I.3 Fonctions à valeurs réelles

C

I Dérivées

I.1 Dérivées

On ne parle de dérivée d’une fonction que lorsqu’elle est définie sur un intervalleIdeR, à valeurs dansR,Cou plus généra- lement un espace vectoriel de dimension finie.

On désigne toujours parI,Jdes intervalles deR, parE,F,GdesK-evn de dimension finie,K=RouC. LeI.1.et leI.2.sont valables pour des fonctions à valeurs dans un evn de dimension finie, leI.3.pour les fonctions à valeurs réelles.

Définition (par taux d’accroissement) Soitf : I→E,a∈I. On définit, lorsqu’elle existe, f⁰(a)=lim

x→a

µf(x)−f(a) x−a

¶

=lim

h→0

µf(a+h)−f(a) h

¶

∈E.

Définition (par développement limité) f : I→Eest dérivable enasi et seulement si au voisinage dea,f(x)=f(a)+(x−a)f⁰(a)+ o

x→a(x−a) ou au voisinage de 0,f(a+h)=f(a)+h f⁰(a)+ o

h→0(h)

Dérivées à gauche et à droite Assez évident.f est dérivable enasi et seulement si elle est dérivable à gauche et à droite ena, avec égalité des dérivées à gauche et à droite.

Proposition Sif,g : I→Esont dérivables ena, siλ∈K,λf +gest dérivable ena, et (λf+g)⁰(a)=λf⁰(a)+g⁰(a).

Proposition Sif : I→Eest dérivable ena, siu∈L(E,F),u◦f est dérivable enaet (u◦f)⁰(a)=u¡ f⁰(a)¢

. Proposition Soit (e₁, . . . ,e_n) une base deE. Si∀x∈I f(x)=

n

X

i=1

f_i(x)e_i alorsf est dérivable enasi et seulement si chaquef_il’est, et le cas échéant f⁰(a)=

n

X

i=1

f_i⁰(a)e_i (les dérivées des fonctions composantes sont les composantes de la dérivée).

Proposition SiB :E×F−→Gest bilinéaire, sif :I−→Eetg :I−→Fsont dérivables ena, alorsx7−→B¡

f(x),g(x)¢ est dérivable ena, et¡

B(f,g)¢₀

(a)=B¡

f⁰(a),g(a)¢ +B¡

f(a),g⁰(a)¢ . Proposition

I φ J g F

g◦φ

Siφest dérivable ena, et sigest dérivable enφ(a), alorsg◦φest dérivable enaet (g◦φ)⁰(a)=φ⁰(a)g⁰(φ(a)).

Proposition Siφ, définie surI, à valeurs réelles ou complexes, est dérivable ena, alorst7→e^φ(t)est dérivable ena, de dérivéeφ⁰(a)e^φ(a).

Proposition

Sif est continue surI, dérivable sur l’intérieur deI, alorsf est constante surIsi et seulement si sa dérivée est nulle sur l’intérieur deI.

I.2 Classe C

Définition On définit la dérivéekème par récurrence. On dit quef estC^klorsqu’elle estkfois dérivable etf^(k)continue, C^∞lorsqu’elle estC^kpour toutk.

Proposition Sif,g : I→EsontC^k, siλ∈K,λf +gestC^ksurI, et (λf +g)^(k)=λf^(k)+g^(k). Proposition Soit (e₁, . . . ,e_n) une base deE. Si∀x∈I f(x)=

n

X

i=1

f_i(x)e_i Alorsf estC^ksi et seulement si chaquef_il’est, et le cas échéantf^(k)(x)=

n

X

i=1

f_i^(k)(x)ei.

Proposition SiB :E×F−→Gest bilinéaire, sif : I−→Eetg : I−→FsontC^k, alorsx7−→B¡

f(x),g(x)¢ l’est, et

∀x∈I ¡

B(f,g)¢(k)

(x)=

k

X

i=0

Ãk i

! B³

f⁽ⁱ⁾(x),g^(k−i)(x)´

(formule de Leibniz).

Proposition

I φ J g F

g◦φ

SiφestC^ksurI, et sigestC^ksurJ, alorsg◦φestC^ksurI.

Théorème Sif est continue surI, dérivable surI\ {a} et si f⁰a une limite`ena, alorsf est dérivable ena, etf<sup>0</sup>(a)=` (doncf⁰est continue ena).

Beaucoup moins important que le théorème suivant

Théorème Sif est de classeC^ksurI\ {a} (k≥1), si chaquef^(j)(0≤j≤k) a une limite ena, alorsf se prolonge àI en une fonction de classeC^k.

Beaucoup plus important que le théorème précédent

I.3 Fonctions à valeurs réelles

Avec quelques petits points pour les fonctions à valeurs complexes

Proposition : Sif : I→Radmet un extremum local en un point intérieur àI, et sif est dérivable ena, alorsf⁰(a)=0.

Théorème (Rolle) Sif : [a,b]→Rest continue sur [a,b], et si elle est dérivable sur ]a,b[, et sif(a)=f(b), alors il existe cdans ]a,b[ tel quef⁰(c)=0.

