Lorsque f ∈ C n ( R ) est telle que f et f (n) soient bornées alors, pour tous les k entre 1 et n − 1 , la fonction f (k) est bornée.

Énoncé

L'objet de ce problème

¹

est de montrer le résultat suivant.

Lorsque f ∈ C ⁿ ( R ) est telle que f et f ⁽ⁿ⁾ soient bornées alors, pour tous les k entre 1 et n − 1 , la fonction f ^(k) est bornée.

Pour cela, on introduit des matrices et on utilisera un résultat relatif à ces matrices.

Soit m un entier non nul, on dénit une matrice carrée V _m ∈ M _m ( R ) et une matrice ligne L _m ∈ M _1,m ( R ) par :

V _m =











1 1 ² · · · 1 ^m 2 2 ² · · · 2 ^m ... ... ... ...

m m ² · · · m ^m











L m =

(−1) ^m−1 m

1

· · · (−1) ^m−k m

k

· · · (−1) ⁰ m

m

On se propose de montrer de deux manières diérentes que : L m V m =

0 0 · · · 0 m!

Partie I

Soit E le R-espace vectoriel des polynômes à coecients réels de degré inférieur ou égal à m (y compris le polynôme nul) et divisibles par X .

1. Montrer que, pour tout i entre 1 et m , il existe un unique polynôme Λ _i ∈ E tel que :

∀j ∈ {1, · · · , m} : f Λ i (j) = δ i,j

2. Préciser, pour i entre 1 et m , le coecient dominant de L _i .

3. Montrer que L = (Λ 1 , · · · , Λ m ) est une base de E . Soit P ∈ E , préciser la matrice Mat L P des coordonnées. Que peut-on en déduire pour V m ?

4. Montrer que l'application ϕ

ϕ :

( E → R P → P ] ^(m) (0) est une forme linéaire. Préciser Mat _L (ϕ) .

1

d'après Centrale-Supélec 2001 PC Maths 1

5. Montrer sans calcul que V m est inversible. Quel renseignement la question 2. nous donne-t-elle sur V _m ⁻¹ ?

6. Démontrer la formule annoncée : L m V m =

0 0 · · · 0 m!

Partie II

Dans cette partie m est un entier naturel non nul. Par développement limité à l'ordre m en 0 on entend un développement limité dont le reste est o(x ^m ) .

1. Soit k ∈ {1, · · · , m} . Former le développement limité à l'ordre m en 0 de

x → e ^kx 2. Former le développement limité à l'ordre m en 0 de

x → (e ^x − 1) ^m

3. Soit j un entier entre 1 et m . Écrire le terme 1, j du produit matriciel L _m V _m . 4. Démontrer la formule annoncée :

L m V m =

0 0 · · · 0 m!

Partie III

1. Soit f ∈ C ² ( R ) telle que |f | est bornée par un réel M 0 et |f ⁽²⁾ | bornée par un réel M 2 . a. Soit x un réel quelconque et h un réel strictement positif quelconque. Écrire les formules de Taylor avec reste de Lagrange à l'ordre deux entre x et x + h puis entre x et x − h .

b. En déduire :

∀x ∈ R , ∀h > 0 : |f ⁰ (x)| ≤ M 0

h + M 2

2 h c. En déduire que |f ⁰ | est bornée par

p 2M 0 M 2

2. Soit f ∈ C ³ ( R ) telle que |f | est bornée par un réel M ₀ et |f ⁽³⁾ | bornée par un réel M ₃ .

a. Soit x un réel quelconque et h un réel strictement positif quelconque. Écrire les formules de Taylor avec reste de Lagrange à l'ordre trois entre x et x + h puis entre x et x − h .

b. En déduire que |f ⁰ | est bornée par 1

2 9M ₀ ² M 3

¹₃

c. La fonction |f ⁰⁰ | est-elle bornée ?

Partie IV

Soit f ∈ C ⁿ ( R ) , on suppose |f | bornée par M 0 et |f ⁽ⁿ⁾ | bornée par M n . On dénit aussi K h par :

K h = 2M 0 + ((n − 1)h) ⁿ n! M n

Soit x un réel quelconque et h un réel strictement positif quelconque. On dénit des réels y 1 , y 2 , · · · , y n−1 par :









 y ₁ y ₂ ...

y _n−1











= V _n−1























 h 1! f ⁰ (x) h ²

2! f ⁰⁰ (x) ...

h ⁿ⁻¹

(n − 1)! f ⁽ⁿ⁻¹⁾ (x)

























1. Montrer que,

∀i ∈ {1, · · · n − 1} : |y i | ≤ K h

2. Montrer que

n−1

X

i=1

(−1) ⁿ⁻¹⁻ⁱ n − 1

i

y _i = h ⁿ⁻¹ f ⁽ⁿ⁻¹⁾ (x) 3. Montrer que |f ⁽ⁿ⁻¹⁾ | est bornée par

2 h

n−1

K _h

4. En déduire que pour tout entier k entre 1 et n − 1 la fonction |f ^(k) | est bornée.

Corrigé Partie I

1. Pour i entre 1 et m , considérons le polynôme

Λ i = X i

Y

j∈{1,···,m}−{i}

X − j i − j

C'est un polynôme de degré m qui satisfait aux contraintes imposées par l'énoncé.

