13.2 Les intégrales de Riemann

13

Intégrales généralisées

Pour ce chapitre, les fonctions considérées sont a priori définies sur un intervalle réel I non réduit à un point, à valeurs réelles ou complexes et continues par morceaux.

La définition et les propriétés de l’intégrale de Riemann sur un segment sont supposées acquises. Ces intégrales de Riemann sur un segment sont aussi appelées intégrales définies.

13.1 Définitions et exemples d’intégrales généralisées

Dans un premier temps, on se donne un intervalle réel I = [a, b[avec −∞< a < b≤+∞et une fonction f : [a, b[→R (ou C) continue par morceaux.

On rappelle tout d’abord la définition d’une fonction continue par morceaux sur l’intervalle I.

Définition 13.1 On dit qu’une fonction f définie sur l’intervalleI est continue par morceaux sur cet intervalle s’il existe une subdivision

a0 =a < a1 <· · ·< ap < ap+1 =b

telle que la fonction f soit continue chacun des intervalle ]a_k, a_k+1[(0≤k ≤p) et admette une limite à droite en a et des limites à droite et à gauche en chacun des points a_k (1≤k≤p).

Avec les notations de cette définition, la restriction de la fonction f à l’intervalle ]a_p, b[ se prolonge en une fonction continue sur [ap, b[ et pour tout entier k compris entre 0 et p−1, la restriction de la fonction f à l’intervalle ]a_k, a_k+1[ se prolonge en une fonction continue sur [a_k, a_k+1].

Une fonction continue par morceaux sur I est donc en particulier localement intégrable sur cet intervalle, ce qui signifie qu’elle est intégrable sur tout segment [α, β]⊂I.

Si f est continue par morceaux sur I, on peut définir sa primitive F nulle en a, c’est-à-dire la fonction définie sur [a, b[ par :

∀x∈[a, b[, F (x) = Z _x

a

f(t)dt.

Précisément, pour x∈[a₀, a₁[, on a : F (x) =

Z _x

a0

f(t)dt

245

et pour x∈[a_k, a_k+1[ aveck compris entre1 et p,on a :

F (x) = Xk−1

j=0

Z _aj+1

aj

f(t)dt+ Z _x

ak

f(t)dt.

Définition 13.2 Avec les notations qui précèdent on dit que l’intégrale def sur[a, b[est conver- gente, si la fonction F admet une limite finie quandx tend vers b dans I. Dans ce cas on note Z _b

a

f(t)dt cette limite.

Le scalaire ainsi défini est appelé l’intégrale généralisée (ou impropre) de f sur [a, b[.

Dans le cas où F n’a pas de limite finie en b on dit que l’intégrale de f sur [a, b[ est divergente.

On a donc, en cas de convergence : Z _b

a

f(t)dt= lim

x→b

Z _x

a

f(t)dt.

Remarque 13.1 Sif : [a, b[→R(ouC) est une fonction continue par morceaux et sic∈[a, b[

alors l’intégrale def est convergente sur[a, b[si, et seulement si, l’intégrale def est convergente sur [c, b[ (le problème de la convergence se pose en b) et dans ce cas, on a :

Z _b

a

f(t)dt= Z _c

a

f(t)dt+ Z _b

c

f(t)dt.

Cela résulte immédiatement de la relation de Chasles pour les intégrales définies :

∀x∈]a, b[, Z _x

a

f(t)dt= Z _c

a

f(t)dt+ Z _x

c

f(t)dt.

On définit de manière analogue l’intégrale d’une fonction f à valeurs réelles ou complexes définie sur un intervalle ]a, b] avec −∞ ≤ a < b < +∞ et continue par morceaux sur cet

intervalle par : Z _b

a

f(t)dt= lim

x→a

Z _b

x

f(t)dt quand cette dernière limite existe.

Dans le cas d’une fonction f définie sur un intervalle ]a, b[ avec −∞ ≤ a < b ≤ +∞ (et toujours continue par morceaux), on dit que l’intégrale de f est convergente sur ]a, b[ si pour tout c dans ]a, b[ chacune des intégrales

Z _c

a

f(t)dt et Z _b

c

f(t)dt est convergente. Dans ce cas la somme de ces intégrales impropres ne dépend pas de c, ce qui permet de définir l’intégrale généralisée de f sur ]a, b[par :

Z _b

a

f(t)dt = Z _c

a

f(t)dt+ Z _b

c

f(t)dt

= lim

x→a

Z _b

x

f(t)dt+ lim

y→b

Z _y

a

f(t)dt.

Le lemme qui suit justifie l’affirmation précédente et nous dit aussi qu’il suffit de vérifier la convergence des intégrales

Z _c

a

f(t)dt et Z _b

c

f(t)dt pour une valeur de c.

Définitions et exemples d’intégrales généralisées 247 Lemme 13.1 Si, avec les notations qui précèdent, il existe un réelc∈]a, b[tel que les intégrales Z _c

a

f(t)dt et Z _b

c

f(t)dt soient convergentes, alors l’intégrale de f sur ]a, b[ est convergente et pour tout réel d∈]a, b[, on a :

Z _d

a

f(t)dt+ Z _b

d

f(t)dt = Z _c

a

f(t)dt+ Z _b

c

f(t)dt.