Formule des accroissements finis Si f : [a,b]→Rest continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[, il existecdans ]a,b[ tel quef⁰(c)=f(b)−f(a)

b−a

Proposition Une fonctionf dérivable sur un intervalleIest croissante (resp. décroissante) sur cet intervalle si et seule- ment si sa dérivée est positive (resp. négative) sur cet intervalle.

Proposition Une fonction f dérivable sur un intervalleIest strictement croissante (resp. strictement décroissante) sur cet intervalle si et seulement si sa dérivée est positive (resp. négative) sur cet intervalle et n’est nulle sur aucun inter- valle non réduit à un point (ce qui signifie que l’ensemble des points d’annulation de la dérivée est d’intérieur vide, ou que l’ensemble des points où la dérivée est strictement positive, resp. strictement négative, est dense dansI).

Proposition Soit f etg deux fonctions définies sur un intervalleI deR, à valeurs réelles ou complexes ; si f etg sont dérivables enaet sign’est pas nulle ena,f/gest dérivable enaet³f

g

´₀

(a)=f⁰(a)g(a)−f(a)g⁰(a) g²(a) .

Proposition Soitf : I→Rcontinue strictement monotone,a∈I.f⁻¹est dérivable enf(a) si et seulement si f⁰(a)6=0, et alors (f⁻¹)⁰(f(a))= 1

f⁰(a)

II Différentielles

II.1 Différentielles, dérivées suivant des vecteurs

On désigne toujours parI,Jdes intervalles deR, parE,F,G,HdesK-evn de dimension finie,K=RouC.

Définition : Soitf :U⊂E−→F,U ouvert. Soitaun point deU. On dit quef est différentiable enalorsqu’il existe une application linéaire`∈L(E,F) telle que, au voisinage de 0E:f(a+h)=f(a)+`(h)+ o

h→0_E(h) ou encore, au voisinage dea,f(x)=f(a)+`(x−a)+ o

x→a(x−a) . L’application`est alors unique ; elle est appelée application linéaire tangente àf ena, ou différentielle def ena, et est notée df(a). Ainsi, la différentiabilité def enaéquivaut à l’existence d’un développement limité :

f(a+h)=f(a)+df(a)(h)+ o

h→0E

¡h) où df(a)∈L(E,F).

Proposition Sif est différentiable ena, alorsf est continue ena.

Différentielle d’une application linéaire Sif : U⊂E→Fest la restriction àU d’une application linéaireφ∈L(E,F), alors elle est différentiable en tout point deU; et∀a∈U d f(a)=φ

Lien entre différentielle et dérivée f : I⊂R→Eest dérivable enasi et seulement si elle est différentiable ena, et le cas échéant,d f(a) : h7−→h f⁰(a).

Dérivée selon un vecteur Soitf : U ⊂E−→F,U ouvert,a∈U,v∈E. L’applicationφ : t7−→f(a+t v) est définie au moins au voisinage de 0. La dérivée def enaselonvest, si elle existe,

D_vf(a)=φ⁰(0)=lim

t→0

1 t

¡f(a+t v)−f(a)¢

∈F

Dérivées partielles SoitB=(e₁, . . . ,ep) une base deE. Pour touti entre 1 etp, sif est dérivable enaselon (suivant)ei, on définit∂if(a)= ∂f

∂xi

(a)=De_if(a∈F).

Proposition Si une fonction est différentiable ena, elle admet une dérivée enaselon tout vecteur et donc des dérivées partielles enarelatives à toute baseB. On a Duf(a)=df(a)(u), et donc avec des notations habituelles

∂if(a)= ∂f

∂x_i(a)=d f(a)(e_i).

Réciproque fausse f peut avoir des dérivées selon tous vecteurs enasans être continue ena, a fortiori sans être diffé- rentiable ena.

II.2 Classe C

Définition On dit quef : U⊂E−→F,U ouvert est de classeC¹surU lorsqued f : a7→d f(a) est définie et continue surU(i.e.d f ∈C(U,L(E,F))).

Théorème Fondamental Avec les notations précédentes, siB=(e₁, . . . ,e_p) est une base deE, alors les deux propositions suivantes sont équivalentes :

(i)f est de classeC¹surU.

(ii)Toutes les dérivées partielles∂if = ∂f

∂xi =De_if sont définies et continues surU. et le cas échéant, pour touta∈Ueth=

p

X

j=1

hjej∈E, on a df(a)(h)=

p

X

j=1

hj∂jf(a)=

p

X

j=1

hj ∂f

∂x_j(a) .

II.3 Opérations

Combinaison linéaire Sif etg sont différentiables ena∈U (resp.C¹surU), à valeurs dansF,λf +gl’est (λ∈K) et d(λf +g)(a)=λdf(a)+dg(a) .

Combinaison linéaire Sif etgadmettent des dérivées suivant le vecteurvau pointa,λf +gaussi, et Dv(λf+g)(a)=λDvf(a)+Dvg(a).

