximation des trapèzes Soitf : [a, b]→Rde classeC².

1) Montrer queRb

t=af(t) dt= (b−a)f(a) +f(b)

2 +Rb

t=a

(t−a)(t−b)

2 f⁰⁰(t) dt.

2) Application : Soit f : [a, b] → R, I = Rb

t=af(t) dt, et In la valeur approchée de I obtenue par la méthode des trapèzes avecnintervalles. Démontrer que|I−In|6 sup|f⁰⁰|(b−a)³

12n² . Exercice 30. Calcul de limite

Étudiez la limite de la suite définie parun= n 2 −Pn

k=1 n² (n+k)². Exercice 31. Aire sous une corde

Soitf : [a, b]→Rde classeC¹ telle quef(a) =f(b) = 0. On poseM⁰ =kf⁰k∞. 1) En majorantf par une fonction affine par morceaux, démontrer que

Rb

t=af(t) dt

6M⁰(b−a)²

4 .

2) Quand y a-t-il égalité ? Exercice 32. Échange de décimales

1) Soitf : [0,1]→[0,1] définie parf(0, a1a2a3. . .) = 0, a2a1a3. . .(échange des deux 1^ères décimales) et f(1) = 1. Montrer que f est continue par morceaux et calculerR1

t=0f(t) dt.

2) Soitg : [0,1]→ [0,1] définie parg(0, a1a2a3a4. . .) = 0, a2a1a4a3. . . (échange des décimales deux à deux) etg(1) = 1. Montrer quegest Riemann-intégrable et calculer R1

t=0g(t) dt.

3) Soith: [0,1]→[0,1] définie par h(0, a1a2a3. . .) = 0, a_σ(1)a_σ(2)a_σ(3). . . et h(1) = 1 oùσ:N^∗ →N^∗ est une permutation donnée deN^∗. Montrer quehest Riemann-intégrable et calculer R1

t=0h(t) dt.

Exercice 33. R

f(t) cos(t) dt

Soitf : [0,2π]→Rconvexe de classe C². Quel est le signe deI=R2π

t=0f(t) costdt? Exercice 34. Convexité

Soitf :R→Rconvexe etg(x) =Rx+1

t=x−1f(t) dt. Montrer queg est convexe.

Exercice 35. Primitive seconde

Soitf : [a, b]→Rcontinue etg(x) =Rx

t=ax(1−t)f(t) dt+Rb

t=xt(1−x)f(t) dt. Justifierg⁰⁰=f. Exercice 36. Expression d’une primitiven-ème def

Soitf : [a, b]→Rcontinue etg(x) =Rx t=a

(x−t)ⁿ⁻¹

(n−1)! f(t) dt. Montrer queg⁽ⁿ⁾=f. Exercice 37. Thm de division

Soit f :R→ Rde classe C^n+p telle quef(0) = f⁰(0) =. . . =f⁽ⁿ⁻¹⁾(0) = 0. On pose g(x) =f(x)/xⁿ pour x6= 0 etg(0) =f⁽ⁿ⁾(0)/n!.

1) Écrireg(x) sous forme d’une intégrale.

2) En déduire queg est de classeC^p et |g^(p)(x)|6 p!

(p+n)!sup{|f^(n+p)(tx)| tq 06t61}.

Exercice 38. Fonction absolument monotone

Soitf : [0, a[→Rde classeC^∞ telle quef et toutes ses dérivées sont positives sur [0, a[.

1) Montrer que la fonctiongn:x7→ 1 xⁿ

f(x)−f(0)−. . .− xⁿ⁻¹

(n−1)!f⁽ⁿ⁻¹⁾(0)

est croissante.

2) On fixer∈]0, a[. Montrer que la série de Taylor def converge versf sur [0, r[.

(5)

Exercice 39. Deuxième formule de la moyenne

Soient f, g: [a, b]→Rcontinues,f positive décroissante.

On noteG(x) =Rx

t=ag(t) dt,M = sup{G(x),x∈[a, b]}et m= inf{G(x),x∈[a, b]}.

1) On suppose ici quef est de classeC¹. Démontrer quemf(a)6Rb

t=af(t)g(t) dt6M f(a).

2) Démontrer la même inégalité sif est seulement continue, en admettant qu’elle est limite uniforme de fonctions de classeC¹ décroissantes.