Démonstration. Il suffit d’utiliser la relation de Chasles pour les intégrales définies.

Par abus de langage, l’expression « étudier la nature de Z _b

a

f(t)dt », sans savoir si cette intégrale converge ou non est un raccourci pour « étudier la convergence de l’intégrale de f sur ]a, b[».

Remarque 13.2 Il faut bien noter que la divergence de l’une des deux intégrales Z _c

a

f(t)dt et Z _b

c

f(t)dt équivaut à la divergence de Z _b

a

f(t)dt.

Remarque 13.3 Dans le cas où a = −∞ et b = +∞ l’existence de lim

x→+∞

Z _x

−x

f(t)dt ne prouve pas la convergence de l’intégrale de f sur ]−∞,+∞[. Par exemple pour f(t) = t on a Z _x

−x

f(t)dt= 0 pour tout x >0et pourtant l’intégrale diverge. En effet lim

x→+∞

Z _x

0

f(t)dt= +∞.

Pour prouver la convergence de l’intégrale de f sur ]−∞,+∞[on doit prouver indépendamment la convergence de lim

x→+∞

Z ₀

−x

f(t)dt et lim

x→+∞

Z _x

0

f(t)dt.

Exercice 13.1 Montrer que l’intégrale de f : t 7→ e^−t est convergente sur [0,+∞[ et que Z _+∞

0

e^−tdt= 1.

Solution 13.1 Pour tout x >0 on a : F(x) =

Z _x

0

e^−tdt= 1−e^−x →

x→+∞1.

Exercice 13.2 Montrer que l’intégrale de f : t 7→ 1

1 +t² est convergente sur [0,+∞[ et Z _+∞

0

dt

1 +t² = π 2.

Solution 13.2 Pour tout x >0 on a : F (x) =

Z _x

0

dt

1 +t² = arctan (x) →

x→+∞

π 2. Exercice 13.3 Montrer que l’intégrale de f :t 7→ 1

√t est convergente sur ]0,1]et Z ₁

0

√dt t = 2.

Solution 13.3 Pour tout x∈]0,1] on a : F (x) =

Z ₁

x

√dt

t = 2−2√

x →

x→02.

Exercice 13.4 Montrer que l’intégrale de f :t 7→ 1

t² est divergente sur ]0,1]. Solution 13.4 Pour tout x∈]0,1] on a :

F (x) = Z ₁

x

dt t² = 1

x −1 →

x→0⁺ +∞.

Exercice 13.5 Montrer que l’intégrale de f :t 7→sin (t) est divergente sur [0,+∞[. Solution 13.5 Pour tout x >0 on a :

F (x) = Z _x

0

sin (t)dt= 1−cos (x) et la fonction cosn’a pas de limite à l’infini.

Exercice 13.6 Montrer que l’intégrale def :t7→ln (t)est convergente sur]0,1]et Z ₁

0

ln (t)dt =

−1.

Solution 13.6 On a : Z ₁

x

ln (t)dt =−1−xln (t) +x →

x→0−1.

Exercice 13.7 Montrer que l’intégrale de f : t 7→

µ 1

1−e^−t + ln (t)− 1 t

¶

e^−t est convergente sur ]0,+∞[ et

Z _+∞

0

f(t)dt= 0.

Solution 13.7 Une primitive de f(t) = e^−t 1−e^−t −

µ

−e^−tln (t) +e^−t1 t

¶ est : F (t) = ln¡

1−e^−t¢

−e^−tln (t) = ln

µ1−e^−t t

¶

+ ln (t)¡

1−e^−t¢ et on a :

t→+∞lim F (t) = 0 et lim

t→0F (t) = 0 ce qui donne

Z _+∞

0

f(t)dt= 0.

Exercice 13.8 Montrer que l’intégrale de f : t 7→ 1

√1−t² est convergente sur ]−1,1[ et Z ₁

−1

√ 1

1−t²dt=π.

Solution 13.8 Pour tout x∈[0,1[ on a : F (x) =

Z _x

0

√ 1

1−t²dt= arcsin (x) →

x→1

π 2 et par parité, pour y∈]−1,0] :

G(y) = Z ₀

y

√ 1

1−t²dt = Z _−y

0

√ 1

1−u²du= arcsin (−y) →

y→−1

π 2 ce qui donne le résultat annoncé.

Définitions et exemples d’intégrales généralisées 249 L’argument de parité utilisé avec l’exercice précédent est général. Précisément, on a le résultat suivant.

Théorème 13.1 Soit f une fonction à valeurs réelles ou complexes définie et continue par morceaux sur un intervalle ]−a, a[ avec 0 < a ≤ +∞. Si f est paire [resp. impaire], alors Z _a

−a

f(t)dt est convergente si, et seulement si, Z _a

0

f(t)dt l’est. En cas de convergence, on a

pour f paire : Z _a

−a

f(t)dt= 2 Z _a

0

f(t)dt.

et pour f est impaire : Z _a

−a

f(t)dt = 0.

Démonstration. Supposons tout d’abord f paire.

La condition nécessaire est une conséquence immédiate des définitions.