En particulier, siBest une base deE, sif etgont unej-ème dérivée partielle relative àBena, alorsαf +gaussi, et

∂j(λf+g)(a)=λ∂jf(a)+∂jg(a) .

Produit (image par une application bilinéaire) SoitE,F,G,Htrois espaces vectoriels réels de dimension finie, f :U⊂E−→F,g : U⊂E−→G,U ouvert,Bune application bilinéaire deF×GdansH.

Sif etgsont différentiables ena∈UalorsB(f,g) : x7−→B¡

f(x),g(x)¢

l’est et, pour touth∈E, d¡

B(f,g)¢

(a)(h)=B¡

df(a)(h),g(a)¢ +B¡

f(a), dg(a)(h)¢ . Sif etgsont de classeC¹surU alorsB(f,g) l’est.

Composition

U⊂E f V ⊂F g G

g◦f

Soitf : U ⊂E−→F différentiable ena,g : U ⊂E−→Gdifférentiable en f(a),U ouvert. On supposef(U)⊂V. Alorsg◦f est différentiable enaet

d(g◦f)(a)=dg¡ f(a)¢

◦df(a) .

Sif etgsont de classeC¹, alorsg◦f est de classeC¹.

Composition (bis) SoitU un ouvert d’un espace vectoriel de dimension finieE,f une application deU dans un espace vectoriel de dimension finieF,φune application définie sur un intervalleIdeR, à valeurs dansU :

I⊂R φ U⊂E f F

f◦φ

Soitφ: I⊂R−→Edérivable ena, soitf :U⊂E−→Fdifférentiable enφ(a), alorsf ◦φest dérivable ena, et (f ◦φ)⁰(a)=df¡

φ(a)¢¡

φ⁰(a)¢

=df¡ φ(a)¢

.φ⁰(a). Sif etφsontC¹,f◦φl’est.

SiB=(e₁, . . . ,e_n) est une base deE, en notant

∂

∂x_i les dérivées partielles relatives à la baseBet ∀t∈I φ(t)=

n

X

i=1

φi(t)e_i), on a : (f ◦φ)⁰(t)=

n

X

i=1

φ⁰_i(t)∂f

∂x_i

¡φ(t)¢ .

Composition (ter) Soitf :U⊂E→Fde classeC¹,γ : [0, 1]→Ude classeC¹, sia=γ(0) etb=γ(1), alors f(b)−f(a)=

Z 1 0

df(γ(t)).γ⁰(t) dt

Caractérisation des applications constantes Une application de classeC¹sur un ouvert connexe par arcsUest constante surUsi et seulement si sa différentielle est nulle surU.

Proposition Soitf :U⊂E−→Fdifférentiable ena,ϕ∈L(F,G). Alorsϕ◦f est différentiable ena, et d(ϕ◦f)(a)=ϕ◦df(a) .

Sif est de classeC¹surU, alorsϕ◦f est de classeC¹surU.

Caractérisation par les fonctions composantes Une application est différentiable (resp.C¹) si ses fonctions composantes dans une base quelconque de l’espace d’arrivée le sont, les dérivées partielles des fonctions composantes sont les composantes des dérivées partielles.

II.4 Fonctions à valeurs réelles

Proposition : SoitU⊂E,U ouvert.¡

C¹(U,R),+,×, .¢

est uneR-algèbre.

Gradient On suppose (E, (.|.)) euclidien. Soitf :U⊂E−→Rdifférentiable ena, il existe un unique gradf(a)= ∇f(a)∈E tel que

∀h∈E df(a)(h)=¡

gradf(a)|h¢

=¡

∇f(a)|h¢ . Donc f(a+h)=f(a)+¡

gradf(a)|h¢ + o

h→0(h)=f(a)+¡

∇f(a)|h¢ + o

h→0(khk).

SiB=(e₁, . . . ,e_n) une base orthonormale deEet si on note ∂

∂x_i les dérivations partielles relatives à cette base, alors

∇f(a)=gradf(a)=

n

X

i=1

∂f

∂x_i(a)ei .

En particulier, siE=Rⁿet siBest la base canonique,

∇f(a)=gradf(a)=³∂f

∂x₁(a), . . . , ∂f

∂x_n(a)´ .

Le vecteur unitairevpour lequelD_vf(a) est maximale estv= 1

k∇f(a)k∇f(a).

Condition nécessaire d’extremum Soitf une application définie sur un ouvertU deE, à valeurs réelles, différentiable ena. Sif atteint un extremum ena, alorsaest un point critique pourf :d f(a)=e0,∇f(a)=0_E, les dérivées partielles def enasont toutes nulles.

II.5 Dérivées partielles d’ordre ≥ 2

Définition par récurrence : ∂²f

∂x_j∂x_i(a)=

∂³∂f

∂x_i

´

∂x_j (a). Une fonction est de classeC^mlorsque toutes ses dérivées partielles d’ordre≤msont continues.

