Études de fonctions définies par des intégrales

http://alexandre.boisseau.free.fr/Prive/WWW/MathsPCet/td_intparam.pdf

TD 16 : Intégrales dépendant d’un paramètre

Études de fonctions définies par des intégrales

f :x7→

Z _+∞

0 e^−tarctan(xt)dt est définie et continue surR_.

Exercice 2.^SoitF:x7→

Z _+∞

1

e^−xt pt²−1dt. (a) Montrer quef est définie surR^+∗_. (b) Montrer quef est de classe C¹surR^+∗_. (c) Déterminer la limite de f en+∞.

Exercice 3(Oral Polytechnique,PC,2009). ^{Soitf :x}∈R^+∗_7→^{Z +∞}

1

dt t^x(1+t). (1) Montrer quef est bien définie. Étudier la monotonie def.

(2) Calculer, pourx∈R^+∗_{,f(x+1)+f(x).}

(3) Donner des équivalents def en 0⁺et en+∞.

Exercice 4(Transformée de Fourier, question classique aux écrits). ^{Soit f :}R_→Cune fonction continue. On suppose que :

∀n∈N_{, t}ⁿ_{f(t)−−−−→}

t→±∞ 0 On définitfb(x)=

Z _+∞

−∞ f(t)e^−ixtdtpour toutx∈Rpour lequel l’intégrale est convergente.

(a) Démontrer quefbest définie et continue surR_.

(b) Démontrer quefbest de classe C¹surRet déterminer une expressions de (fb)⁰. Réponse. NotonsF: (x,t)7→f(t)e^−ixt.

(a) Par hypothèse,f est continue surR_{et :}

¯¯f(t)¯¯= o

t→±∞

µ1 t²

¶

L’intégrale de référenceR_+∞

1 t⁻²dtconverge donc par parité l’intégraleR₋1

−∞t⁻²,dtconverge.

Par comparaison de fonctions positives,R₋₁

−∞|f(t)|dtetR_+∞

1 |f(t)|dt convergent doncf est intégrable surR. On applique le théorème de continuité pour les intégrales dépendant d’un paramètre. Pour tout t∈R, la fonctionx7→F(x,t) est continue surR. Pour toutx∈R_{, la} fonctiont7→F(x,t) est continue par morceaux surR_{et :}

∀t∈R_{,|F(x,t)| ɯ¯f(t)¯¯}

(c’est même une égalité). La fonction|f|étant intégrable surR, ceci assure que pour toutx∈R_, la fonctiont7→F(x,t) est intégrable surRet la majoration ci-dessus permet d’appliquer le théorème de continuité pour les intégrales à paramètres : la fonction fbest définie et continue surR_.

(b) On note pour la suiteg:t7→t f(t). Par hypothèse,gest continue surR_{et :}

¯¯g(t)¯¯= o

t→±∞

µ1 t²

¶

donc par comparaison de fonctions positives,gest intégrable surR. On applique le théorème de classe C¹pour les intégrales dépendant d’un paramètre. Pour toutx∈R, la fonctiont7→

F(x,t) est continue par morceaux surRet pour toutt∈R, la fonctionx7→F(x,t) est de classe C¹surR_{avec :}

∀x,t∈R_, ^∂F

∂x(x,t)=(−it)f(t)e^−ixt= −ig(t)e^−ixt En particulier :

∀x,t∈R_,^¯¯_¯¯^∂F

∂x(x,t)¯¯

¯¯É¯¯g(t)¯¯

(c’est même une égalité). La fonction|g|est intégrable surRdonc, pour toutx∈R, la fonction t7→∂F/∂x(x,t) est continue par morceaux surRet intégrable surR. La majoration ci-dessus permet d’appliquer le théorème de classe C¹pour les intégrales à paramètres : la fonctionfbest définie et de classe C¹surR_{et :}

∀x∈R_{, (fb)}⁰_(x)=^{Z +∞}

−∞ −ig(t)e^−ixtdt= −igb(x) On a donc la relation (fb)⁰= −igb.