Si Z _a

0

f(t)dt converge, alors la fonction F définie sur ]0, a[ par F (x) = Z _x

0

f(t)dt a une limite finie en a. Notons ` cette limite. Pour y ∈ ]−a,0[, le changement de variable u = −t donne :

G(y) = Z ₀

y

f(t)dt= Z _−y

0

f(u)dt =F (−y) →

y→−a` et le résultat annoncé.

Pour f impaire, on a G(y) = −F (−y) →

y→−a−` et Z _a

−a

f(t)dt= 0.

Dans le cas où la fonction f, définie sur [a, b[ avec b fini, admet une limite finie ` en b, le problème de convergence de l’intégrale est un faux problème. En effet, en posant f(b) =` la fonction f se prolonge par continuité en b et désignant par F la primitive nulle en a de la fonction continue par morceaux f sur [a, b], la fonction F est continue en b et on a :

x→blim Z _x

a

f(t)dt= lim

x→bF (x)−F(a) = F (b)−F(a) = Z _b

a

f(t)dt la dernière intégrale étant une intégrale de Riemann.

Exercice 13.9 Soit λ un nombre complexe. Étudier la nature de l’intégrale Z _+∞

0

e^λxdx en précisant sa valeur en cas de convergence.

Solution 13.9 Soit F la primitive de f définie sur ]0,+∞[ par : F(x) =

Z _x

0

e^λtdt =





x si λ= 0 e^λx−1

λ si λ6= 0 Pour λ= 0, on a lim

x→+∞F (x) = +∞ et l’intégrale diverge.

Pour <(λ)>0, on a :

|F (x)|=

¯¯

¯¯e^λx λ

¯¯

¯¯

¯¯1−e^−λx¯

¯

≥

¯¯

¯¯e^λx λ

¯¯

¯¯

¯¯1−¯

¯e^−λx¯

¯¯

¯= e^<(λ)x

|λ|

¡1−e^−<(λ)x¢

x→+∞→ +∞

et l’intégrale diverge.

Pour <(λ)<0, on a : ¯

¯¯

¯e^λx λ

¯¯

¯¯= e^<(λ)x

|λ| →

x→+∞0 et l’intégrale converge vers −1

λ.

Il reste à considérer le cas où <(λ) = 0, soit le cas où λ = iy avec y ∈ R^∗ (λ = 0 est déjà étudié). Dans ce cas l’intégrale diverge puisque la fonction ϕ : x 7→ e^iyx n’a pas de limite à l’infini (la suite

µ ϕ

µnπ y

¶¶

n≥1

= (e^inπ)_n≥1 = ((−1)ⁿ)_n≥1 est divergente).

Exercice 13.10 Soit f ∈ C⁰(R;R) telle que lim

x→+∞f(x) =` et lim

x→−∞f(x) =`⁰. 1. Existence et calcul de

Z _+∞

−∞

(f(t+ 1)−f(t))dt.

2. Calcul de Z _+∞

−∞

(arctan (t+ 1)−arctan (t))dt.

Solution 13.10

1. En notant F (x) = Z _x

0

f(t)dt pour x >0 et en utilisant le théorème des accroissements finis, on a :

Z _x

0

(f(t+ 1)−f(t))dt= [F(t+ 1)−F (t)]^x₀

=F (x+ 1)−F (x)−F (1)

=f(c_x)−F (1) où c_x ∈]x, x+ 1[. Et faisant tendre x vers +∞, on en déduit que :

Z _+∞

0

(f(t+ 1)−f(t))dt=`−F (1). De manière analogue, on vérifie que :

Z ₀

−∞

(f(t+ 1)−f(t))dt=F (1)−`⁰

et : Z _+∞

−∞

(f(t+ 1)−f(t))dt =`−`⁰. 2. Avec f(t) = arctan (t) →

t→±∞±π

2, on déduit que : Z _+∞

−∞

(arctan (t+ 1)−arctan (t))dt=π.

Les intégrales de Riemann 251

13.2 Les intégrales de Riemann

Une famille importante d’intégrales généralisées est donnée par celle des intégrales de Rie- mann.

Théorème 13.2 Soient α un réel et f la fonction définie sur ]0,+∞[ par : f :t 7→ 1

t^α.

1. L’intégrale de f sur [1,+∞[ est convergente si, et seulement si, α >1 avec :

∀α >1, Z _+∞

1

dt

t^α = 1 α−1.

2. L’intégrale de f sur ]0,1] est convergente si, et seulement si, α <1 avec :

∀α <1, Z ₁

0

dt

t^α = 1 1−α. Démonstration.

1. Pour x >1 on a :

Z _x

1

dt t^α =



 1 1−α

µ 1 x^α−1 −1

¶

si α6= 1, ln (x) si α= 1.

et en conséquence :

x→+∞lim Z _x

1

dt t^α =

( 1

α−1 siα >1, +∞ si α≤1.

2. De même pour 0< x <1 on a : Z ₁

x

dt t^α =



 1 1−α

µ

1− 1 x^α−1

¶

siα6= 1,

−ln (x) siα= 1.

et :

x→+∞lim Z ₁

x

dt t^α =

( 1

1−α si α <1, +∞ si α≥1.

Remarque 13.4 On pourra noter l’analogie entre les intégrales de Riemann sur[1,+∞[et les séries de Riemann.