Théorème de Schwarz Sif est de classeC²surU, pour tout couple (i,j) on a, surU

∂²f

∂x_j ∂x_i = ∂²f

∂x_i∂x_j

II.6 Matrice jacobienne

Définition Soitf : U⊂E−→Fde classeC¹,U ouvert.B=(²1, . . . ,²p) une base deE,C=(e₁, . . . ,en) une base deF. En notant∀x∈U f(x)=

n

X

i=1

fi(x)ei, en notant∂j ou ∂

∂x_j lajème dérivation partielle relative à la baseB, on a

J_B,Cf(a)=MB,C

¡d f(a)¢

=

















∂f1

∂x₁(a) · · · ∂f1

∂x_p(a)

... ...

∂f_n

∂x1

(a) · · · ∂f_n

∂xp

(a)

















=

³∂f_i

∂x_j(a)´

1≤i≤n 1≤j≤p

.

Matrice jacobienne d’une application composée La matrice jacobienne d’une composée est le produit des matrices ja- cobiennes : avec des notations « évidentes »,

J_B,D(g◦f)(a)=J_C,Dg¡ f(a)¢

J_B,Cf(a) .

III Convexité

Evidemment, sans dessin, c’est moins sympathique. . .

III.1 Parties convexes d’un espace vectoriel

Partie convexe On dit qu’une partieC d’un espace vectoriel est convexe lorsque, pour tout couple (a,b) d’éléments de C, le segment [a,b] est inclus dansC, c’est-à-dire lorsque

∀(a,b)∈C² ∀t∈[0, 1] t a+(1−t)b∈C

Proposition Cest convexe si et seulement si, pour toutn≥1, pour toutn-uplet (α1, . . . ,αn) de réels vérifiant α1≥0,α2≥0, . . . ,αn≥0 et α1+α2+ · · · +αn=1 ,

et pour toutn-uplet (x_i)_1≤i≤nd’éléments deC,

n

X

i=1

αix_i ∈ C.

III.2 Fonctions convexes

Définition Soitf une application définie sur une partie convexeCd’un espace vectoriel, à valeurs réelles. On dit quef est convexe lorsque

∀(x,y)∈C² ∀t∈[0, 1] f(t x+(1−t)y)≤t f(x)+(1−t)f(y)

C’est la seule chose à savoir sur les fonctions convexes définies sur une partie convexe d’un evn. Tout le reste parle de

fonctions convexes sur un intervalle.

Traduction La fonctionf est convexe sur l’intervalleIsi et seulement si son graphe est au-dessous de toutes ses cordes.

Caractérisation Soitf une fonction définie sur un intervalleIdeR, à valeurs réelles.f est convexe si et seulement si la partieE(f) du plan située au-dessus du graphe def est convexe. Cette partie, que l’on appelle aussi épigraphe, est définie par

(x,y)∈E(f)⇐⇒ y≥f(x) .

Caractérisation Soitf une fonction définie sur un intervalleIdeR, à valeurs réelles. f est convexe si et seulement si, pour tout élémentxdeI, l’application

y7−→ f(y)−f(x) y−x est croissante surI\ {x}.

Caractérisation 2 (inégalité des trois pentes) Soitf une fonction définie sur un intervalleIdeR, à valeurs réelles.f est convexe si et seulement si, pour tousx,y,zdeItels quex<y<z, on a

f(y)−f(x)

y−x ≤ f(z)−f(x)

z−x ≤ f(z)−f(y) z−y

Caractérisation Soitf une fonction définie sur un intervalleIdeR, à valeurs réelles, dérivable surI.f est convexe si et seulement sif⁰est croissante.

Propriété Soitf une fonction définie sur un intervalleIdeR, à valeurs réelles, dérivable surI, convexe. Le graphe def est au-dessus de toutes ses tangentes.

Caractérisation Soit f une fonction définie sur un intervalleI deR, à valeurs réelles, deux fois dérivable surI. f est convexe si et seulement sif⁰⁰est positive.

Définition On dit quef est convexe lorsque−f est concave.

Trois inégalités qui n’exigent pas de connaître la convexité, mais qui l’illustrent bien.

∀x> −1 ln(1+x)≤x; ∀x∈ h

0,π 2 i

sinx≥ 2

πx; ∀x∈R e^x≥1+x

III.3 Inégalités de convexité

Proposition f est convexe si et seulement si, pour toutn≥1, pour toutn-uplet (α1, . . . ,αn) de réels vérifiant

n

X

i=1

αi=1 et ∀i∈[1, . . . ,n] αi≥0 ,

pour toutn-uplet (x_i)1≤i≤nd’éléments deC, f¡

n

X

i=1

αixi¢

≤

n

X

i=1

αif(xi) (1)

IV Intégration sur un segment

On définit (le programme n’impose pas de connaître la construction) l’intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment et à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie. Elle a les propriétés suivantes.

