Intégration
¦ Introduction.On rencontre en physique, en sciences industrielles, des transformations qui s’écrivent à l’aide d’intégrales :
Lf(p)= Z +∞
0
f(t)e−ptdt la transformée de Laplace def Ff(x)=
Z +∞
−∞
f(t)e−2ixtdt la transformée de Fourier def
Ces expressions sont des fonctions définies à l’aide d’intégrales. On verra plus tard dans l’année des résultats permettant d’étudier de telles fonctions mais la première question à se poser est l’existencede ces intégrales. Le principe pour cela estle même que pour les séries: se ramener à une intégrale « finie » puis prendre une limite. Quelques exemples :
• L’intégrale Z +∞
0
e−tdtprésente un problème sur la borne+∞, on considère : Z x
0
e−tdt=£
−e−t¤x
0= −e−x+1−−−−−→
x→+∞ 1 donc l’intégrale
Z +∞
0
e−tdtexiste et vaut 1.
• L’intégrale Z 1
0
1
tdtprésente un problème sur la borne 0, on considère : Z 1
x
1
tdt=[ln(t)]1x=ln(1)−ln(x)−−−→
x→0 +∞
donc l’intégrale Z 1
0
1
t dtn’existe pas.
• L’intégrale Z +∞
0
sint
t dtprésente des problèmes en 0 et+∞, on considère séparément Z 1
0
sint
t dt et Z +∞
1
sint t dt et il faut étudier l’existence de ces deux intégrales.
¦ On noteK=RouC. On noteI un intervalle deR, non vide et non réduit à un point.
Une écriture de la forme−∞ <a<bÉ +∞signifie quea est un réel et quebest soit un réel strictement supérieur àa, soitb= +∞. L’intervalleIs’écrit donc sous l’une des formes suivantes :
— I=[a,b] avec−∞ <a<b< +∞;
— I=[a,b[ avec−∞ <a<bÉ +∞;
— I=]a,bavec−∞ Éa<b< +∞;
— I=]a,b[ avec−∞ Éa<bÉ +∞. Dans le premier cas,I =[a,b],Rb
a f(t) dt a déjà été défini lorsque f ∈C([a,b]). On étend cette définition aux autres types d’intervalles et aux fonctions continues par morceaux. Les fonctions considérées sont à valeurs dansRouC.
I. Fonctions continues par morceaux
Définition 1 – Subdivision d’un segment
On appelle subdivision d’un segment[a,b]toute famille finieσ=(a0, . . . ,an)de réels telle que a=a0<a1< · · · <an=b.
Définition 2 – Fonctions continues par morceaux
• Une application f : [a,b]→Kest dite continue par morceaux lorsqu’il existe une subdivision σ:a =a0<a1< · · · <an =b du segment[a,b]telle que pour tout i ∈ 1,n, f est continue sur]ai−1,ai[et admet une limite finie à droite en ai−1et à gauche en ai.
• Une fonction f :I →Rest dite continue par morceaux sur I lorsque pour tout segment[a,b]⊂I , la restriction f|[a,b]est continue par morceaux sur[a,b].
On noteCm(I,K)l’ensemble des fonctions continues par morceaux sur I et à valeurs dans K.
¦ L’ensemble Cm(I,K) est unKespace vectoriel et il est stable par produit. On admettra que pourf ∈Cm([a,b]), on peut définirRb
a f(t) dtde la même manière que ce qui a été fait pour les fonctions continues sur un segment en première année. Les propriétés usuelles sont conservées (linéarité, relation de Chasles, positivité, croissance).
Théorème 3 – Rappel – Fonctions continues, positives et d’intégrale nulle
Soit f : [a,b]→R. Si f est continue sur[a,b], positive sur[a,b]etRb
a f(t) dt=0, alors :
∀x∈[a,b], f(x)=0
"Remarque. Le résultat est faux dès que l’une des hypothèses (continue / positive /
intégrale nulle) n’est pas satisfaite.
2
II. Intégrales généralisées
Théorème 4 – Rappel – Intégrale dépendant de la borne supérieure
Soient f ∈Cm(I)et a∈I , on définit
F : I → K
x 7→
Z x a
f(t) dt On a les résultats suivants :
(1) Si f est continue sur I , alors F est de classeC1sur I et F est la primitive de f sur I qui s’annule en a et en particulier :
∀x∈I, F0(x)=f(x) (2) Si f est positive sur I , alors F est croissante sur I .
