Fonctions continues

Fonctions continues

Exercice 1. Fonction périodique

Soitf :R→Ret T >0. On suppose que f est T-périodique cad : ∀x∈R,f(x+T) =f(x).

1) Sif possède une limite en +∞, montrer quef est constante.

2) Sif est continue non constante, montrer quef a une plus petite période.

3) Sif est continue, montrer quef est bornée et atteint ses bornes.

Exercice 2. Fonction ayant des limites à l’infini

Soitf : [0,+∞[→Rune fonction continue ayant une limite finie en +∞.

1) Montrer quef est bornée.

2) Montrer quef admet un maximum ou un minimum absolu, mais pas nécéssairement les deux.

3) Montrer quef est uniformément continue.

Exercice 3. Permutation de décimales Pour x∈[0,1[, on notex=P∞

k=1

xk

10^k le développement décimal propre dex.

1) Soitf : [0,1[→[0,1[ définie par : f(x) =P∞ k=1

xk+1

10^k . Montrer quef est continue par morceaux.

2) Soitg : [0,1[→ [0,1[ définie par : g(x) =P∞ k=1

x_2k

10^2k−1 +x_2k−1 10^2k

. Déterminer les points oùg est continue.

Exercice 4. f(x+ 1)−f(x)→a

Soitf :R→Rcontinue telle quef(x+ 1)−f(x) −→

x→+∞a∈R. 1) Montrer que f(n)

n −→

n→∞a.

2) Montrer que f(x)

x −→

x→∞a.

Exercice 5. max(f, g)

Soient f, g :R→Rdeux fonctions continues. On pose pour x∈R : h(x) = max(f(x), g(x)). Montrer quehest continue.

Exercice 6. Prolongement d’inégalités

1) Soientf, g:R→Rcontinues telles que : ∀x, y∈Q,f(x)< g(x).

a) Montrer quef 6g.

b) Montrer qu’on n’a pas nécéssairement : ∀x, y∈R,f(x)< g(x).

2) Soit f : R → R continue dont la restriction à Q est strictement croissante. Montrer que f est strictement croissante.

Exercice 7. Étude desup(f([x, x+ 1]))

Soitf :R→Runiformément continue. On poseg(x) = sup(f([x, x+ 1])). Montrer queg est continue.

Même question en supposant seulementf continue.

Exercice 8. Weierstrass

Soient f, g : [a, b] → R continues. On pose h(t) = sup{f(x) +tg(x) tq x∈ [a, b]}. Montrer que h est continue.

Exercice 9. Weierstrass

Soitf : [a, b]→Rcontinue. Montrer que supf([a, b]) = supf(]a, b[).

Exercice 10. Weierstrass

Soient f, g : [a, b] →Rcontinues. On suppose que : ∀x∈[a, b], f(x)> g(x)>0. Montrer qu’il existe k >1 tel quef > kg.

Exercice 11. TVI à l’infini

Soitf : [0,+∞[→Rcontinue ayant une limite`∈Ren +∞. Montrer quef prend toute valeur comprise entref(0) et`(`exclu).

Exercice 12. f(x) =g(x)

1) Soitf : [0,1]→[0,1] continue. Montrer qu’il existex∈[0,1] tel quef(x) =x.

2) Soient f, g : [0,1]→ [0,1] continues telles que f◦g = g◦f. Montrer qu’il existe x∈ [0,1] tel que f(x) =g(x) (on pourra s’intéresser aux points fixes def).

Exercice 13. f continue décroissante ⇒point fixe

Soitf :R→Rcontinue décroissante. Montrer qu’il existe un unique réelxtel que f(x) =x.

Exercice 14. Mines MP 2002

Soitf :R→Rcontinue telle qu’existeavérifiantf◦f(a) =a. f a-t-elle des points fixes ? Généraliser.

Exercice 15. Mines 2016

Un promeneur parcourt 6 km en une heure. Montrer qu’il existe une période de 30 minutes pendant laquelle il a parcouru exactement 3 km.

Exercice 16. Cordes de longueur1/n

Soitf : [0,1]→Rcontinue telle quef(0) =f(1).

1) Montrer qu’il existex∈[0,¹₂] tel quef(x) =f(x+¹₂).

2) Pourn∈N,n>2, montrer qu’il existex∈[0,1−_n¹] tel quef(x) =f(x+_n¹).

3) Trouver une fonctionf telle que : ∀x∈[0,³₅],f(x)6=f(x+²₅).

4) Montrer qu’il existea >0 tel que : ∀b∈]0, a], ∃x∈[0,1−b] tqf(x) =f(x+b).

Exercice 17. f([a, b])⊂g([a, b])

Soient f, g: [a, b]→Rcontinues. On suppose que : ∀x∈[a, b],∃y∈[a, b] tqf(x) =g(y).

Montrer qu’il existex∈[a, b] tel quef(x) =g(x).

Exercice 18. TVI+injective⇒continue

Soitf :R→R. On dit quef vérifie la propriété des valeurs intermédiaires si :

∀a, b∈Raveca < b, ∀y compris entref(a) etf(b), ∃x∈[a, b] tqf(x) =y.