Linéarité Sif etgsont continues par morceaux sur [a,b], siλest un élément deK,f+λgest continue par morceaux sur [a,b], et

Zb a

(f+λg)= Zb

a

f +λZ b a

g. (linéarité de l’intégrale)

Image par une application linéaire

[a,b] f E u F

u◦f

Sif est continue par morceaux sur [a,b], à valeurs dans un evn de dimension finieE, siuest une application linéaire deEdans l’evnF(lui aussi de dimension finie), alorsu◦f est continue par morceaux sur [a,b] (et à valeurs dansF), et

Z _b

a

u◦f = u µZb

a

f

¶

Caractérisation par les fonctions composantes dans une base Si f est continue par morceaux sur [a,b], à valeurs dans l’espace vectoriel normé de dimension finieE, si (e₁, . . . ,e_n) est une base deE, on note, pour toutxde [a,b] :f(x)=

n

X

i=1

f_i(x)e_i. Alors : Z

[a,b]

f =

n

X

i=1

³Z

[a,b]

f_i´ e_i.

(Les composantes de l’intégrale sont les intégrales des fonctions composantes).

En particulier, sif est à valeurs dansC: Re

³Z

[a,b]

f´

= Z

[a,b]

Ref , Im

³Z

[a,b]

f´

= Z

[a,b]

Imf . Et ainsi :

Z

[a,b]

f = Z

[a,b]

f.

Inégalité de la norme Si f est continue par morceaux sur [a,b], à valeurs dansE(espace de dimension finie), sik.kdé- signe une norme quelconque surE, et sia≤b,

°

°

°

° Zb

a

f

°

°

°

°≤ Zb

a kfk

Inégalité de la moyenne Sif est continue par morceaux sur [a,b],a≤b, si||.||désigne une norme quelconque surE,

¯

¯

¯

¯

¯

¯ Z

[a,b]

f¯

¯

¯

¯

¯

¯≤ Z

[a,b]||f|| ≤(b−a) sup

[a,b]||f||.

(inégalité de la moyenne). On appelle valeur moyenne def sur [a,b] l’élémentµdeEdéfini par : µ= 1

b−a Z

[a,b]

f

L’inégalité ci-dessus s’écrit alors

||µ|| ≤sup

[a,b]||f|| = kfk∞

Sif est continue sur [a,b], on retrouve l’inégalité entre les normesN₁etN_∞surC([a,b],E) :

°

°

° Z

[a,b]

f

°

°

°≤N₁(f)≤(b−a)N_∞(f) .

Corollaire Si [a,b] est un segment, si (f_n) est une suite de fonctions continues par morceaux qui converge uniformément sur [a,b] vers une fonction continue par morceauxf, alors il y a convergence en moyenne :

Zb a

f_n−−−−−→_n→+∞

Z b a

f Relation de Chasles

Zb a +

Z c b =

Z c a

.

Proposition Soitf continue par morceaux sur le segment [a,b], à valeurs dans unK-espace vectoriel normé de dimen- sion finie.

b−a n

n−1X

k=0

f µ

a+kb−a n

¶

−−−−−→_n

→+∞

Z b a

f(t)dt Proposition bis Soitf continue par morceaux sur le segment [0, 1], alors

1 n

n−1X

k=0

f µk

n

¶

−−−−−→_n→+∞

Z 1 0

f(t)dt

V Intégration et dérivation

V.1 Primitive

Théorème fondamental (lien entre intégration et dérivation) : Soitf une application continue surI, à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie,aun point deI. Il existe une unique primitive def surIqui s’annule en a. Cette primitive est l’applicationx7−→

Z x a

f(t)d t. Pour toute primitivehde f et tous pointsaetxdeI, on a donc Z x

a

f(t)d t=h(x)−h(a) .

Corollaire : Sif est de classeC¹surI, pour tous pointsaetxdeI, f(x)=f(a)+

Z x a

f⁰(t)d t.

V.2 Intégration par parties, changement de variables

Intégration par parties

On considère troisK-espaces vectoriels normésE,F,G.

Si f etg sont de classeC¹surI, à valeurs dansE etFrespectivement (qui sont deux espaces vectoriels normés de dimension finie), siB :E×F→Gest bilinéaire, siaetbsont deux points deI,

Zb a

B¡

f(t),g⁰(t)¢

d t=[B¡

f(t),g(t)¢ ]^b_a−

Z b a

B¡

f⁰(t),g(t)¢ d t.

Utilisation On utilise cette formule dans le cas du produit de réels ou de complexes, rarement dans le cas oùE=Fest un espace euclidien etBle produit scalaire sur cet espace (G=R, donc).

Changement de variable

Soitf une fonction continue sur un intervalleIdeR, à valeurs dans un espace vectoriel de dimension finieE. Soitφ une fonction de classeC¹sur un segment [α,β] deR, à valeurs dansI. Alors

Z _φ(β) φ(α)

f(t)d t= Z _β

α f¡ φ(u)¢

φ⁰(u)d u. Le changement de variable, c’estt=φ(u), pasu=ψ(t).