Application aux calculs d’intégrales

Z 1 0

t−1 lnt t^xdx.

(a) Montrer queF(x) est définie pourx> −1.

(b) Montrer queFest de classe C¹sur ]−1,+∞[.

(c) Déterminer l’expression deF(x) pourx> −1.

Réponse. Pour simplifier, on va directement démontrer queFest définie et de classe C¹sur ]−1,+∞[.

On considère la fonction

f : (x,t)7→t−1

lnt t^x=t−1 lnt e^xlnt

• Pour toutx> −1, la fonctiont7→f(x,t) est continue et positive sur ]0,1[. De plus, on a les comparaisons :

f(x,t)=t−1 lnt t^x_t∼

→1t^x_t∼

→11 f(x,t)=t−1

lnt t^x_t∼

→0

−1 t^−xlnt = o

t→0

µ 1 t^−x

¶

La fonctiont7→f(x,t) est ainsi prolongeable par continuité en 1, doncR₁

1/2f(x,t)dtconverge.

L’intégrale de Riemann

Z 1/2 0

1 t^−xdx

converge puisque−x<1 c’est à direx> −1. Ainsi, par comparaison de fonctions positives, R_1/2

0 u(t)dtconverge. On en déduit que l’intégraleR₁

0 f(x,t)dtconverge et commet7→f(x,t) est positive sur ]0,1[, cette fonction est intégrable sur ]0,1[. En particulier, la fonctionF est définie au moins sur ]−1,+∞[.

• Pour toutt∈]0,1[, la fonctionx7→f(x,t) est de classe C¹sur ]−1,+∞[ et :

∀x> −1, ∂f

∂x(x,t)=(t−1)exp(xlnt)=(t−1)t^x et ainsi, pour toutx> −1, la fonctiont7→∂f

∂x(x,t) est continue sur ]0,1[.

• Soita> −1. Pourx∈[a,+∞[ et pourt∈]0,1[, on axÊaet lntÉ0 doncxlntÉalntet ainsi t^x=e^xlntÉe^alnt=t^a. Par conséquent :

∀x∈[a,+∞[,∀t∈]0,1[,¯¯

¯¯∂f

∂x(x,t)¯¯

¯¯=(1−t)t^xÉ(t−1)t^aÉt^a= 1 t^−a

La fonction majorantet7→t^aest continue, positive et intégrable sur ]0,1] puisque l’intégrale de RiemannR1

0 t^adtconverge (car−a<1).

D’après le théorème de classe C¹, la fonctionFest définie et de classe C¹sur [a,+∞[. Ceci étant vrai quel que soita> −1, la fonctionFest définie et de classe C¹sur ]−1,+∞[. De plus, on a :

∀x> −1,F⁰(x)= Z 1

0 (t−1)t^xdt= 1 x+2− 1

x+1 On en déduit qu’il existeC∈R_{tel que :}

∀x> −1,F(x)=lnx+2 x+1+C

Pour déterminer la valeur deC, on va utiliser la limite deFen+∞. Pourt∈]0,1[, on a l’inégralité classique lntÉt−1<0. En divisant par lnt<0, on obtient :

t−1 lnt É1 et ainsi pourx> −1 :

∀t∈]0,1[, 0Ét−1 lnt t^xÉt^x Par croissance de l’intégrale :

0É Z ₁

0

t−1 lnt t^xdtÉ

Z ₁

0 t^xdt (les intégrales sont bien convergentes) c’est à dire :

0ÉF(x)É 1 x+1 Par encadrement,F(x)−−−−−→_x→+∞ 0, doncC=0.

Exercice 6Intégrale de Dirichlet. On considère la fonctionϕ:x7→

Z π

0 e^−xsintcos(xcost)dt. (1) Montrer queϕ∈C¹([0,+∞[,R_).

(2) Montrer que, pourx>0,ϕ⁰(x)= −2x⁻¹sin(x).Indication :déterminer la dérivée de e^ixeitpar rapport àt.