Remarque 13.5 L’intégrale Z _+∞

0

dt

t^α est divergente quel que soit le réel α.

On peut montrer de manière analogue (ou en effectuant le changement de variable u=b−t [resp. u = t−a]) que pour a < b et α dans R l’intégrale de f : t 7→ 1

(b−t)^α [resp. f : t 7→

1

(t−a)^α] sur [a, b[ est convergente si, et seulement si, α <1 avec :

∀α <1, Z _b

a

dt (b−t)^α =

Z _b

a

dt

(t−a)^α = 1 1−α

1 (b−a)^α−1.

Par exemple, pour a= 0, b= 1 et α= 1

2, on a : Z ₁

0

√dt

1−t = 2.

13.3 Opérations sur les intégrales généralisées

On se place sur I = [a, b[ et se donne deux fonctions f et g continues par morceaux sur cet intervalle.

Théorème 13.3 Si les intégrales de f et g sur I sont convergentes, il en est alors de même de l’intégrale des fonction f et f +λg pour tout nombre complexe λ et on a :

Z _b

a

f(x)dx= Z _b

a

f(x)dx Z _b

a

(f(x) +λg(x))dx= Z _b

a

f(x)dx+λ Z _b

a

g(x)dx.

Si Z _b

a

f(x)dx converge et Z _b

a

g(x)dx diverge, alors Z _b

a

(f(x) +g(x))dx diverge.

Démonstration.Résulte immédiatement des résultats relatifs aux opérations sur les limites.

Pour ce qui est de la somme de deux intégrales divergentes, on ne peut rien dire a priori comme le montre l’exemple des fonctions f(x) = 1

x², f(x) =− 1

x² et f(x) = 1

x², f(x) = 1 x² sur ]0,1].

Pour ce qui est du produit des deux fonctions f et g d’intégrales convergentes, on ne peut rien dire a priori comme le montre l’exemple des fonctionsf(x) = 1, g(x) = 1

√x etf(x) = 1

√x, g(x) = 1

√x sur ]0,1].

Corollaire 13.1 Sif est à valeurs complexes, alors Z _b

a

f(x)dxest convergente si, et seulement si, les intégrales

Z _b

a

<(f) (x)dx et Z _b

a

=(f) (x)dx sont convergentes et en cas de convergence,

on a : Z _b

a

f(x)dx= Z _b

a

<(f) (x)dx+i Z _b

a

=(f) (x)dx.

Démonstration. Résulte de f =<(f) +i=(f) et de <(f) = f+f

2 , =(f) = f −f 2i . Exercice 13.11 Soienta, bdeux nombres réels. Étudier la nature de l’intégrale

Z _+∞

0

e^atcos (bt)dt en précisant sa valeur en cas de convergence.

Opérations sur les intégrales généralisées 253 Solution 13.11 Pour b = 0, l’exercice 13.9 nous dit que cette intégrale converge si, et seule- ment si a <0.

Pour b 6= 0, le changement de variable t = u− π

2b nous dit que cette intégrale converge si, et seulement l’intégrale e^−a2bπ

Z _+∞

π 2b

e^acos

³

bu−π 2

´

du converge, ce qui est encore équivalent à dire que l’intégrale

Z _+∞

0

e^atsin (bt)dt converge.

En notant λ=a+ib, on a :

e^atcos (bt) = <¡ e^λt¢

, e^atsin (bt) ==¡ e^λt¢

et utilisant le résultat de l’exercice 13.9, on déduit que l’intégrale Z _+∞

0

e^atcos (bt)dt converge si, et seulement si a <0.

Pour a <0 et b ∈R, on a alors : Z _+∞

0

e^atcos (bt)dt=<

µZ _+∞

0

e^λtdt

¶

=<

µ

−1 λ

¶

=− a

a²+b².

L’utilisation du théorème d’intégration par parties ou du théorème de changement de variable pour les intégrales définies est parfois utile pour justifier la convergence d’une intégrale.

Théorème 13.4 (Intégration par parties) Sif, gsont de classeC¹ surI et silim

x→bf(x)g(x) existe, alors les intégrales

Z _b

a

f⁰(x)g(x)dx et Z _b

a

f(x)g⁰(x)dx sont de même nature et en cas de convergence, on a :

Z _b

a

f(x)g⁰(x)dx= lim

x→bf(x)g(x)−f(a)g(a)− Z _b

a

f⁰(x)g(x)dx.

Démonstration. Le théorème usuel d’intégration par parties nous permet d’écrire pour tout x∈I : Z _x

a

f(t)g⁰(t)dt =f(x)g(x)−f(a)g(a)− Z _x

a

f⁰(t)g(t)dt et avec l’hypothèse lim

x→bf(x)g(x) =`, on déduit le résultat annoncé.

Dans la pratique il est préférable de reprendre la démonstration de ce théorème sur l’intégrale étudiée en effectuant une intégration parties sur [a, x] puis en passant à la limite.

Exercice 13.12 Montrer que Z _+∞

0

tⁿe^−tdt est convergente et calculer sa valeur I_n pour tout n ∈N.