II. Intégrales généralisées
Définition 5 – Intégrale généralisée (ou impropre)
Soit f ∈Cm(I). On distingue trois cas suivant la forme de l’intervalle I :
• Si I =[a,b[,−∞ <a<bÉ +∞, on dit que l’intégrale Z b
a
f(t) dt converge lorsque : Z x
a
f(t) dt admet une limite finie`lorsque x→b (aÉx<b)
et si c’est le cas, on note Z b
a
f(t) dt=`=lim
x→bf(t) dt ;
• Si I =]a,b],−∞ Éa<b< +∞, on dit que l’intégrale Z b
a
f(t) dt converge lorsque : Z b
x
f(t) dt admet une limite finie`lorsque x→a (a<xÉb)
et si c’est le cas, on note Z b
a
f(t) dt=`=lim
x→a
Z b x
f(t) dt ;
• Si I =]a,b[,−∞ Éa<bÉ +∞, on dit que l’intégrale Z b
a
f(t) dt converge lorsque :
les deux intégrales Z c
a
f(t) dt et Z b
c
f(t) dt convergent pour un c∈]a,b[fixé (dont la valeur n’importe pas). Si c’est le cas, on note :
Z b a
f(t) dt= Z c
a
f(t) dt+ Z b
c
f(t) dt
Remarques.
• Lorsque Z b
a
f(t) dtne converge pas, on dit qu’elle diverge.
• Lorsque I=]a,b[, la convergence de l’intégrale (et sa valeur) est indépendante du choix dec.
• LorsqueI est un segment,I=[a,b], etf ∈Cm([a,b],K), on considère que Z b
a
f(t) dt
est toujours convergente.
Proposition 6 – Condition nécessaire et suffisante pour une fonction positive sur[a,b[
Si f ∈Cm([a,b[)et f est à valeurs positives, alors on a équivalence entre : (i) L’intégrale
Z b
a
f(t) dt converge ; (ii) La fonction F:x∈[a,b[7→
Z x
a
f(t)d t est majorée sur[a,b[.
Proposition 7 – Exemples fondamentaux/Intégrales de référence Soitα∈R. On a les résultats suivants :
(1) Intégrales de Riemann sur]0, 1]: Z +∞
1
dt
tα converge ssiα>1; (2) Intégrales de Riemann sur[1,+∞[:
Z 1
0
dt
tα converge ssiα<1; (3) Exponentielle :
Z +∞
0
e−αtdt converge ssiα>0; (4) Logarithme népérien :
Z 1
0
lntdt converge.
III. Intégrales absolument convergentes
Remarque.On donne les résultats suivants pour des intégrales sur ]a,b[ mais il s’appliquent
aussi pour les intervalles [a,b[, ]a,b] (ou même [a,b]).
Définition 8 – Intégrale absolument convergente, fonction intégrable
Soit f ∈Cm(]a,b[,K).
• On dit que Z b
a
f(t) dt est absolument convergente lorsque Z b
a
¯
¯f(t)¯
¯dt converge.
• On dit que f est intégrable sur I lorsque l’intégrale Z b
a
¯
¯f(t)¯
¯dt converge.
On note alors Z
I
f(t) dt= Z b
a
f(t) dt (ou même Z
I
f ).
4
IV. Comparaisons
Théorème 9 – Convergence absolue implique convergence
Si f ∈Cm(]a,b[)et Z b
a
f(t) dt est absolument convergente, alors elle est convergente et lorsque c’est le cas :
¯
¯
¯
¯ Z b
a
f(t) dt
¯
¯
¯
¯É Z b
a
¯
¯f(t)¯
¯dt La réciproque est fausse.
Proposition 10 – Fonctions continues, intégrables, d’intégrale nulle
Soit f ∈Cm(I). On a les résultats suivants : (1) Si f est continue sur I , intégrable sur I et
Z
I
¯
¯f(t)¯
¯dt=0alors f est nulle sur I . (2) Si f est continue et positive sur I , intégrable sur I et
Z
I
f(t) dt=0alors :
∀x∈I, f(x)=0
"Remarque. Le résultat est faux dès que l’une des hypothèses (continue / positive /
intégrale nulle) n’est pas satisfaite.