(3) Déterminer les limites deϕen 0 et en+∞. (4) Justifier la convergence de l’intégrale

Z _+∞

0

sinx

x dxet calculer sa valeur.

Exercice 7(Oral Mines Télécom, PC, 2017). Soitf(α)= Z _+∞

0 cos(αx)exp(−x²)dx.

(1) Montrer quef est C¹surR_. (2) Calculerf sachantf(0)=

pπ 2 .

Exercice 8Intégrale de Gauss (Oral Mines-Ponts, PC, 2019). f(x)=

Z ₁

0

e^−x2(1+t2)

1+t² dt et g(x)= Z _x

0 e^−t2dt (1) Montrer quef etgsont de classe C¹surR_.

(2) Calculerf+g². (3) Trouver la valeur de

Z _+∞

0 e^−t2dt.

Limites et équivalents d’intégrales

(1) Montrer quefn(t)= sin(nt)

1+nt+t² est intégrable surR+. (2) Déterminer lim

n→+∞

Z _+∞

0 f_n(t)dt.

Exercice 10(Oral CCP,PSI,2009). Calculer la limite deI_n= Z _+∞

1 e^−xndx.

Réponse. Considérons pourn∈N^∗la fonctionf_ndéfinie par : f_n:x7→e^−xn Chaque fonctionfnest continue sur [1,+∞[. De plus :

f_n(1)=e⁻¹

∀x>1, f_n(x)=e^−xn−−−−−→_n→+∞ 0

La suite de fonctions (fn) converge donc simplement sur [1,+∞[ vers la fonctionf définie par : f : [1,+∞[ → R

1 7→ e⁻¹

x> 7→ 0

La fonctionf est bien continue par morceaux sur [1,+∞[. De plus :

∀n∈N^∗_{,∀x∈[1,+∞[,¯¯fn(x)¯¯=e}^−xn_Ée^−x

(puisquexⁿÊx). La fonctionx7→e^−xest continue, positive et intégrable sur [1,+∞[. Ceci justifie que chaque fonctionf_nest intégrable sur [1,+∞[, donc chaque intégraleI_nest bien définie et de plus, avec le théorème de convergence dominée :

I_n−−−−−→_n→+∞

Z _+∞

1 f(t)dt=0 Exercice 11(Oral CCP, PC, 2017, Exercice secondaire).

(1) Vérifier que l’intégrale Z _+∞

0

sin(nx)

xn+xpxdxest bien définie.

(2) Déterminer, si elle existe, la limite de cette intégrale quandntend vers+∞.

Exercice 12(Oral CCP, PC, 2019). Soitf(x)= Z 1

0 t^xe^2tdt. (1) Donner le domaine de définition def.

(2) Soitx> −1, montrer que 0Éf(x)É e²

x+1. En déduire la limite def en+∞. (3) Par une minoration def, montrer que lim

x→−1⁺f(x)= +∞. (4) Donner un équivalent def en+∞.

(5) Déduire de cet équivalent des réelsαetβtels quef(x)=α x + β

x²+ o

x→+∞

µ1 x²

¶ . Réponse.

(1) Pour toutx∈R, la fonctiont7→t^xe^2test continue sur ]0,1] et : t^xe^2t_t∼

→0t^x= 1 t^−x

L’intégrale de référenceR1

0t^xdtconverge si, et seulement si,−x<1i.e. x> −1. Par comparaison de fonctions positives, la fonctionf est définie sur ]−1,+∞[.

(2) Pourx> −1, on a :

∀t∈]0,1], 0Ét^xe^2tÉt^xe² L’intégraleR1

0t^xdtconverge carx> −1. Par croissance de l’intégrale, on a alors : 0Éf(x)É

Z 1

0 t^xe²dt= e² x+1 On a e²

x+1−−−−−→_x→+∞ 0 donc par encadrement,f(x)−−−−−→_x→+∞ 0.