1) Montrer que sif vérifie la propriété des valeurs intermédiaires et est injective, alors elle est continue.

2) Trouver une fonction discontinue ayant la propriété des valeurs intermédiaires.

Exercice 19. f uc⇒f(intervalle borné) =intervalle borné

SoitI un intervalle borné etf :I→Runiformément continue. Montrer quef(I) est un intervalle borné.

Exercice 20. f uc⇒ |f(x)|6a+b|x|

Soitf :R→Runiformément continue. Montrer qu’il existea, b∈Rtels que : ∀x∈R,|f(x)|6a+b|x|

(prendreε= 1 et majorer|f(x)−f(0)|).

Exercice 21. Composition

Soient f : D → R uniformément continue bornée et g : R → R continue. Montrer que g ◦f est uniformément continue.

Exercice 22. sin(t²)

Montrer quet7→sin(t²) n’est pas uniformément continue surR. Exercice 23. f uc et f(n)→+∞

Soitf :R→Runiformément continue telle que f(n) −→

n→∞+∞. Montrer quef(x) −→

x→∞+∞.

Exercice 24. f(x+y) =f(x) +f(y)

Soitf :R→Rtelle que : ∀x, y∈R,f(x+y) =f(x) +f(y). On posea=f(1).

1) Montrer que : ∀x∈Q,f(x) =ax.

2) On supposef continue. Montrer que : ∀x∈R,f(x) =ax.

3) On suppose quef est bornée au voisinage de 0. Montrer que : ∀x∈R, f(x) =ax.

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Exercice 25. f(x²) =f(x)

Trouver toutes les fonctions f : [0,1]→Rcontinues telles que : ∀x∈[0,1],f(x²) =f(x).

Exercice 26. f(x+y)f(x−y) =f²(x)f²(y)

Trouver toutes les fonctionsf :R→Rcontinues telles que : ∀x, y ∈R,f(x+y)f(x−y) =f²(x)f²(y).

Exercice 27. Polytechnique MP^∗ 2000

Soitf continue sur [a, b], à valeurs dansR, etδun réel positif.

On note ω(δ) = sup{|f(x)−f(y)|tq|x−y| 6δ}. Montrer queω(δ) tend vers 0 quand δ tend vers 0, puis que ω est continue.

Exercice 28. Ensae MP^∗ 2003

Soient f, g : [0,1] → [0,1] continues telles que f ◦g = g◦f. Montrer qu’il existe x ∈ [0,1] tel que f(x) =g(x).

Exercice 29. Plus grande fonction lipschitzienne minorantf (Ens Lyon MP^∗ 2003)

1) Existe-t-il toujours ϕ lipschitzienne telle que ϕ 6 f où f : Rⁿ → R est une application continue donnée ?

2) Soitk >0. Trouver une CNS surf pour qu’il existeϕ:Rⁿ →Rk-lipschitzienne minorantf. 3) On suppose cette CNS vérifiée pourk₀>0. Montrer que sik>k₀ alors il existeϕ_k,k-lipschitzienne

minorantf et maximale pour l’ordre usuel des fonctions.

Exercice 30. Suite(f(nx))ENS Cachan MP^∗2004

Soit f : R→ Rune fonction uniformément continue telle que pour tout x >0 la suite (f(nx))_n∈N est convergente. Que peut-on dire def ?

Exercice 31. Contraction, ENS MP 2012

Soitf une application de [−1,1] dansR, de classeC¹ telle quef(0) = 0 et 0< λ=f⁰(0)<1. Montrer qu’il existeϕhoméomorphisme local tel queϕ◦f◦ϕ⁻¹=λid.

solutions

Exercice 12.

1) f(x)−xchange de signe entre 0 et 1.

2) Sinonf −g est de signe constant, par exemple positif. Si a est le plus grand point fixe def alors g(a)> aetg(a) est aussi point fixe def, absurde.

Exercice 14.

En posantb=f(a) on a (f(a)−a) + (f(b)−b) = 0 doncx7→f(x)−xs’annule entreaetb. De même, s’il existek∈N^∗ eta∈Rtels quef^k(a) =aalors (f(a)−a) + (f²(a)−f(a)) +. . .+ (f^k(a)−f^k−1(a)) = 0 doncf(x)−xs’annule entre min(a, f(a), . . . , f^k−1(a)) et max(a, f(a), . . . , f^k−1(a)).

Exercice 15.

Thm des valeurs intermédiaires pourx7→f(x+ 30)−f(x)−3 =g(x) oùxest le temps en minutes etf(x) la distance en km parcourue depuis le départ (supposée varier continuement avecx) : g(0) +g(30) = 0.

Exercice 18.

1) Soita∈Rtel quef est discontinue ena. Il existe une suitea_n telle quea_n→aet|f(a_n)−f(a)|>ε.

Alorsf(a)±εa une infinité d’antécédents.

Exercice 26.