Solution 13.12 On a

I₀ = Z _+∞

0

e^−tdt= 1.

et une intégration par parties nous montre que In+1 = (n+ 1)In, ce qui donne In=n!.

Exercice 13.13 Montrer que l’intégrale Z ₁

0

ln (t)

(1 +t)²dt converge et calculer sa valeur.

Solution 13.13 Une intégration par parties nous donne pourx∈]0,1] : F (x) =

Z ₁

x

ln (t) (1 +t)²dt =

·

−ln (t) 1 +t

¸₁

x

+ Z ₁

x

dt t(1 +t)

=

· ln

µ t 1 +t

¶

−ln (t) 1 +t

¸₁

x

=−ln (2)−ln µ x

1 +x

¶

+ln (x) 1 +x →

x→0−ln (2). Exercice 13.14 Montrer que l’intégrale

Z _+∞

0

arctan (t²)

t² dt converge et calculer sa valeur.

Solution 13.14 Aveclim

1→0

arctan (t²)

t² = 1,on prolonge par continuité en0la fonction à intégrer et le seul problème de convergence est à l’infini.

Une intégration par parties nous donne pour x >0 : F(x) =

Z _x

0

arctan (t²) t² dt=

·

−arctan (t²) t

¸_x

0

+ 2 Z _x

0

dt 1 +t⁴

=−arctan (x²)

x + 2

Z _x

0

dt 1 +t⁴ (la fonction g : t 7→ arctan (t²)

t se prolonge aussi par continuité en 0 avec g(0) = 0) et la décomposition en éléments simples de 1

1 +t⁴ = 1

(1 +t²)²−2t² donne I = 1 2

√2π (les détails sont laissés au lecteur).

Théorème 13.5 (Changement de variable) Soient ϕ un C¹-difféomorphisme croissant de J = [α, β[ sur I = [a, b[ et f une application continue sur l’intervalle I à valeurs réelles ou complexes. Les intégrales

Z _β

α

f(ϕ(t))ϕ⁰(t)dt et Z _b

a

f(x)dx sont de même nature et en cas de convergence, on a : Z _b

a

f(x)dx= Z _β

α

f(ϕ(t))ϕ⁰(t)dt.

Démonstration. On désigne respectivement parF etG,la primitive de f sur I nulle en a et la primitive de (f◦ϕ)·ϕ⁰ sur J nulle en α.

Avec(F ◦ϕ)⁰ = (f ◦ϕ)·ϕ⁰ =G⁰ etF◦ϕ(α) = F (a) = 0 =G(α),on déduit que G=F◦ϕ.

Dire que Z _b

a

f(x)dxconverge équivaut à dire queF a une limite finie enbet aveclim

t→βϕ(t) = b, on déduit que :

G(t) =F ◦ϕ(t) =F (ϕ(t)) →

t→β

Z _b

a

f(x)dx ce qui signifie que

Z _β

α

f(ϕ(t))ϕ⁰(t)dt converge vers Z _b

a

f(x)dx.

Réciproquement si Z _β

α

f(ϕ(t))ϕ⁰(t)dt converge, alors G a une limite finie en β et avec

x→blimϕ⁻¹(x) =β (ϕest un homéomorphisme), on déduit que : F (x) =G◦ϕ⁻¹(x) =G¡

ϕ⁻¹(x)¢

x→b→ Z _β

α

f(ϕ(t))ϕ⁰(t)dt

Opérations sur les intégrales généralisées 255 ce qui signifie que

Z _b

a

f(x)dx converge vers Z _β

α

f(ϕ(t))ϕ⁰(t)dt.

Dans la pratique, on effectue le changement de variable sur l’intégrale définie Z _x

a

f(t)dt et on passe à la limite ensuite.

Exercice 13.15 Montrer que l’intégrale Z _+∞

0

√ 1

t+t²dt converge et calculer sa valeur.

Solution 13.15 Le changement de variable t=u² donne I = 2 Z _+∞

0

du

1 +u³ et une décomposi- tion en éléments simples donne I = 4

9

√3π.

Exercice 13.16 Prouver la convergence et calculer Z ^π

2

0

ln (sin (t))dt.

Solution 13.16 Pourt >0, on a :

f(t) = ln (sin (t)) = ln

µsin (t) t

¶

+ ln (t)

avec lim

t→0⁺ln

µsin (t) t

¶

= ln (1) = 0, donc t 7→ ln

µsin (t) t

¶

se prolonge par continuité en 0 et comme

Z ^π

2

0

ln (t)dt est convergente (exercice 13.6), on en déduit que Z ^π

2

0

ln (sin (t))dt est convergente. Notons I la valeur de cette intégrale.

Le changement de variable u= π

2 −t nous donne pour 0< x < π 2 : Z ^π

2

x

ln (sin (t))dt= Z ^π

2−x 0

ln (cos (t))dt →

x→0⁺ I ce qui signifie que

Z ^π

2

0

ln (cos (t))dt=I.

On peut alors écrire que :

2I = Z ^π

2

0

ln (sin (t))dt+ Z ^π

2

0

ln (cos (t))dt

= Z ^π

2

0

ln

µsin (2t) 2

¶ dt =

Z ^π

2

0

ln (sin (2t))dt−π

2 ln (2). Le changement de variable u= 2t nous dit que

Z _π

0

ln (sin (t))dt est convergente et : Z ^π

2

0

ln (sin (2t))dt= 1 2

Z _π

0

ln (sin (t))dt

De même, le changement de variable u= π

2 −t nous donne : Z _π

π 2

ln (sin (2t))dt= Z ^π

2

0

ln (cos (t))dt=I.