(3) De même, pourx> −1 on a :

∀t∈]0,1],t^xe^2tÊt^x donc par croissance de l’intégrale :

f(x)Ê Z 1

0 t^xdt= 1

x+1−−−−−→_x

→−1⁺ +∞

donc par minoration,f(x)−−−−−→_x

→−1⁺ +∞. (4) Soitx> −1. On considère les fonctions

u⁰(t)=t^x v(t)=e^2t

u(t)= t^x+1

x+1 v⁰(t)=2e^2t

Les fonctionsuetvsont de classe C¹sur ]0,1] et :

u(1)v(1)= e² x+1 u(t)v(t)= t^x+1

x+1e^2t−−−→

t→0 0 limite finie

(cart^x+1−−−→

t→0 0 puisquex+1>0). Par intégration par parties dans l’intégrale convergentef(t), on a alors :

f(x)=

· 1

x+1t^x+1e^2t

¸1 0−

Z ₁

0

1

x+1t^x+12e^2tdt

= e² x+1− 2

x+1f(x+1)

= e² x+1− 2

x+1 o

x→+∞(1) puisquef(x)−−−−−→_x→+∞ 0

x→+∞∼ e² x+1

x→+∞∼ e²

x (5) On a donc :

f(x)=e² x + o

x→+∞

µ1 x

¶

et ainsi :

f(x+1)= e² x+1+ o

x→+∞

µ 1 x+1

¶

= e² x+1+ o

x→+∞

µ1 x

¶

On reporte dans l’expression de f(x) obtenue par intégration par parties : f(x)= e²

x+1− 2

x+1f(x+1)

= e² x+1− 2

x+1 µ e²

x+1+ o

x→+∞

µ1 x²

¶¶

=e² x · 1

1+¹_x −2e² x² · 1

¡1+¹_x¢2+ o

x→+∞

µ1 x²

¶

=e² x −e²

x²−2e² x² + o

x→+∞

µ 1 x²

¶

=e² x −3e²

x² + o

x→+∞

µ 1 x²

¶

Exercice 13(Oral Mines-Ponts, PC, 2012). Justifier la définition de I_n=

Z _+∞

0

e^−nxcosx px dx pourn∈N^∗. Déterminer un équivalent deI_n.

Intégrales et séries

Z 2π

0 e^2cosxdx=2π^+∞X

n=0

1 (n!)².

Exercice 15. Établir Z _+∞

0

t²

e^t−1dt=2^+∞X

n=1

1 n³.

Réponse. La série est une série de Riemann convergente. La fonctionf :t7→t²(e^t−1)⁻¹est continue et positive sur ]0,+∞[ et :

f(t)= t² e^t−1 ∼

t→0

t²

t =t−−−→

t→0 0 doncf est prolongeable par continuité en 0 etR₁

0 f(t)dtconverge. Par croissances comparées : f(t)= o

t→+∞

µ1 t²

¶

etR_+∞

1 t⁻²dtest une intégrale de Riemann convergente donc par comparaison de fonctions positives R_+∞

1 f(t)dtconverge. On en déduit que f est intégrable sur ]0,+∞[. Pourt>0, on a 0Ée⁻¹<1 donc avec une série géométrique :

f(t)= t²

e^t−1=t²e^−t 1

1−e^−t =t²e^−t+∞X

n=0

(e^−t)ⁿ=^+∞X

n=1

t²e^−nt

PournÊ1, on définit la fonctionfn:t7→t²e^−nt. On utilise le théorème d’échange série intégrale avec convergence dominée :

• Chaque fonctionf_nest positive et continue (par morceaux) sur [0,+∞[ donc sur ]0,+∞[;

• D’après l’égalité précédente, la série de fonctionsPf_nconverge simplement sur ]0,+∞[ et sa somme estf;

• La fonctionf est continue (par morceaux) sur ]0,+∞[;

• Comme f_n est définie et continue sur [0,1],R₁

0 f_n(t)dt converge. De plus, par croissances comparées :

f_n(t)= o

t→+∞

µ1 t²

¶

et commeR_+∞

1 t⁻²dtconverge, par comparaison de fonctions positives,R_+∞

1 fn(t)dtconverge.