3) Démontrer enfin qu’il existec∈[a, b] tel queRb

t=af(t)g(t) dt=f(a)Rc

t=ag(t) dt.

Exercice 40. Inégalité de la moyenne

Soient f, g: [a, b]→Rcontinues,f décroissante, et 06g61. On noteG(x) =a+Rx

t=ag(t) dt.

Démontrer queRb

t=af g(t) dt6RG(b) t=a f(t) dt.

Exercice 41. Une inégalité

Soitf : [a, b]→Rde classeC¹ telle que f(a) = 0 et ∀t∈[a, b], 06f⁰(t)61. ComparerRb

t=af³(t) dt et Rb

t=af(t) dt2

. On introduira les fonctions : F(x) =Rx

t=af(t) dt,G(x) =Rx

t=af³(t) dt, etH =F²−G.

Exercice 42. Intégrales de Wallis On noteI_n=Rπ/2

t=0 cosⁿtdt.

1) ComparerI_n etRπ/2

t=0 sinⁿtdt.

2) Démontrer queI_n −→

n→∞0.

3) Chercher une relation de récurrence entreIn etIn+2. En déduire I2k etI2k+1 en fonction dek.

4) Démontrer quenInIn−1= ^π₂.

5) Démontrer queI_n∼I_n−1 et en déduire un équivalent simple deI_n puis de ²ⁿ_n

pourn→ ∞.

Exercice 43. NormeL^∞

Soitf : [a, b]→R⁺ continue non identiquement nulle. On poseI_n=Rb

t=afⁿ(t) dtetu_n= √ⁿ I_n. SoitM = max{f(x) tqa6x6b}et c∈[a, b] tel quef(c) =M.

1) ComparerM et un.

2) En utilisant la continuité def enc, démontrer que : ∀ε∈]0, M[ il existeδ >0 tel queIn >δ(M−ε)ⁿ. 3) En déduire lim_n→∞un.

Exercice 44. Lemme de Lebesgue

Soitf : [a, b]→Rcontinue. Montrer queRb

t=af(t) cos(nt) dt −→

n→∞0,. . . 1) sif est de classeC¹.

2) sif est en escalier.

3) sif est continue.

Exercice 45. Plus grande fonction convexe minorantf

1) Soit (fi) une famille de fonctions convexes sur un intervalleI.

On suppose que : ∀x∈I,f(x) = sup(f_i(x)) existe. Montrer quef est convexe.

2) Soitf :I →R minorée. Montrer qu’il existe une plus grande fonction convexe minorant f. On la note˜f.

3) Soitf : [0,1]→R⁺ croissante. Montrer que R1

t=0˜f(t)dt> ¹₂R1

t=0f(t)dt (commencer par le cas oùf est en escalier).

Exercice 46. Centrale PC 1998 Soitf : [a, b]→R^+∗ continue.

1) Montrer qu’il existe une subdivision de [a, b] : a=x0< x1< . . . < xn=btelle que :

∀k∈[[0, n−1]], Rxk+1

t=x_k f(t) dt= ¹_nRb

t=af(t) dt.

2) Étudier lim_n→∞(_n¹Pn−1 k=0f(x_k)).

Exercice 47. Mines MP 2000

Soitf :R→Cde classe C¹, 2π périodique, ne s’annulant pas. Montrer queI(f) = _2πi¹ R2π

0 f⁰/f est un entier.

(6)

Exercice 48. Fonctions affines

SoitE=C([a, b],R), etF ={f ∈ C²([a, b],R) tqf(a) =f⁰(a) =f(b) =f⁰(b) = 0}.

1) Soitf ∈E. Montrer qu’il existeg∈Fvérifiantg⁰⁰=f si et seulement siRb

x=af(x) dxetRb

x=axf(x) dx sont nuls.

2) Soitf ∈E telle queRb

x=af(x)g⁰⁰(x) dx= 0 pour toute fonction g∈F. Montrer quef est affine.

Soita <0< betf continue sur [0,1], à valeurs dans [a, b] telle queR1

0 f = 0. Montrer queR1

0 f²6−ab.

Montrer que pour toutxréel, il existea(x) unique tel queRa(x)

t=x e^t²dt= 1. Montrez queaest indéfiniment dérivable, et que son graphe est symétrique par rapport à la deuxième bissectrice.

Exercice 51.