On a donc en définitive : 2I = 1

2 Z _π

0

ln (sin (t))dt− π

2ln (2) =I− π 2 ln (2) et I =−π

2ln (2).

Exercice 13.17 Soit f : [0,+∞[ → R continue telle que l’intégrale Z _+∞

1

f(t)

t dt converge.

Pour 0< a < b et 0< x < y on pose : F(x, y) =

Z _y

x

f(at)−f(bt)

t dt

1. Montrer que :

F (x, y) = Z _bx

ax

f(t) t dt−

Z _by

ay

f(t) t dt On note G(x) =

Z _bx

ax

f(t)

t dt et H(y) = Z _by

ay

f(t) t dt.

2. Montrer que lim

y→+∞H(y) = 0.

3. Montrer que

G(x) = Z _bx

ax

f(t)−f(0)

t dt+f(0) ln µb

a

¶

4. Montrer que lim

x→0G(x) = f(0) ln µb

a

¶ .

5. Montrer que : Z _+∞

0

f(at)−f(bt)

t dt=f(0) ln µb

a

¶

Solution 13.17

1. Les changement de variables u=at et v =bt avec a >0 et b >0 donnent : F (x, y) =

Z _y

x

f(at) t dt−

Z _y

x

f(bt) t dt=

Z _ay

ax

f(u) u du−

Z _by

bx

f(v) v dv

= Z _bx

ax

f(u) u du+

Z _ay

bx

f(u) u du−

Z _ay

bx

f(v) v dv−

Z _by

ay

f(v) v dv

= Z _bx

ax

f(t) t dt−

Z _by

ay

f(t)

t dt =G(x)−H(y)

2. Avec la convergence de I = Z _+∞

1

f(t)

t dt, on a : H(y) =

Z _by

1

f(t) t dt−

Z _ay

1

f(t)

t dt →

y→+∞I−I = 0.

Opérations sur les intégrales généralisées 257

3. On a pour a >0, b >0 et x >0 : G(x) =

Z _bx

ax

f(t) t dt =

Z _bx

ax

f(t)−f(0) +f(0)

t dt

= Z _bx

ax

f(t)−f(0)

t dt+f(0) [ln (t)]^bx_ax

= Z _bx

ax

f(t)−f(0)

t dt+f(0) ln µb

a

¶

4. Comme f est continue en 0, pour tout réel ε >0, on peut trouver un réel η >0 tel que : (0< t < η)⇒(|f(t)−f(0)|< ε)

et pour 0< x < η

b, on a [ax, bx]⊂]0, η[ de sorte que :

¯¯

¯¯ Z _bx

ax

f(t)−f(0)

t dt

¯¯

¯¯≤ Z _bx

ax

|f(t)−f(0)|

t dt≤ε

Z _bx

ax

dt

t =εln µb

a

¶ ,

ce qui prouve que lim

x→0

Z _bx

ax

f(t)−f(0)

t dt = 0 et lim

x→0G(x) =f(0) ln µb

a

¶ . 5. Prenant x= 1 et y >1, on a :

F (1, y) = Z _y

1

f(at)−f(bt)

t dt=G(1)−H(y) →

y→+∞G(1) ce qui prouve que l’intégrale

Z _+∞

1

f(at)−f(bt)

t dt converge vers G(1). Puis prenant y= 1 et 0< x < 1, on a :

F (1, y) = Z ₁

x

f(at)−f(bt)

t dt =G(x)−H(1) →

x→0f(0) ln µb

a

¶

−H(1)

ce qui prouve que l’intégrale Z ₁

0

f(at)−f(bt)

t dt converge vers f(0) ln µb

a

¶

−H(1). Il en résulte que

Z _+∞

0

f(at)−f(bt)

t dt converge vers : f(0) ln

µb a

¶

+G(1)−H(1) avec :

G(1)−H(1) =F (1,1) = 0.

On a donc bien : Z _+∞

0

f(at)−f(bt)

t dt=f(0) ln µb

a

¶ .

Par exemple pourf(t) = sin (t)

t qui est bien continue en0avec Z _+∞

1

sin (t)

t² dtconvergente, on a en prenant a= 1 et b = 2 :

Z _+∞

0

2 sin (t)−sin (2t)

2t² dt= ln (2)

ou encore : Z _+∞

0

sin (t) (1−cos (t))

t² dt = ln (2)

Exercice 13.18 Soit f : ]0,+∞[→R continue telle que lim

x→0f(x) =α et lim

x→+∞f(x) =β. En s’inspirant de l’exercice précédent, montrer que pour 0< a < b on a :

Z _+∞

0

f(at)−f(bt)

t dt = (α−β) ln µb

a

¶ . Solution 13.18 Pour0< x < y on pose :

F(x, y) = Z _y

x

f(at)−f(bt)

t dt

et on a :