V.3 Inégalités des accroissements finis

Théorème : Sif est de classeC¹sur [a,b], à valeurs dans un evn de dimension finie (E,k.k), sikf⁰k ≤ksur [a,b], alors kf(b)−f(a)k ≤k|b−a|

V.4 Formules de Taylor

Notation : Soit f de classeC^ksur un intervalleIdeR(à valeurs dans un espace de dimension finie), et soitaun point deI. Le polynôme de Taylor def enaà l’ordrekest, au pointx:T_k(x)=

k

X

i=0

(x−a)ⁱ

i! f⁽ⁱ⁾(a) (il s’agit d’ailleurs plutôt d’une fonction polynôme).

Théorème (Taylor avec reste-intégrale) : Soitf de classeC^k+1sur un intervalleIdeR(k≥0), à valeurs dans un espace de dimension finie. Soitaun point deI. Alors, pour toutxdeI,

f(x)=T_k(x)+R_k(x) où R_k(x)= Z _x

a

(x−t)^k

k! f^(k+1)(t) dt.

Théorème (Taylor-Lagrange) : Soitf de classeC^k+1sur un intervalleIdeR(k≥0), à valeurs dans un espace de dimen- sion finie (E,k.k). Soitaun point deI. Alors, pour toutxdeI,

°

°

°

°

° f(x)−

k

X

i=0

(x−a)ⁱ i! f⁽ⁱ⁾(a)

°

°

°

°

°

≤|x−a|^k+1 (k+1)! sup

[a,x]

°

°

°f^(k+1)°

°

°

V.5 Développements limités, formule de Taylor-Young

Définition Soitf une application d’un intervalleIdeRdans un espace de dimension finieE. Soitaun point deI. On dit quef admet un développement limité à l’ordrenau voisinage dealorsqu’il existe des élémentsA₀,A₁, . . . ,AndansE tels que

f(x)−

n

X

k=0

(x−a)^kA_k= o

x→a

¡(x−a)ⁿ¢

LesA_ksont alors uniques ;P(x−a)=

n

X

k=0

(x−a)^kA_kest la partie régulière du développement limité.

Remarquons que l’existence d’un développement limité à l’ordre 0 en un point équivaut à l’existence d’une limite en ce point. Sif admet un développement limité ena, elle est donc prolongeable par continuité ena.

Carcatérisation par les composantes Soitf une application d’un intervalleIdeRdans un espace de dimension finieE.

Soitaun point deI. Soit (e₁, . . . ,e_p) une base quelconque deE. On note f₁, . . . ,f_ples fonctions composantes def sur la base (e₁, . . . ,ep). Si (A₀, . . . ,An) sontnéléments deE, on peut les décomposer dans la base (e₁, . . . ,ep) :

A_j=

p

X

i=1

a⁽ⁱ⁾_j e_i

Alors

f(x)=

n

X

k=0

(x−a)^kA_k+ o

x→a

¡(x−a)ⁿ¢ est équivalent à

∀i∈ ‚1,pƒ f_i(x)=

n

X

k=0

(x−a)^kA⁽ⁱ⁾_k + o

x→a

¡(x−a)ⁿ¢

Autrement et plus simplement dit, les développements limités des composantes sont les composantes des dévelop- pements limités.

Combinaison linéaire Sif etgadmettent au voisinage deades développements limités de parties régulières respectives

n

X

k=0

(x−a)^kA_ket

n

X

k=0

(x−a)^kB_k, alorsf +λgadmet un développement limité au voisinage deade partie régulière

n

X

k=0

(x−a)^k(A_k+λB_k).

Composition Sif est une application deIdansJ(IetJdésignant deux intervalles deR) admettant un développement limité à l’ordrenau voisinage dea(a∈I), sigest une application deJdansEadmettant un développement limité à l’ordrenenf(a), alorsg◦f admet un développement limité à l’ordrenau voisinage dea.

Développement limité d’une primitive Soitf une application d’un intervalleIdeRà valeurs dans un espace de dimen- sion finieE, continue surIet admettant un développement limité à l’ordrenena(a∈I) :

f(x)=

n

X

k=0

(x−a)^kA_k + o

x→a

¡(x−a)ⁿ¢

SoitF une primitive def surI. AlorsF admet un développement limité à l’ordren+1 ena, obtenu en « intégrant terme à terme » celui def :

F(x)=F(a)+

n

X

k=0

(x−a)^k+1

k+1 A_k + o

x→a

¡(x−a)ⁿ⁺¹¢

Théorème de Taylor-Young Soit f une application de classeC^k d’un intervalle I deRdans un espace vectorielE de dimension finie. Soitaun point deI. Alorsf admet au voisinage deale développement limité à l’ordreksuivant :

f(x)=

k

X

i=0

(x−a)ⁱ

i! f⁽ⁱ⁾(a)+ o

x→a

¡(x−a)^k¢ que l’on peut aussi écrire

f(a+h)=

k

X

i=0

hⁱ

i! f⁽ⁱ⁾(a)+ o

h→0

¡h^k¢

Développement limité d’une dérivée On ne dérive par un développement limité. . .sauf quand on sait que la dérivée ad- met aussi un développement limité.