IV. Comparaisons
Théorème 11 – Comparaison Si f,g∈Cm([a,b[), alors :
(1) Si0Éf(t)Ég(t)au voisinage de b etRb
a g(t) dt converge, alorsRb
a f(t) dt converge ; (2) Si f(t)=O
b(g(t)), g(t)Ê0au voisinage de b etRb
a g(t) dt converge, alorsRb
a f(t) dt converge absolument donc converge ;
(3) si f(t)∼
bg(t)et g(t)Ê0au voisinage de b, alorsRb
a g(t) dt converge si, et seulement si,Rb
a f(t) dt converge.
Remarques.
• On peut adapter ces résultats au cas d’un intervalle ]a,b].
• Dans le cas d’un intervalle ]a,b[, il faut systématiquement considérer séparément les
intervalle ]a,c] et [c,b[.
V. Opérations
Remarque.On donne les résultats suivants pour des intégrales sur ]a,b[ mais il s’appliquent
aussi pour les intervalles [a,b[, ]a,b] (ou même [a,b]).
Proposition 12 – Linéarité
Soient f,g∈Cm(]a,b[)etλ∈K. On a les résultats suivants : (1) Si
Z b a
f(t) dt converge et Z b
a
g(t) dt converge, alors Z b
a
(λf(t)+g(t)) dt converge et : Z b
a (λf(t)+g(t)) dt=λ Z b
a
f(t) dt+ Z b
a
g(t) dt
(2) Si Z b
a
f(t) dt diverge Z b
a
g(t) dt converge, alors Z b
a
(f(t)+g(t)) dt diverge.
"Remarque. Si
Z b a
(f(t)+g(t)) dtconverge, rien ne permet en général d’écrire
Z b
a
(f(t)+g(t)) dt= Z b
a
f(t) dt+ Z b
a
g(t) dt
(sauf si l’on sait qu’au moins l’une des deux intégrales est convergente).
Proposition 13 – Positivité et croissance
Soient f,g∈Cm(]a,b[).
(1) Si f est positive sur I et Z b
a
f(t) dt converge, alors Z b
a
f(t) dtÊ0; (2) Si :∀t∈]a,b[, f(t)Ég(t)et
Z b
a
f(t) dt et Z b
a
g(t) dt convergent, alors Z b
a
f(t) dtÉ Z b
a
g(t) dt Proposition 14 – Relation de Chasles
Soient f ∈Cm(]a,b[)et c∈]a,b[. Si les intégralesRc
a f(t) dt etRb
c f(t) dt sont convergentes, alors l’intégraleRb
a f(t) dt est convergente et : Z b
a
f(t) dt= Z c
a
f(t) dt+ Z b
c
f(t) dt
6
V. Opérations Théorème 15 – Changement de variable
Si f ∈Cm(]a,b[)etϕ: ]α,β[→]a,b[est une bijection de classeC1alors les intégrales Z b
a
f(t) dt et Z β
α f(ϕ(x))ϕ0(x) dx
sont de même nature. En cas de convergence, lorsqueϕest strictement croissante : Z β
α f(ϕ(x))ϕ0(x) dx= Z b
a
f(t) dt et lorsqueϕest strictement décroissante :
Z β
α f(ϕ(x))ϕ0(x) dx= Z a
b
f(t) dt
Plus généralement : Z β
α f(ϕ(x))ϕ0(x) dx=
Z limβϕ
limαϕ f(t) dt . Théorème 16 – Intégration par parties
Soient f,g ∈C1(]a,b[). Si f g admet une limite finie en a et en b, alors les intégrales Rb
a f0(t)g(t) dt etRb
a f(t)g0(t) dt sont de même nature et en cas de convergence : Z b
a
f0(t)g(t) dt=lim
b f g−lim
a f g− Z b
a
f(t)g0(t) dt
noté également : Z b
a
f0(t)g(t) dt=£
f(t)g(t)¤b a−
Z b a
f(t)g0(t) dt . Proposition 17 – Fonctions à valeurs complexes
Si f ∈Cm(]a,b[,C), alors : Z b
a
f(t) dt converge ≺===Â µZ b
a
Re(f(t)) dt et Z b
a
Im(f(t)) dt convergent
¶
et, lorsqu’il y a convergence : Z b
a
f(t) dt= Z b
a
Re(f(t)) dt+i Z b
a
Im(f(t)) dt ou, de manière équivalente :
Z b a
Re(f(t)) dt=Re µZ b
a
f(t) dt
¶ et
Z b a
Im(f(t)) dt=Im µZ b
a
f(t) dt
¶
VI. Opérations sur les fonctions intégrables
Notation : SiI est un intervalle, on note L1(I,K) l’ensemble des fonctions qui sont définies surI, à valeurs dansK, continues par morceaux surIet intégrables surI (ce qui signifie que R
I|f(t)|dtconverge).