Les fonctionsf_nsont donc intégrables sur ]0,+∞[;

• Avec deux intégrations par parties (non rédigées ici), on obtient :

∀nÊ1, Z _+∞

0 f_n(t)dt= 2 n³

On en déduit que la sériePR+∞

0 |f_n(t)|dtconverge.

D’après le théorème d’échange série intégrale avec convergence dominée, on a : Z _+∞

0

t² e^t−1dt=

Z _+∞

0

µ_+∞X

n=1

f_n(t)

¶

dt=^+∞X

n=1

µZ _+∞

0 f_n(t)dt

¶

=^+∞X

n=1

2 n³

Exercice 16(Oral Centrale,PC,2009). Soit, pourn∈N∗,an= Z _+∞

0

dt (1+t³)ⁿ. (1) Montrer queanest bien défini.

(2) Étudier la convergence de la série de terme général (−1)ⁿa_n. (3) Trouver une relation de récurrence entrea_n+1eta_n.

(4) On pose, pourn∈N^∗_,vn=^pn_nan. Étudier ln(v_n+1/v_n).

(5) En déduire la forme d’un équivalent dean. Réponse.

(1) Pour toutn∈N^∗, la fonctiont7→(1+t³)⁻ⁿest continue et positive sur [0,+∞[ et : 1

(1+t³)ⁿ_n→+∞∼ 1 t³ⁿ = O

n→+∞

µ1 t³

¶

L’intégrale de RiemannR_+∞

1 t⁻³dt converge, donc par comparaison de fonctions positives l’intégraleR_+∞

0 (1+t³)⁻ⁿdt converge etanest bien défini.

(2) La suite (a_n) est positive donc la sérieP(−1)ⁿa_nest alternée. Ensuite :

∀tÊ0, 1

(1+t³)ⁿ⁺¹É 1 (1+t³)ⁿ

Par croissance de l’intégrale, on aa_n+1Éa_ndonc la suite (a_n) est décroissante. On définit pour n∈N^∗_:

fn:t7→ 1 (1+t³)ⁿ

Chaque fonction fnest continue par morceaux sur ]0,+∞[. De plus :

∀t>0, 1

(1+t³)ⁿ −−−−−→_n→+∞ 0

donc la suite de fonctions (f_n) converge simplement sur ]0,+∞[ vers la fonction nulle qui est continue par morceaux sur ]0,+∞[. On a enfin :

∀t>0,∀nÊ1, 1

(1+t³)ⁿ Éϕ(t) avec ϕ(t)= 1 1+t³

La fonctionϕest continue par morceaux sur ]0,+∞[ et intégrable sur ]0,+∞[ d’après la question 1. Par application du théorème de convergence dominée :

an−−−−−→_n→+∞ 0

D’après le critère propre aux séries alternées, la sérieP(−1)ⁿanconverge.

(3) Par intégration par parties (non rédigée complètement rigoureusement ici) : a_n=

Z _+∞

0

1+t³

(1+t³)ⁿ⁺¹dt=a_n+1+1 3

Z _+∞

0 t 3t²

(1+t³)ⁿ⁺¹dt

=a_n+1+1 3

µ·

−1 n

t (1+t³)ⁿ

¸_+∞

0 +1

n Z _+∞

0

1 (1+t³)ⁿdt

¶

=an+1+ 1 3nan

Par conséquent, (3n−1)a_n=3na_n+1quel que soitnÊ1.