VI Intégration sur un intervalle quelconque

Les fonctions dont il est question dans ce chapitre sont définies sur un intervalleIdeR, à valeurs dansRouC.

VI.1 Intégrabilité

a Sur[a,b[

Définition Soita∈R,b∈R∪{+∞},a<b. On considère une fonctionf définie sur [a,b[, continue par morceaux, à valeurs dansRouC. On dit que l’intégrale « généralisée »

Z _+∞

a

f est « convergente » lorsqueF : x7−→

Z x a

f(t)d ta une limite finie en+∞. Cette limite est notée

Z_+∞

a

f ou Z _+∞

a

f(t)d t.

Définition Dans les mêmes conditions, on dit quef est « intégrable » sur [a,b[ lorsque l’intégrale Z b

a |f|est convergente.

On dit aussi que l’intégrale Z b

a

f est absolument convergente.

Proposition Si f est intégrable sur [a,b[, l’intégrale Z b

a

f converge. Autrement dit, si l’intégrale Z b

a

f est absolument convergente, elle est convergente. Et on a dans ce cas :

¯

¯

¯

¯ Z b

a

f

¯

¯

¯

¯≤ Zb

a |f|. Remarque Il existe des fonctionsf non intégrables sur [a,+∞[ telles que

Z _+∞

a

f converge. On parle parfois d’intégrale semi-convergente, voire même d’intégrale impropre semi-convergente. L’exemple classique est

Z _+∞

0

sint t d t. Proposition Soita>0. La fonctiont7→t^αest intégrable sur [a,+∞[ si et seulement siα< −1 ; ou encore, la fonction

t7→ 1

t^β est intégrable sur [a,+∞[ (a>0) si et seulement siβ>1

Proposition Soita<b< +∞. La fonctiont7→(b−t)^α est intégrable sur [a,b[ si et seulement siα> −1 ; ou encore, la fonctiont7→ 1

(b−t)^βest intégrable sur [a,b[ si et seulement siβ<1

Proposition Soitf,φcontinues par morceaux,φpositive sur [a,b[ ; on supposef(x)=O

x→b

¡φ(x)¢

, ouf(x)= o

x→+∞

¡φ(x)¢ ou 0≤ |f| ≤φau voisinage deb. Alors, siφest intégrable sur [a,b[,f l’est.

Proposition Soientf,φcontinues par morceaux, positives sur [a,+∞[. Si f(x)≡x→+∞φ(x), alorsφest intégrable sur [a,+∞[ si et seulement sif l’est.

b Sur]a,b]

Même genre de résultats.

c Sur]a,b[

Définition Soitf continue par morceaux sur ]a,b[ (a∈R∪{−∞},b∈R∪{+∞},a<b). Soitc∈]a,b[ (créel, nécessaire- ment). On dit que l’intégrale

Z b a

f converge lorsque les deux intégrales Zc

a

f et Z b

c

f convergent. Et on définit alors Z b

a

f = Z c

a

f+ Z b

c

f

(on vérifie bien sûr que cette définition ne dépend pas dec).

On dit quef est intégrable sur ]a,b[, ou que Z _b

a

f est absolument convergente, lorsque Z _b

a |f|converge. Toute intégrale absolument convergente est convergente.

VI.2 Propriétés de l’intégrale

Proposition SiIest un intervalle quelconque deR, sif etgsont continues par morceaux surI, si Z

I

f etR

Igsont conver- gentes, siλetµsont dansK, alors

Z

I

(λf+µg) converge.

Proposition SiIest un intervalle quelconque deR, sif etgsont continues par morceaux intégrables surI, siλetµsont dansK, alorsλf+µgest intégrable surI.

Proposition Sous chacune des hypothèses précédentes, Z

I

(λf +µg)=λ Z

I

f +µ Z

I

g

Proposition Sif est continue par morceaux positive surI, si Z

I

f converge (ce qui équivaut, par positivité, à dire quef est intégrable surI), alors

Z

I

f ≥0.

Proposition Sif estcontinuepositive surI, si Z

I

f converge (ce qui équivaut par positivité à dire quef est intégrable sur I), et si

Z

I

f =0, alorsf =e0 surI.

Proposition Si, parmi les intégrales Z b

a

f(t)d t, Z c

a

f(t)d t et Z c

b

f(t)d t, deux convergent (a fortiori sif est intégrable sur deux des trois intervalles ]a,b[, ]a,c[, ]b,c[), la troisième converge, et

Zc a

f(t)d t = Z b

a

f(t)+ Zc

b

f(t)d t

VI.3 Changement de variable, intégration par parties

Proposition Soitφ: ]α,β[→]a,b[ une bijection de classeC¹(α,β,a,bdansR∪{±∞}). On a alorsφstrictement monotone.

