Intégrale de Riemann

MPSI A 2004-2005

Feuille d’exercices

Intégrale de Riemann

Exercice 1: [Lemme de Riemann-Lebesgue]

Soient f une fonction continue par morceaux sur le segment I. Montrer que

λ→+∞lim Z

I

f(t)sin(λt)dt =0.

(Considérer f constante, puis en escalier, puis continue.) Exercice 2: [Une méthode à retenir]

Calculer la limite lim

n→+∞

Z π 2

0

sinⁿtdt. (On regardera séparément un petit voisinage de ^π₂ et le reste.)

Exercice 3: [Sommes de Riemann]

1. En utilisant les sommes de Riemann, calculer les limites des suites suivantes :

n−1

∑

k=0

n n²+k²

1 n³

n−1

∑

k=0

k²sinkπ n

n−1

∑

k=0

1 ksinkπ

n

∏

µ 1+k²

n²

¶¹_n . (On laissera la troisième sous forme intégrale, sans chercher à la calculer.) 2. Calculer les limites des suites suivantes

n−1

∑

k=0

√ 1

n²−k² sin

³π n

´n−1 k=1

∑

1 2+cos^kπ_n . 3. Calculer de trois manières différentes la limite de la suite

µ(2n)!

n!nⁿ

¶¹

n.

Exercice 4: [Intégrales de Wallis]

On pose In=^R₀^π2sinⁿtdt pour tout entier n (intégrales de Wallis).

1. Calculer I₀et I₁.

2. Montrer que I_n+2= ⁿ⁺¹_n+2I_n. En déduire :

I_2p= (2p−1)(2p−3)· · ·3·1 2p(2p−2)· · ·4·2

π

2 = (2p)!

2^2p(p!)² π 2 I_2p+1= 2p(2p−2)· · ·4·2

(2p+1)(2p−1)· · ·5·3 = 2^2p(p!)² (2p+1)!.

3. Montrer que In+1≤I_npuis que I_n∼In+1. En déduire un équivalent de(I_n).

4. Développer I_2pI_2p+1par la formule de Stirling en en déduire la valeur de la constante intervenant dans la formule.

Exercice 5: Soient p et q deux entiers positifs,αetβdeux réels positifs. Calculer I_p,q=

Z _β

α (t−α)^p(t−β)^qdt.

Exercice 6: Soient a et b deux entiers strictement positifs. On considère pour tout entier n le polynôme P_n= _n!¹Xⁿ(bX−a)ⁿ.

1. Prouver que la suite de terme général In=^R₀^πPn(x)sin xdx converge vers 0.

2. Prouver que P_net toutes ses dérivées prennent des valeurs entières en 0 et ^a_b. 3. Si l’on supposeπrationnel et valant ^a_b, prouver que I_n serait un entier non-nul. En

déduire queπest irrationnel.

Exercice 7: Soitα≤ −1. Donner un équivalent de la suite u_n= 1^α+2^α+·+n^α

n^1+α .

Exercice 8: Soit f définie et continue par morceaux sur[0,1]et continue en 0. Calculer

n→+lim∞n Z ₁

0

xⁿf(x)dx.

Exercice 9: [Calcul de Z _+∞

0

e^−t2dt]

On suppose connus les résultats précédents sur les intégrales de Wallis I_n. 1. Exprimer^R

√n

0 (1−^t_n²)ⁿdt en fonction des intégrales de Wallis.

2. (a) Effectuer le changement de variable u=arctan^√t

n, dans l’intégrale J_n=

Z ^√_n

0

(1+t² n)⁻ⁿdt.

(b) Majorer la suite|^R_π^π_/2^/4cosⁿtdt|par une suite géometrique convergente.

(c) Montrer que lim_n→∞J_n=

√π 2 . 3. Montrer que pour tout t ∈[0,√

n], on a(1−t²

n)ⁿ≤e^−t2 ≤(1+t² n)⁻ⁿ. 4. En déduire la valeur de

Z _+∞

0

e^−t2dt.

Exercice 10: Soient a un réel strictement positif et f une fonction strictement croissante et continue sur[0,a]telle que f(0) =0. On appelle g la réciproque de f .

1. On suppose f dérivable. Montrer la formule Z _x

0

f(t)dt+ Z _f(x)

0

g(t)dt =x f(x). (1)

2. En interprétant graphiquement les deux intégrales précédentes, démontrer l’égalité (1)sans l’hypothèse de dérivabilité.

3. Soient u et v vérifiant 0≤u≤a et 0≤v≤ f(a). Vérifier que uv≤

Z _u

0

f(t)dt+ Z _v

0

g(t)dt

4. Application : Soient p,q∈]1,+∞[tels que ¹_p+¹_q=1. Montrer que uv≤^u_p^p+^v_q^q. Exercice 11: [Des sommes de Riemann bien cachées]

Soit x un réel différent de 1.

1. Simplifier

P_n(x) =

∏

1≤k≤n

µ

1−2x cos µkπ

n

¶ +x²

¶ . 2. En déduire, pour x différent de 1 et−1, la valeur de l’intégrale :

Z _π

0

ln¡

1−2x cost+x²¢ dt.

Exercice 12: Soit f une fonction de classe

C

0

f −

n−1

∑

k=0

1 nf

µk n

¶

=α n + β

n²+o µ 1

n²

¶ .

Exercice 13: Soit F(x) = Z _x2

x

dt

logt pour x∈]0,1[∪]1,+∞[.

1. En utilisant _logt¹ =t¹_{t logt}¹ , montrer que F se prolonge par continuité en 0 et en 1.

2. Montrer que F est de classe

C

3. Montrer que F est convexe et tracer sa courbe représentative.

4. Donner un développement limité à l’ordre 3 en 1 de F.

Exercice 14: Soit r∈R^∗₊et P(z) =∑ⁿ_k=0a_kz^kun polynôme à coefficients complexes. On note M(r) =sup_|z|=r|P(z)|.

1. Pour tout entier p, 0≤p≤n, on pose I_p=

Z _2π

0

P(re^iθ)r^−pe^−ipθdθ. Montrer que|a_p| ≤^M(r)_rp .

2. On suppose maintenant qu’il existe m∈ {0, . . . ,n}tel que|a_m|= ^M(r)_rm . Montrer que P(z) =amz^m.

Exercice 15: [Un exemple de fonction dérivable qui n’est pas de classe

C

f(x) =

½ R_x

0sin¹_t pour x6=0 f(0) =0

1. Montrer que f existe et est continue. (On appliquera la définition de l’intégrale de Riemann à une fonction qui n’est pas continue par morceaux.)

2. En écrivant sin¹_t =t^{2 1}

t²sin¹_t et en intégrant par partie, montrer que f est dérivable.

3. Montrer que f n’est pas de classe

C