F(x, y) = Z _bx

ax

f(t) t dt−

Z _by

ay

f(t)

t dt =G(x)−H(y) Avec lim

x→0f(x) =α, on déduit que :

x→0limG(x) = αln µb

a

¶

et avec lim

x→+∞f(x) =β, on déduit que :

y→+∞lim H(y) =βln µb

a

¶

Faisons le pour la deuxième limite : pour tout réel ε > 0, on peut trouver un réel M > 0 tel que :

(t > M)⇒(|f(t)−β|< ε) et pour y > M

a , on a [ay, by]⊂]M,+∞[ de sorte que :

¯¯

¯¯ Z _by

ay

f(t)−β

t dt

¯¯

¯¯≤ Z _by

ay

|f(t)−β|

t dt≤ε Z _by

ay

dt

t =εln µb

a

¶ ,

ce qui prouve que lim

y→+∞

Z _by

ay

f(t)−β

t dt= 0 et avec : H(y) =

Z _by

ay

f(t)−β

t dt+βln µb

a

¶

on en déduit que lim

y→+∞H(y) = βln µb

a

¶ .

On conclut alors comme pour l’exercice précédent.

Prenant f(t) = arctan (t), a = 1, b= 2, on obtient : Z _+∞

0

arctan (2t)−arctan (t)

t dt= π

2 ln (2). Exercice 13.19 On considère pour (r, s)∈R², l’intégrale :

I_a(r, s) = Z ₁

a

x^r µ

ln µ1

x

¶¶_s

dx, où a∈]0,1[.

Opérations sur les intégrales généralisées 259 1. Calculer la limite lim

x→0⁺x^r µ

ln µ1

x

¶¶_s

suivant les valeurs de r et s.

2. Montrer que l’intégrale Z ₁

0

x^r µ

ln µ1

x

¶¶_s

dx si, et seulement si, r >−1 et s >−1.

On notera I(r, s) cette intégrale généralisée pour r >−1 et s >−1.

3. Si r >−1 et s >−1, montrer que : I(r, s) =

Z _+∞

0

e^−(r+1)xx^sdx = 1

(r+ 1)^s+1I(0, s). 4. Montrer que pour s >0, I(0, s) = sI(0, s−1).

5. En déduire la valeur de I(r, n) pour tout r >−1 et n ∈N.

Solution 13.19

1. Le changement de variable x= 1

t nous donne :

x→0limx^r µ

ln µ1

x

¶¶_s

= lim

t→+∞

ln (t)^s t^r =













0 si r >0 et s ∈R 0 sir = 0 et s <0

1 si r=s= 0 +∞ si r= 0 et s >0 +∞ si r <0 et s∈R 2. L’intégrale

Z ¹

e

0

x^r µ

ln µ1

x

¶¶_s dx=

Z ¹

e

0

dx x^−r|ln (x)|^−s

est une intégrale de Bertrand et on sait qu’elle converge si, et seulement si −r < 1 et s∈R ou −r = 1 et −s >1.

Le changement de variable t = −ln (x) nous montre que l’intégrale Z ₁

1 e

dx

x^−r|ln (x)|^−s est de même nature que l’intégrale

Z ₁

0

dt

e^(r+1)tt^−s, cette dernière étant de même nature que l’intégrale de Riemann

Z ₁

0

dt

t^−s, donc convergente uniquement pour −s <1.

En conclusion, l’intégrale Z ₁

0

x^r µ

ln µ1

x

¶¶_s

dx converge si, et seulement si, r > −1 et s >−1.

3. En effectuant le changement de variable t=−ln (x), on a, pour r >−1 et s >−1 : I(r, s) =

Z ₁

0

x^r µ

ln µ1

x

¶¶_s dx=

Z _+∞

0

e^−(r+1)tt^sdt et le changement de variable u= (r+ 1)t, nous donne :

I(r, s) = Z _+∞

0

e^−u u^s (r+ 1)^s

du

r+ 1 = 1

(r+ 1)^s+1I(0, s). 4. Pour s >0, une intégration par parties donne :

I(0, s) =£

−t^se^−t¤_+∞

0 +s Z _+∞

0

t^s−1e^−tdt=sI(0, s−1)

5. AvecI(0, n) =nI(0, n−1)pour tout entiern≥1,on déduit par récurrence que I(0, n) = n!I(0,0) =n!. Il en résulte que :

I(r, n) = 1

(r+ 1)ⁿ⁺¹I(0, n) = n!

(r+ 1)ⁿ⁺¹ pour tout entier naturel n et tout réel r >−1.

13.4 Une condition nécessaire de convergence de

Z

a

f (x) dx

On sait qu’une condition nécessaire de convergence d’une série numérique est que son terme général tende vers 0.

Dans le cas des fonctions continues, la convergence de Z _+∞

a

f(x)dx n’implique pas néces- sairement que f soit nulle à l’infini comme le montre l’exemple de l’exercice qui suit.

Exercice 13.20 Soit f la fonction f affine par morceaux et continue sur [1,+∞[ telle que :

∀n ≥1, f µ

n+1 2

¶

=n et :

∀n≥1, f(n) =f(n+ 1 2− 1

n2ⁿ) = f(n+1 2 + 1

n2ⁿ) =f(n+ 1) = 0.