(4) Ensuite :

lnv_n+1 v_n = 1

n+1ln(n+1)−1

nlnn+ln µ

1− 1 3n

¶

= 1

n+1lnn+1

n +

µ 1 n+1−1

n

¶

lnn+ln µ

1− 1 3n

¶

= 1 n+1ln

µ 1+1

n

¶

− 1

n(n+1)lnn+ln µ

1− 1 3n

¶

On a, avec les développements limités usuels : 1

n+1ln µ

1+1 n

¶

= O

n→+∞

µ 1 n²

¶ 1

n(n+1)lnn= O

n→+∞

µlnn n²

¶

ln µ

1− 1 3n

¶

= − 1 3n+ O

n→+∞

µ 1 n²

¶

Considéronsctel que 1<c<2 (par exemplec=3/2), alors : lnn

n² = 1

n^c· lnn n^2−c

−−−−−→_n→+∞ ⁰

= O

n→+∞

µ 1 n^c

¶

On a ainsi :

lnv_n+1 vn = O

n→+∞

µ 1 n²

¶ + O

n→+∞

µ 1 n^c

¶

− 1 3n On peut donc écrire :

lnv_n+1 v_n = − 1

3n+u_navecu_n= O

n→+∞

µ 1 n^c

¶

(5) NotonsH_n= Xn k=1

1

k. On a démontré dans le cours sur les séries qu’il existe un réelγtel que : Hn=ln(n)+γ+o(1)

(ce résultat n’étant pas au programme, il devrait être fourni, ou demandé, dans l’énoncé). Par télescopage :

ln(v_n+1)−ln(v₁)= Xn k=1

lnv_k+1 v_k = −1

3H_n+ Xn k=1

u_k

Or, par comparaison de séries à termes positifs,u_kest le terme général d’une série absolument convergente donc convergente. Notons`la somme de la sérieP

kÊ1u_k, on a : ln(v_n+1)= −1

3ln(n)+`+ o

n→+∞(1) puis :

v_n+1=exp µ

−1

3ln(n)+`+ o

n→+∞(1)

¶

=e^`+o(1) n^1/3

Ainsi, en posantK=e^`>0 :

v_n+1n→+∞∼ K n^1/3 Sachant quen^1/n_n→+∞∼ 1 :

a_n+1n→+∞∼ K n^1/3 et la relation de récurrence montre quea_n+1n→+∞∼ a_n, donc :

a_nn→+∞∼ K n^1/3

TD 16 : Intégrales dépendant d’un paramètre

Indications

Ex 1. Méthodes usuelles.

Ex 2. Théorème de convergence dominée pour la limite.

Ex 3. Utiliser la relation obtenue en (2) pour l’équivalent en 0. Établir un encadrement pour l’équi- valent en+∞.

Ex 4. Méthodes usuelles. Noter que par hypothèse de l’énoncéf(t)= o

t→±∞(1/t²) ett f(t)= o

t→±∞(1/t²).

Ex 5. ExpliciterF⁰(x) puis intégrer le résultat obtenu. Utiliser la limite deFen+∞(à obtenir avec un encadrement) pour en déduire la constante d’intégration.

Ex 6. Utiliser la continuité deϕpour la limite en 0, le théorème de convergence dominée pour la limite en+∞.

Ex 7. Expliciterf⁰puis intégrer l’expression obtenue.

Ex 8. Dériverf +g².

Ex 9. Utiliser le théorème de convergence dominée.

Ex 10. Utiliser le théorème de convergence dominée.

Ex 11. (1) Méthodes usuelles. (2) Théorème de convergence dominée; pour la majoration, considérer séparémentxÉ1 etxÊ1. Penser à l’inégalité|sint| É |t|.

Ex 12. Utiliser une intégration par parties pour l’équivalent.

Ex 13. Utiliser un changement de variable puis le théorème de convergence dominée.

Ex 14. Série exponentielle et théorème d’échange série intégrale.

Ex 15. Écrire 1

1−e^−t comme somme d’une série géométrique.

Ex 16. (1) Méthodes usuelles. (2) Théorème des séries alternées. (3) Intégration par parties. (4) Déve- loppements limités. (5) Question plus délicate. Utiliser (entre autres) un télescopage.

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