Soitf : [0,1]→Rcontinue telle queR1

0 f = 0. Montrer qu’il existex∈]0,1[ tel que Rx

t=0tf(t) dt= 0.

Exercice 52. Centrale 2014

1) Rappeler l’énoncé du théorème de Stone-Weierstrass polynomial.

2) SoitPn(x) =xⁿ⁺¹(1−x)²et f continue de [0,1] dansR, telle que ∀n>1,R1

0 f P_n⁰⁰= 0.

a) Montrer qu’il existea, b∈Rtels que pourg(x) =f(x)−ax−bon ait R1 0 g=R1

0 xg= 0.

b) Montrer que que∀n∈N, R1

0 xⁿg= 0 et conclure.

3) Montrer que sif vérifieR1

0 f g⁰⁰= 0 pour toute fonctiong de classeC²nulle avecg⁰ etg⁰⁰en 0 et en 1 alorsf est affine.

4) Montrer que sif vérifie R1

0 f g⁰⁰ = 0 pour toute fonction g de classe C² nulle aux voisinages de 0 et de 1 alorsf est affine.

Exercice 53. Mines 2016

Soienta, b∈Naveca6= 0. Montrer quea ^a+b_b

divise ppcm(b+ 1, . . . , b+a). Indication : écrirea ^a+b_b sous forme d’une intégrale et la calculer de deux manières.

(7)

solutions

Exercice 1.

1) 1

3ln|x−1| −1

6ln(x²+x+ 1)−√1

3arctan2x√+ 1 3

2) −2

9ln|x−1|+ 1

9ln(x²+x+ 1) + 2 3√

3arctan2x√+ 1 3

− x 3(x³−1) 3) − 1

2x² + 1

6lnhx²−x+ 1 (x+ 1)²

i−√1

3arctan2x√−1 3

4) − 3

4(x−1)− 1 4(x+ 1) 5) 1

4√

2lnh1 +x√ 2 +x² 1−x√

2 +x² i

+ 1

2√ 2

arctan(1 +x√

2)−arctan(1−x√ 2) 6) 1

4√

2lnh1−x√ 2 +x² 1 +x√

2 +x² i

+ 1

2√ 2

arctan(1 +x√

2)−arctan(1−x√ 2) 7) arctanx²

4 + x²

4(x⁴+ 1) 8) 7

10ln|x−2|+ 3

20ln(x²+ 2x+ 2)− 1

10arctan(x+ 1) 9) 4

x+ 3x

2(x²−1) + 11 4 ln

x−1 x+ 1

10) 1 10

P9 k=1

h1

2coskαln(x²−2xcoskα+ 1)−sinkαarctan x−coskα sinkα

i

+ 120ln

x−1 x+ 1

, α= π 10

11) 1

(b−a)ⁿln

x−b x−a

+Pn−1

k=1 1

k(b−a)^n−k(x−a)^k Exercice 2.

1) − 1 4 sinx+ 1

8ln

1−sinx 1 + sinx − 1

2√ 2ln

1−√ 2 sinx 1 +√

2 sinx 2) x

2 −1

2ln|cosx+ sinx|

3) sinx√ cos 2x

2 + 1

2√

2arcsin(√ 2 sinx) 4) 1

6ln(1−cosx) + 1

2ln(1 + cosx)−2

3ln|1 + 2 cosx|

5) √

2 argth(√

2 sinx)−argth(sinx) 6) −2r

1−sinx sinx +√

2 arctan

r1−sinx

2 sinx (poseru= 1/sinx) 7) −arctan

√

cos²x−a²sin²x a

(8)

Exercice 3.

1) √

x²−3x+ 2 + 5 2ln

2x−3 + 2√

x²−3x+ 2

2) −√

−4x²+ 12x−5 + 3

2arcsin(x−3/2) 3) 1−√

2x−x² x−1 4) √

1 +x−√

3−x−arcsinx−1 2

(poserx= 1 + 2 cosϕ) 5) (√

x+ 3 + 4)(√

x+ 4−2)−4 ln(1 +√

x+ 4 ) + ln(√

x+ 3 +√ x+ 4) 6) (x+√

a²+x²)²

4 +a²

2 ln(x+√

a²+x²) 7) (x+√

a²+x²)ⁿ⁺¹

2(n+ 1) +a²(x+√

a²+x²)ⁿ⁻¹

2(n−1) (n6= 1) 8) 1

6lnhu²+u+ 1 (u−1)²

i−√1

3arctan 2u√+ 1

3 ,u=p³

1 + 1/x³poserv= 1/x³) Exercice 4.