Si f n’est pas identiquement nulle, alors f(0) =±1 et f est paire, de signe constant. Par récurrence,

∀p∈N,f(px) =±f^p2(x) et par densité,f(x) =±λ^x2. Exercice 27.

ω(δ) −→

δ→0⁺0⇔f est uniformément continue.

Continuité enδ >0 : on remarque queω est croissante doncω(δ⁻) etω(δ⁺) existent et encadrentω(δ).

Si δ_n −→

n→∞δ⁺, soientx_n, y_n tels que ω(δ_n) =|f(x_n)−f(y_n)| et |x_n−y_n| 6δ_n. On extrait de (x_n, y_n) une suite convergente vers (x, y) avec |x−y| 6 δ et |f(x)−f(y)| = ω(δ⁺) d’où ω(δ⁺) 6 ω(δ) puis ω(δ⁺) =ω(δ).

On a aussiω(δ) = sup{|f(x)−f(y)|tq|x−y|< δ}6ω(δ⁻) d’oùω(δ⁻) =ω(δ).

Exercice 28.

f admet des points fixes car l’applicationx7→f(x)−xchange de signe entre 0 et 1. SiE est l’ensemble des points fixes de f alorsE est stable parg doncf−g a des signes opposés en min(E) et max(E).

Exercice 29.

1) Non. Siϕ est lipschitzienne alors ϕ(x) =O(kxk) lorsquekxk tend vers l’infini, donc toute fonction f à décroissance suffisament rapide vers −∞ n’est pas minorable par une fonction lipschitzienne.

Contre-exemple explicite : f(x) =−kxk². 2) CNS :x7→f(x) +kkxk est minorée.

3) On poseϕ(x) = sup{g(x),g k-lipschitzienne minorantf}. Il suffit de vérifier queϕestk-lipschitzienne, ce sera alors la plus grande fonctionk-lipschitzienne minorantf. Soientx, y∈Rⁿ,ε >0 etg_x, g_y des fonctionsk-lipschitziennes minorantf telles queg_y(x)6ϕ(x)6g_x(x) +εetg_x(y)6ϕ(y)6g_y(y) +ε.

On a :

ϕ(y)6g_y(y) +ε6g_y(x) +kkx−yk+ε6ϕ(x) +kkx−yk+ε, ϕ(y)>gx(y)>gx(x)−kkx−yk>ϕ(x)−kkx−yk −ε.

Donc|ϕ(x)−ϕ(y)|6kkx−yk+εet on fait tendreεvers 0⁺. Exercice 30.

Soit pour x > 0, `(x) = lim<sub>n→+∞</sub>f(nx). On a `(kx) = `(x) pour tout k ∈ N^∗ d’où aussi pour toutk∈Q^+∗. Montrons alors quef(x) −→

x→+∞`(1) : soitε >0 etδassocié dans la définition de l’uniforme continuité def. On choisit un rationnelα∈]0, δ[ et un entierN tel que|f(nα)−`(1)|=|f(nα)−`(α)|6ε pour toutn>N. Alors |f(x)−`(1)|62εpour toutx>N α.

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Exercice 31.

« homéomorphisme local » signifie « bijection continue d’un voisinage de 0 sur un voisinage de 0 à réciproque continue ». Disons plutôt : ϕest continue strictement monotone de [−α, α] sur [−β, γ] avec α, β, γ >0 et∀x∈]−α, α[,ϕ(f(x)) =λϕ(x).

Par continuité def⁰, il existeµ, ν etα >0 tels que∀x∈]−α, α[, 0< µ6f⁰(x)6ν <1 En particulier f induit une bijection strictement croissante de [−α, α] sur [f(−α), f(α)] et l’on a 0 < f(x) < x pour tout x∈]0, α] et les inégalités inverses pour toutx∈[−α,0[.

Construisons ϕsur ]0, α] par raccordements de la manière suivante : on choisit ϕsur [f(α), α] continue strictement croissante à valeurs strictement positives avec ϕ(f(α)) = λϕ(α). Puis on prolonge ϕ sur [f²(α), f(α)[ en posantϕ(t) =λϕ(f⁻¹(t)) pour toutt∈[f²(α), f(α)[. Il y a raccordement par continuité enf(α) et la fonction prolongée est continue strictement croissante sur [f²(α), α]. On prolonge alorsϕsur [f³(α), f²(α)[ par la même formule : ϕ(t) =λϕ(f⁻¹(t)), et ainsi de suite. Par hypothèse surf, la suite (f^k(α)) est strictement décroissante de limite nulle doncϕest à présent définie, continue et strictement croissante sur ]0, α].

Par construction, ϕ(f^k(α)) = λ^kϕ(α)−→0 lorsque k → ∞ donc avec la croissance de ϕ, on obtient ϕ(x)−→0 lorsquex→0⁺. En posantϕ(0) = 0 on a à présentϕcontinue strictement croissante sur [0, α].

Il ne reste plus qu’à recommencer la construction sur [−α,0[ puis à souhaiter une bonne continuation à l’examinateur.