Proposition 18 – Structure
L’ensembleL1(I,K)est unK-espace vectoriel. En particulier :
• Si f et g sont intégrables sur I , alors f +g est intégrable sur I ;
• Si f est intégrable sur I etλ∈K, alorsλf est intégrable sur I .
"Remarque. Dans le cas général,f etg intégrables surIn’implique pas que le produit
f g est intégrable surI.
Définition 19 – Fonction de carré intégrable
Une fonction f ∈Cm(I,C)est dite de carré intégrable sur I lorsque la fonction|f|2est intégrable sur I .
Notation : SiI est un intervalle, on note L2(I,K) l’ensemble des fonctions qui sont définies surI, à valeurs dansK, continues par morceaux surIet de carré intégrable surI.
Proposition 20 – Structure
L’ensembleL2(I,K)est unK-espace vectoriel. En particulier :
• Si f et g sont de carré intégrable sur I , alors f +g est de carré intégrable sur I ;
• Si f est de carré intégrable sur I etλ∈K, alorsλf est de carré intégrable sur I . On a également le résultat suivant :
• Si f et g sont de carré intégrable sur I , alors f ×g est intégrable sur I . Théorème 21 – Inégalité de Cauchy-Schwarz
Si f et g sont des fonctions de carré intégrable sur I , alors :
¯
¯
¯
¯ Z
I
f(t)g(t) dt
¯
¯
¯
¯É µZ
I
¯
¯f(t)¯
¯2dt
¶1/2µZ
I
¯
¯g(t)¯
¯2dt
¶1/2
Les résultats à connaitre
• Définition d’une intégrale convergente, absolument convergente.
• La convergence absolue implique la convergence.
• Intégrales de référence : Z 1
0
1 tαdt,
Z +∞
1
1 tαdt,
Z +∞
0
e−αtdt, Z 1
0
lntdt,
Z +∞
1
lntdt
(savoir traiter des intégrales du type Z 1
0
1
(1−t)αdtou Z 1
0
ln(1−t) dtpar changement de variable affine).
• Comparaison pour les fonctions positives.
• Intégration par parties.
• Changement de variable.
• Définition d’une fonction intégrable, d’une fonction de carré intégrable.
• Somme de deux fonctions intégrables, somme de deux fonctions de carré intégrable, produit de deux fonctions de carré intégrable.
Quelques objectifs du chapitre
• Maitriser le vocabulaire : intégrale convergente, fonction intégrable, intégrale absolu- ment convergente.
• Savoir établir la convergence et la divergence d’une intégrale.
• Connaitre les propriétés dex7→
Z x
a
f(t) dt.
En pratique
Ï
Comment étudier la nature de Z
ba
f (t ) dt ?
Tout d’abord :
• Étudier la continuité (par morceaux) def ;
• Déterminer les points où l’intégrale est impropre ;
• Éventuellement : découper l’intervalle de manière à se ramener à des intervalles où une seule borne pose problème.
On se ramène alors à des intégrales de la formeR
[a,b[f(t) dt ouR
]a,b]f(t) dt. Pour étudier R
[a,b[f(t) dton peut appliquer l’une des méthodes suivantes :
• Si f est de signe constant au voisinage deb, établir un équivalent de f enb et/ou comparer avec une fonction de référence ;
• Sif n’est pas de signe constant, établir la convergence absolue en considérant|f|qui est positive ;
• Étudier la limite quandx→bdeRx
a f(t) dt (éventuellement avec une intégration par parties, ou un changement de variable) ;
• Utiliser une série (typiquement quand la fonctionf présente une partie périodique ou des alternances de signes).