Montrer que Z _+∞

1

f(x)dx est convergente et que f n’est pas nulle à l’infini.

0 1 2 3 4

−1 0 1 2 3 4

−1

Fig. 13.1 – y=f(x)

Une condition nécessaire de convergence de Z _+∞

a

f(x)dx 261

Solution 13.20 Pour tout réel x≥2, on a, en notant [x] la partie entière de x : F(x) =

Z _x

1

f(x)dx≤

Z _[x]+1

1

f(t)dt = X[x]

k=1

1

2^k = 1− 1 2^[x] ≤1.

La fonction F est donc croissante majoré sur R⁺ et en conséquence admet une limite finie en +∞, ce qui signifie que l’intégrale

Z _+∞

1

f(x)dx est convergente.

Comme lim

n→+∞f µ

n+1 2

¶

= +∞, la fonction f n’a pas de limite finie en +∞.

Avec l’exercice 13.30, on donne un autre exemple de telle situation.

Dans le cas où la fonctionf est uniformément continue sur R⁺,la condition lim

x→+∞f(x) = 0 est une condition nécessaire de convergence de l’intégrale.

Théorème 13.6 Soit f une fonction uniformément continue sur I = [a,+∞[. Si l’intégrale Z _+∞

a

f(x)dx converge, on a alors lim

x→+∞f(x) = 0.

Démonstration. Il suffit de considérer le cas d’une fonction f à valeurs réelles.

Dire que f ne tend pas vers 0 à l’infini signifie qu’on peut trouver un réelε >0 tel que :

∀n ≥a, ∃x_n≥n| |f(x_n)| ≥ε.

Si on suppose de plus que f est uniformément continue sur I, il existe un réelη >0 tel que :

¡(x, y)∈I² et |x−y| ≤η¢

⇒ |f(x)−f(y)| ≤ ε 2. En particulier, on a pour tout n≥a :

t∈[x_n, x_n+η]⇒ −ε

2 ≤f(t)−f(x_n)≤ ε 2. Pour f(x_n)>0 (comme |f(x_n)| ≥ε, f(x_n) est non nul), on a :

t∈[x_n, x_n+η]⇒f(t)≥f(x_n)− ε 2 ≥ ε

2 >0 et pour f(x_n)<0, on a :

t∈[x_n, x_n+η]⇒f(t)≤f(x_n) + ε

2 ≤ −ε 2 <0 soit |f(t)| ≥ ε

2 pour toutt ∈[x_n, x_n+η]avecf de signe constant sur [x_n, x_n+η]dans tous les

cas et : ¯¯

¯¯ Z _xn+η

xn

f(t)dt

¯¯

¯¯=

Z _xn+η

xn

|f(t)|dt≥ ηε 2 de sorte queF :x7→

Z _x

a

f(t)dtne peut avoir de limite finie à l’infini et l’intégrale Z _+∞

a

f(x)dx diverge.

13.5 Cas des fonctions à valeurs positives. Intégrales abso- lument convergentes

On se place sur I = [a, b[ (avec −∞ < a < b ≤ +∞) et se donne une fonction f continue par morceaux sur cet intervalle. On désigne toujours par F :x 7→

Z _x

a

f(t)dt la primitive de f nulle en a.

Théorème 13.7 Si f est à valeurs positives et si Z _b

a

f(x)dx converge, alors Z _b

a

f(x)dx≥0.

Dans le cas où f est continue sur I, l’égalité Z _b

a

f(x)dx = 0 est réalisée si, et seulement si, f est identiquement nulle.

Démonstration.Se déduit de la définition, des propriétés des limites et du résultat analogue sur les intégrales de Riemann des fonctions continues.

On rappelle que si F est une fonction croissante de I = [a, b[ dans R, elle admet alors une limite finie en b si, et seulement si, elle est majorée. Dans le cas où elle est majorée, on a :

limx→bF (x) = sup

x∈[a,b[

F (x)

et dans le cas contraire, on a lim

x→bF (x) = +∞.

Comme conséquence de ce résultat, on a le suivant.

Théorème 13.8 Si f est à valeurs positives, alors l’intégrale def sur [a, b[est convergente si, et seulement si, la fonction F est majorée.

Démonstration. Commef est positive, la primitive F est une fonction croissante et elle a une limite finie en b si, et seulement si, elle est majorée.

Si F n’est pas majorée, on a alors lim

x→+∞F (x) = +∞.

Pour f à valeurs positives : en cas de divergence on a Z _b

a

f(t)dt = lim

x→+∞F(x) = +∞ et en cas de convergence, on notera naturellement

Z _b

a

f(t)dt <+∞.

Le cas d’une fonction f à valeurs positives se ramène à celui d’une fonction positive en étudiant g =−f.

On déduit du résultat précédent un théorème de comparaison analogue à celui obtenu pour les séries numériques.

Théorème 13.9 Soient f, g deux fonctions définies, continues par morceaux sur [a, b[, à va- leurs réelles positives et telles que :

∀t∈[a, b[, f (t)≤g(t).

1. La convergence de l’intégrale de g sur[a, b[entraîne la convergence de l’intégrale de f sur

[a, b[ avec : Z _b

a

f(x)dx≤ Z _b

a

g(x)dx.