C'est le seul polynôme de degré m satisfaisant à ces contraintes car si U _i en est un autre, le polynôme U _i − Λ _i est de degré au plus m avec m + 1 racines donc U _i − Λ _i est nul.

2. D'après la question précédente, le coecient dominant de Λ i est : 1

i

1

(i − 1) · · · (1)(−1) · · · (i − m) = (−1) ^m−i i!(m − i)!

3. Un polynôme P est divisible par X si et seulement si P(0) = 0 e . L'espace E est donc un hyperplan de R n [X] noyau de la forme linéaire P → P(0) = 0 e . Comme R n [X ] est de dimension m + 1 , on en déduit

dim E = m

Pour montrer que (Λ ₁ , · · · , Λ _m ) est une base, il sut donc de montrer cette famille est libre. Si λ ₁ , · · · , λ _m sont tels que

λ 1 Λ 1 + · · · + λ m Λ m = 0

on peut substituer un j quelconque entre 1 et m à X . On obtient alors λ j = 0 ce qui prouve que la famille est libre.

On obtient les coordonnées d'un polynôme P de E dans cette base par une substitution analogue :

Mat _L P =





 P e (1)

...

P e (m)







4. La dérivation et la substitution de 0 à X sont des opérations linéaires, l'application

ϕ proposée par l'énoncé est donc bien une forme linéaire. Par dénition, la matrice

d'une forme linéaire dans une base est constituée par la ligne des valeurs de la forme aux vecteurs de base. Cela donne ici :

Mat _L ϕ = Mat _L(1) ϕ = h

Λ ] ^(m) ₁ (0) · · · Λ ] ^(m) m (0) i

Comme les polynômes considérés sont tous de degré m , seuls les coecients dominants subsistent. Le terme 1, i de Mat _L ϕ est donc

(−1) ^m−i m!

i!(m − i)! = (−1) ^m−i m

i

On en déduit :

Mat _L ϕ = L m

5. Comme les coordonnées d'un polynôme P ∈ E dans L sont formées par les valeurs du polynôme en 1, · · · , m , la matrice V m s'interprète comme la matrice dans L de la famille

X = (X, X ² , · · · , X ^m )

Il est clair que cette famille est une base de E . La matrice V m est donc une matrice de passage entre deux bases.

V _m = P _LX = Mat _{X L} id _E

Sa matrice inverse est la matrice des polynômes de L dans X . D'après la question 2., on connait le coecient dominant d'un L _i . Un tel coecient est la dernière coordonnée de l'expression de L _i dans la base X . On peut en déduire la dernière ligne de la matrice V _m ⁻¹ .

6. On peut écrire le produit matriciel L _m V _m comme la matrice d'une forme linéaire : L m V m = Mat _L(1) ϕ Mat _{X L} id E = Mat _(1)X ϕ =

0 · · · 0 m!

car tous les ϕ(X ⁱ ) sont nuls sauf ϕ(X ^m ) qui vaut m! .

Partie II

1. Le développement limité en 0 de la fonction exponentielle est usuel, on en déduit : e ^kx = 1 + k

1! x + · · · + k ⁱ

i! x ⁱ + · · · + k ^m

m! x ^m + o(x ^m )

2. En 0 , on a e ^x − 1 ∼ x . On en déduit sans calcul le développement à l'ordre n : (e ^x − 1) ^m = x ^m + o(x ^m )

3. Par dénition du produit matriciel : terme 1, j de L m V m =

m

X

k=1

terme 1, k de L m × terme k, j de V m =

m

X

k=1

(−1) ^m−k m

k

k ^j

4. Développons (e ^x − 1) ^m avec la formule du binôme : (e ^x − 1) ^m =

m

X

k=1

(−1) ^m−k m

k

e ^kx

On en déduit que le terme 1, j de L m V m est égal (à multiplication près par i! ) au coef- cient de x ⁱ dans le développement limité de (e ^x − 1) ^m . On connait ce développement.

On en déduit que tous ces termes sont nuls sauf le dernier.

L m V m =

0 0 · · · 0 m!