Ï
Comment calculer la valeur de Z
ba
f (t ) dt ?
Quelques techniques classiques :
• Primitives classiques ;
• Intégration par parties ;
• Changement de variable ;
• Écrire f(t) comme somme d’une série (plus intéressant quand on saura échanger facilement intégrale et somme).
Ï
Se ramener à une intégrale de référence par ch. de var. affine
Quelques exemples typiques :
• L’intégraleR2
0 ln(2−t) dtest de même nature queR2
0 ln(u) dtpar changement de va- riable affineu=2−t;
• L’intégraleR2
1 1
(1−t)αdtest de même nature queR1
0 1
uαdupar changement de variable affineu=2−t.
Ï
Quelles sont les propriétés de x 7→
Z
xa
f (t ) dt ?
• Si f ∈C(I) eta∈I, alorsF :x∈I7→Rx
a f(t) dtest de classe C1surI, c’est la primitive de f surI qui s’annule enaet en particulier :∀x∈I,F0(x)=f(x) ;
• Sif ∈Cm(I),f est positive surI eta∈I, alorsF :x∈I7→Rx
a f(t) dtest croissante surI;
• Sif ∈Cm([a,b[) etf est positive sur [a,b[, alorsRb
a f(t) dtconverge si, et seulement si, la fonctionF :x∈[a,b[7→Rb
a f(t) dtest majorée surI. Ï***
À retenir...
• Le fait que l’intégrale Z +∞
0
sint
t dtconverge (intégration par parties).
• Le fait que l’intégrale Z +∞
0
|sint|
t dtdiverge (utilisation de séries).
• La valeur de l’intégrale de Gauss : Z +∞
−∞
e−x2dx=p π.
Illustrations du cours
Exercice 1Définition d’une intégrale convergente ou divergente. En revenant à la définition, étudier la nature des intégrales impropres :
Z +∞
0
cos(t) dt,
Z +∞
0
e−tdt et
Z π/2
0
tan(t) dt
Exercice 2Relations de comparaison. Étudier, suivant les valeurs deα∈R, la nature de l’intégrale :
Z +∞
2
1 tα(lnt)2dt
Exercice 3Intégration par parties. Démontrer la convergence de l’intégrale Z +∞
0
sint t dt
Exercice 4Intégration par parties. Pourn∈N, convergence et calcul de l’intégrale Z +∞
0
tne−tdt
Exercice 5Changement de variable affine. Étudier la nature des intégrale : Z 1
0
ln(1−t) dt,
Z +∞
2
1 (t−1)2dt,
Z 1
0
1 (t−1)2dt Exercice 6Changement de variable. Convergence et calcul de l’intégrale
Z 1
0
sin(lnx) dx
Exercice 7Fonction intégrables.
(a) Démontrer que si f ∈L1(R), alorsg :t7→cos(t)f(t) appartient à L1(R).
(b) Démontrer que si f ∈L2([1,+∞[), alorsh:t7→1
t f(t) appartient à L1([1,+∞[).
Exercice.À faire vous-même pour voir si vous avez compris. Étudier la nature de l’inté- grale :
Z +∞
0
sin(t)−1 pt dt
Vrai/Faux
Dans la suite,αest un paramètre réel.
(1) L’intégrale Z +∞
0
ln(1+t)
t3 , dtconverge.
(2) L’intégrale Z +∞
0
p 1
t(1+t)dtconverge.
(3) L’intégrale Z +∞
1
sin(t)
t dtconverge.
(4) L’intégrale Z +∞
0
sin(t)
t dtconverge.
(5) L’intégrale Z +∞
1
sin(t)
t2 dtconverge.
(6) L’intégrale Z +∞
0
sin(t)
t2 dtconverge.
(7) L’intégrale Z +∞
1
cos(t)
t dtconverge.
(8) L’intégrale Z +∞
0
cos(t)
t dtconverge.
(9) L’intégrale Z +∞
1
cos(t)−1
t2 dtconverge.