1) x^k+1 k+ 1

lnx− 1 k+ 1

2) xln(1 +x²)−2x+ 2 arctanx 3) 1

2 (2x+ (a−1) arctanx) arctanx−ln(1 +x²) 4) xe^1/x

5) xtanx+ ln|cosx|

6) 2 arctan√ e^x−1 7) (x+ 2) arctan

rx+ 1

x+ 3−ln √

x+ 1 +√ x+ 3 8) xarcsinr x

x+ 1 −√

x+ arctan√ x 9) x+√

1−x² 2 e^arcsin^x 10) e^−x

50 ((3−5x) cos 2x+ (4 + 10x) sin 2x−25(x+ 1)) 11) ( 2x²

5 + 4x 25 + 39

125)e^2xcosx+ (x² 5 −3x

25 + 27

125)e^2xsinx

(9)

Exercice 5.

1) 3π 16 2) 4

15 3) π²

4 −2 4) 0 5) π

4 6) 1 7) −√1

2ln(√ 2−1) 8) 4(2−(a+ 2)√

1−a) 3a²

9) −1 4 10) π

2 −1 11) 1

2ln 5 2 12) π

4 −π² 32−ln√

2 13) 2−π

2 14) 2 + 2 ln 2 15) 4√

2−2√

e+ 1 + 4 lnh√

e+ 1 + 1

√2 + 1 i−2 16) aln

1−a 1 +a

−ln(1−a²) 17) π

6(3−√4 3) 18) ln(1 +√

2) +√ 2 19) ln(1 +√

2) +√ 2 Exercice 8.

3) ¹₂f(0).

Exercice 12.

DL de 1−cosu⇒lim = ¹₂ln(b/a).

Exercice 14.

1) lnk.

2) ^π₈. 3) ⁴_e. 4) ¹₃R3π

t=0

dt

2 + cost =Rπ t=0

dt

2 + cost = ^√^π

3. 5) ⁴₃n√

n.

6) _π⁴. Exercice 17.

2) exp(^π₄).

Exercice 18.

an+1=

(bn sibn <−1

−(bn−1)²/4 si−16bn 61 0 sibn >1,

bn+1=

(0 sian<−1 (an+ 1)²/4 si−16an61 an sian>1.

Doncan+1=f(a_n−1),bn+1=g(b_n−1). Point fixe : an →√

8−3,bn→3−√ 8.

(10)

Exercice 21.

π² 4. Exercice 22.

u=π−t⇒I=^π₂Rπ t=0

1

1 + sintdt=^π₂Rπ/2 t=−π/2

1

1 + costdt=π.

Exercice 24.

In= ^√^π

3(2−√ 3)ⁿ. Exercice 25.

Couper en intervalles de longueurπ/n. On obtientIn= ^√^π

2 pour toutn>1.

Exercice 26.

f est paire,π-périodique. f⁰(x) = 0 pour 06x6 π

2 ⇒f(x) =f(π/4) = π 4. Exercice 30.

Comparaison entre R1 t=0

dt

(1 +t)² et son approximation des trapèzes. Découper et intégrer deux fois par parties, un −→

n→∞

3 8. Exercice 33.

I=h

f⁰(t)(1 + cost)i^2π

0 +R2π

t=0f⁰⁰(t)(1 + cost) dt>0.

Exercice 38.

1) formule de Taylor-intégrale.

Exercice 41.

H⁰=f(2F−f²) =f Ket K⁰ = 2f(1−f⁰) doncH est croissante et positive.

Exercice 46.

2) SoitF(x) =Rx

t=af(t) dt etG=F⁻¹. Alors 1

n Pn−1

k=0f(xk) = 1 n

Pn−1

k=0f◦G(_n^k)−→

n→∞

Rb

t=af²(t) dt. Rb

t=af(t) dt.

Exercice 47.

On a f =e^g avecg de classeC¹ par le thm. de relèvement d’oùI(f) = g(2π)−g(0) 2iπ ∈Z. Exercice 48.

1) Il existe toujours une unique fonctiong de classeC² telle queg⁰⁰=f,g(a) =g⁰(a) = 0 : g(x) =Rx

t=a(x−t)f(t) dt(Taylor-Intégral).