Partie III

1. a. Écrivons les deux formules de Taylor demandées : il existe un réel y h entre x et x + h et un réel z h entre x et x − h tels que

f (x + h) = f (x) + hf ⁰ (x) + h ² f f ⁰⁰ (y h ) f (x − h) = f (x) − hf ⁰ (x) + h ²

f f ⁰⁰ (z _h )

b. En formant la diérence entre les deux relations précédentes, on élimine les f (x) et on exprime f ⁰ (x) :

f ⁰ (x) =

f (x + h) − f (x − h) − h ²

2 (f ⁰⁰ (y h ) − f ⁰⁰ (z h )) 2h

On majore en valeur absolue en utilisant

|f (x + h)| ≤ M ₀ , |f(x − h)| ≤ M ₀ , |f ⁰⁰ (y _h )| ≤ M ₂ , |f ⁰⁰ (z _h )| ≤ M ₂ On en déduit

|f ⁰ (x)| ≤ 2M 0 + h ² M 2

2h = M 0

h + M 2

2 h

c. L'inégalité précédente montre que |f ⁰ | est majorée par M 0

h + M 2

2 h pour n'importe quel h > 0 . En étudiant la fonction

h → M 0

h + M 2

2 h

cherchons la valeur de h permettant d'obtenir le plus petit majorant. La dérivée de cette fonction est

− M 0

h ² + M 2

2

Elle s'annule en r

2M ₀ M 2

qui est le minimum absolu. La valeur de la fonction associée est : M 0

r M 2

2M 0

+ M 2

2

r 2M 0

M 2

= p 2M 0 M 2

2. a. Écrivons les deux formules de Taylor à l'ordre trois. On garde les mêmes nota- tions : il existe un réel y h entre x et x + h et un réel z h entre x et x − h tels que

f (x + h) = f (x) + hf ⁰ (x) + h ²

f f ⁰⁰ (x) + h ³

3! f ⁽³⁾ (y h ) f (x − h) = f (x) − hf ⁰ (x) + h ²

f f ⁰⁰ (x) − h ³

3! f ⁽³⁾ (z _h )

b. En formant la diérence entre les deux relations précédentes, on élimine les f (x) et les f ⁰⁰ (x) et on exprime f ⁰ (x) :

f ⁰ (x) =

f (x + h) − f (x − h) − h ³

3! (f ⁽³⁾ (y _h ) − f ⁽³⁾ (z _h )) 2h

On majore comme plus en valeur absolue :

|f ⁰ (x)| ≤ M 0

h + M 3

6 h ²

On étudie encore la fonction de h qui gure au second membre. Sa dérivée est

− M ₀ h ² + M ₃

3 h Elle s'annule en

3M 0

M ₃

¹₃

qui est le minimum absolu. La valeur de la fonction en ce point est 3 ⁻

¹³

M ₀

²³

M ₃

¹³

+ 1

2 3 ⁻

¹³

M ₀

²³

M ₃

¹³

= 1

2 3

²³

M ₀

²³

M ₃

¹³

= 1

2 9M ₀ ² M ₃

¹₃

c. En appliquant les résultats de la première question à f ⁰ qui est bornée ainsi que sa dérivée seconde on obtient que la dérivée de f ⁰ c'est à dire f ” est bornée.

Partie IV

1. Pour i entre 1 et n − 1 , le produit matriciel dénissant y i conduit à

y i = ih

1! f ⁰ (x) + (ih) ²

2! f ⁰ (x) + · · · + (ih) ⁿ⁻¹ (n − 1)! f ⁰ (x)

On peut l'interpréter à l'aide d'une formule de Taylor avec reste de Lagrange à l'ordre n entre x et x + ih . Il existe z i entre x et x + ih tel que

y i = f(x + ih) − f (x) − (ih) ⁿ

n! f ⁽ⁿ⁾ (z i ) On en déduit

|y i | ≤ 2M 0 + (ih) ⁿ

n! M n ≤ 2M 0 + ((n − 1)h) ⁿ

n! M n = K h

2. On multiplie à gauche par L _n−1 la relation matricielle dénissant les y _i et on exploite le résultat prouvé dans les parties I et II. avec m = n − 1

L _n−1 V _n−1 =

0 · · · 0 (n − 1)!

On obtient

L n−1





 y 1

...

y _n−1





 =

0 · · · 0 (n − 1)!























 h 1! f ⁰ (x) h ²

2! f ⁰⁰ (x) ...

h ⁿ⁻¹

(n − 1)! f ⁽ⁿ⁻¹⁾ (x)

























qui donne exactement la relation demandée

n−1

X

i=1

(−1) ⁿ⁻¹⁻ⁱ n − 1

i

y i = h ⁿ⁻¹ f ⁽ⁿ⁻¹⁾ (x)

3. On majore en valeur absolue la relation de la question précédente en introduisant une formule du binôme pour 2 ⁿ⁻¹ :

h ⁿ⁻¹ |f ⁽ⁿ⁻¹⁾ (x)| ≤

n−1

X

i=1

n − 1 i

!

K _h ≤ 2 ⁿ⁻¹ K _h

On en déduit la majoration demandée

4. La question précédente a montré que si une fonction ainsi que sa dérivée d'ordre m sont

bornées sur R alors la dérivée d'ordre m−1 est également bornée. On peut réutiliser ce

résultat à l'ordre m − 1 et obtenir que la dérivée d'ordre m − 2 est bornée. On montre

ainsi que les dérivées à tous les ordres sont bornées.