(10) L’intégrale Z +∞
0
cos(t)−1
t2 dtconverge.
(11) L’intégrale Z +∞
0
e−αt
1+t2dtconverge si, et seulement si,α>0.
On considère une fonction continue f : ]0, 1]→Rcontinue.
(12) Sif possède une limite finie en 0, alors Z 1
0
f(t) dtconverge.
(13) Sif possède une limite infinie en 0, alors Z 1
0
f(t) dtdiverge.
(14) Sif possède une limite non nulle en 0, alors Z 1
0
f(t) dtdiverge.
(15) Sif possède une limite finie et non nulle en 0, alors Z 1
0
f(t) dtconverge.
(16) Si Z 1
0
f(t) dtconverge, alors f tend vers 0 en 0.
(17) Si Z 1
0
f(t) dtconverge, alors f admet une limite finie en 0.
(18) Si Z 1
0
f(t) dtconverge, alors f ne tend pas vers+∞ou−∞en 0.
(19) Si Z 1
0
f(t) dtdiverge etf admet une limite en 0, alors cette limite est non nulle.
(20) Si Z 1
0
f(t) dtdiverge etf admet une limite en 0, alors cette limite est infinie.
(21) Si1 t = o
t→0(f(t)), alors Z 1
0
¯
¯f(t)¯
¯dtdiverge.
On considère une fonction continue f : [1,+∞[→R.
VI. Opérations sur les fonctions intégrables (22) Sif possède une limite finie en+∞, alors
Z +∞
1
f(t) dtconverge.
(23) Sif possède une limite infinie en+∞, alors Z +∞
1
f(t) dtdiverge.
(24) Sif possède une limite non nulle en+∞, alors Z +∞
1
f(t) dtdiverge.
(25) Si Z +∞
1
f(t) dtconverge, alors f tend vers 0 en+∞.
(26) Si Z +∞
1
f(t) dtconverge, alors f admet une limite finie en+∞. (27) Si
Z +∞
1
f(t) dtconverge, alors f ne tend pas vers+∞ou−∞en+∞.
(28) Si Z +∞
1
f(t) dtdiverge etf admet une limite en+∞, alors cette limite est non nulle.
(29) Si Z +∞
1
f(t) dtdiverge etf admet une limite en+∞, alors cette limite est infinie.
(30) Sif(t) ∼
+∞e−t, alors Z +∞
1
f(t)
tα dtconverge pour toutα∈R. (31) Sif(t)= o
+∞
µ1 t
¶ , alors
Z +∞
1
f(t)
tα dtconverge si, et seulement si,α>0.
On considère deux fonctions continuesf : [a,b[→Retg : [a,b[→R. (32) Sif(t)= o
t→b(g(t)) et Z b
a
¯¯g(t)¯
¯dtconverge, alors Z b
a
f(t) dtconverge.
(33) Si Z b
a
f(t) dtconverge et Z b
a
(f(t)−g(t)) dt converge alors Z b
a
g(t) dtconverge.
(34) Si Z b
a
f(t) dtconverge et Z b
a
¯
¯f(t)−g(t)¯
¯dt converge alors Z b
a
g(t) dtconverge.
(35) Si Z b
a
f(t) dtdiverge et Z b
a
(f(t)−g(t)) dtconverge alors Z b
a
g(t) dt diverge.
(36) Si Z b
a
f(t) dtdiverge et Z b
a
(f(t)−g(t)) dtdiverge alors Z b
a
g(t) dtconverge.
(37) Si Z b
a
¯
¯f(t)¯
¯dtconverge, alors Z b
a
f(t) dt converge.
(38) Si Z b
a
¯
¯f(t)¯
¯dtdiverge, alors Z b
a
f(t) dtdiverge.
(39) Si Z b
a
f(t) dtdiverge, alors Z b
a
¯
¯f(t)¯
¯dtdiverge.
(40) Si Z b
a
f(t) dtconverge, alors Z b
a
¯
¯f(t)¯
¯dt converge.
1F2V3V4 V5 V6 F7V 8F9 V1 0V11F1 2V13F1 4F15V16 F17F 18F19 V20V
21V22F 23V 24V25 F26F 27V28F2 9F30 V3 1F32 V3 3V34V 35V36 F37V38 F39V40 F