2) Soientλ, µ∈Rtels quef1:x7→f(x)−λ−µxvérifieRb

x=af1(x) dx=Rb

x=axf1(x) dx= 0. On trouve (b−a)λ+b²−a²

2 µ=− Z b

x=a

f(x) dx, b²−a²

2 λ+b³−a³ 3 µ=−

Z b

x=a

xf(x) dx

et ce système a pour déterminant (b−a)⁴/126= 0 doncλ, µexistent et sont uniques. Soitg1∈F telle queg⁰⁰₁ =f1 : Rb

x=ag⁰⁰₁(x)g⁰⁰(x) dx= 0 pour tout g∈F, en particulier pourg =g1 doncg₁⁰⁰=f1= 0 etf(x) =λ+µx.

Exercice 49.

Soitg=f−a. On a 06g6b−aet R1

0 g=−ad’oùR1

0 g²6(b−a)R1

0 g=−a(b−a) et R1

f²=R1

g²+ 2aR1

g+a²6−ab.

(11)

Exercice 51.

On poseF(x) =Rx

t=0tf(t) dt=x²f(0)/2 +o(x²).

En intégrant par parties, il vient 0 = R1

0 f =F(1) +R1

t=0F(t) dt/t², ce qui empêche F d’être de signe constant sur ]0,1[.

Exercice 52.

2) a)On a un système linéaire en (a, b) de matrice1

2 1

1

3 1

2

inversible.

b) La famille (1, X, P₁⁰⁰, P₂⁰⁰, . . .) est de degrés étagés ; c’est une base deR[X] donc il suffit de prouver queR1

0 gP_n⁰⁰= 0 ce qui résulte de la même propriété pourf en se débarrassant dea, bpar parties.

Donc par linéarité,R1

0 P g = 0 pour tout polynôme P. En prenant une suite de polynômes con- vergeant uniformément versg on obtientR1

0 g²= 0 soitg= 0 etf est une fonction affine.

3) En prenant Q_n(x) = xⁿ⁺³(1−x)³ et a, b, c, d tels que pour h(x) = f(x)−a−bx−cx²−dx³ on ait R1

0 h = R1

0 xh = R1

0 x²h = R1

0 x³h = 0, on trouve comme précédemment h = 0 et donc f(x) =a+bx+cx²+dx³. Avec Maple, 0 =R1

0 f Q⁰⁰₀ = ₁₄₀³ d+₇₀¹c et 0 =R1

0 f Q⁰⁰₁ = ₈₄¹d+₁₄₀¹ c, d’où c=d= 0.

4) Le problème consiste à approcher une fonctiong du type précédent par une fonction nulle aux voisinages de 0 et 1. On traite seulement le problème en 0 pour prouver à l’interrogateur qu’on a des idées.

Soit g de classe C² telle que g(0) = g⁰(0) = g⁰⁰(0) = 0 et soit ϕ : R⁺ → [0,1] de classe C², nulle sur [0,1] et constante égale à 1 sur [2,+∞[. On posegn(x) =g(x)ϕ(nx) : fonction nulle sur [0,1/n] et coïncidant avecgsur [2/n,1]. Il s’agit de prouver quekg⁰⁰−g_n⁰⁰k_∞ −→

n→∞0, donc de majorer uniformément

|g⁰⁰(x)−g⁰⁰_n(x)|si 06x62/n.

Exercice 53.

L’intégrale fut donnée après déssiccation : I(a, b) = R1

t=0(1−t)^at^bdt. Par intégration par parties on obtientI(a, b) = b

a+ 1I(a+ 1, b−1) =. . .= a!b!

(a+b)!I(a+b,0) = 1

(a+b+ 1) ^a+b_b .

Deuxième manière de conduire les calculs : développer (1−t)^a par la formule du binôme puis intégrer terme à terme. On obtientI(a, b) =Pa

k=0(−1)^k ^a_k 1

k+b+1 = un entier

ppcm(b+ 1, . . . , b+a+ 1). Ainsi, ppcm(b+ 1, . . . , b+a+ 1) = (cet entier)(a+b+ 1) ^a+b_b

.

Bon . . . le candidat presque pas déboussolé est supposé trouver tout seul qu’il fallait en fait considérer I(a−1, b), ce qui permet de conclure que (a+b) ^a+b−1_b

=a ^a+b_b

divise le ppcm de l’énoncé.