Supposons limα φ=a, lim

β φ=b. Alors les intégrales Z b

a

f(t)d tet Z _β

α f¡ φ(u)¢

φ⁰(u)d uont même nature. Et en cas de convergence, elles sont égales.

Proposition Sif ga des limites finies enaet enb(« si le crochet existe »), les intégrales Z b

a

f⁰get Zb

a

f g⁰sont toutes les deux convergentes ou toutes les deux non convergentes (en revanche, contrairement à ce qui se passe pour le change- ment de variable, l’une peut être absolument convergente et l’autre semi-convergente). Et dans le cas de convergence, on peut écrire la formule

Zb a

f(t)g⁰(t)d t=£ f g¤b

a− Zb

a

f⁰(t)g(t)d t

VII Intégrales dépendant d’un paramètre

VII.1 Interversion limite/intégrale

Théorème Soit (f_n)_n≥0une suite de fonctions continues par morceaux sur un intervalleI, à valeurs réelles ou complexes.

On suppose :

(i)que la suite (f_n) converge simplement surI vers une fonction f continue par morceaux,

(ii)qu’il existe une fonctionφcontinue par morceaux intégrable sur Itelle que

∀n∈N∀t∈I |f_n(t)| ≤φ(t) (Hypothèse de domination.)

Alors lesfnetf sont intégrables surI, et

Z

I

fn−−−−−→_n

→+∞

Z

I

f

Version « continue » SoitΛ⊂R(au programme,Λest un intervalle, mais cela importe peu), et soitλ0∈Λ(éventuellement λ0= ±∞).

Soit (f_λ)_λ∈Λune famille de fonctions continues par morceaux sur un intervalleI, à valeurs réelles ou complexes.

On suppose :

(i)∀x∈I f_λ(x)−−−−→

λ→λ0

f(x) oùf est une fonction continue par mor- ceaux surI,

(ii)il existe une fonctionφcontinue par morceaux intégrable surI telle que

∀λ∈Λ∀x∈I |f_λ(x)| ≤φ(x) (Hypothèse de domination.)

Alors lesf_λetf sont intégrables surI, et

Z

I

f_λ−−−−→

λ→λ0

Z

I

f

Remarque Ce théorème n’est jamais indispensable. On peut le remplacer par le théorème de convergence dominée suivi de la caractérisation des limites par les suites. L’extension présentée ici permet seulement de raccourcir la rédaction.

Théorème Si une suite (f_n) de fonctions continues par morceaux sur lesegmentIconverge uniformément surIvers une fonctionf continue par morceaux, alors

Z

I

fn−−−−−→_n

→+∞

Z

I

f

VII.2 Interversion séries/intégrales

Théorème Soit (f_n)_n∈Nune suite de fonctions continues par morceaux sur un intervalleIdeR, à valeurs réelles ou com- plexes. On suppose :

(i) que la sériePf_n converge simplement sur I, et que sa somme

+∞X

n=0

f_nest continue par morceaux surI, (ii)que chaquef_nest intégrable surI, (iii)que la sérieX

Z

I|f_n|converge.

AlorsX Z

I

fnconverge,

+∞X

n=0

fnest intégrable surI, et Z

I

µ_+∞

X

n=0

fn

¶

=

+∞X

n=0

Z

I

fn.

On note en généralN₁(f_n)= Z

I|f_n|. L’hypothèse cruciale(iii)s’écrit alors : XN1(fn) converge.

Théorème Soit (f_n)_n∈Nune suite de fonctions continues par morceaux sur unsegmentIdeR, à valeurs réelles ou com- plexes. On suppose que la sériePf_nconverge uniformément surI, et que sa somme

+∞X

n=0

f_n, est continue par morceaux surI(si lesfnsont continues surI, c’est automatique) AlorsX

Z

I

fnconverge et Z

I

µ_+∞

X

n=0

fn

¶

=

+∞X

n=0

Z

I

fn.

Ce théorème est plus simple, mais ne marche que pour un segment. La convergence uniforme est en général montrée par convergence normale.

VII.3 Continuité des fonctions définies par des intégrales

Théorème Soitf une fonction à valeurs réelles ou complexes définie surX×I, oùX⊂E,Eevn de dimension finie. On suppose :

1. f continue par rapport à la première variable : pour toutt∈I, la fonctionf(.,t) : x7→f(x,t) est continue surX.

2. f continue par morceaux par rapport à la deuxième variable : pour toutx∈X,f(x, .) : t7→f(x,t) continue par morceaux surI.

3. Il existe une fonctionφcontinue par morceaux, (positive) et intégrable surI, telle que

∀x∈X ∀t∈I |f(x,t)| ≤φ(t) (hypothèse de domination).

Alorsg:x→ Z

I

f(x,t)d test définie et continue surX.

Extension Soitf une fonction à valeurs réelles ou complexes définie surX×I, oùX⊂E,E evn de dimension finie. On suppose :

1. f continue par rapport à sa première variable.

2. f continue par morceaux par rapport à sa deuxième variable.

3. Pour tout compactKinclus dansX, il existe une fonctionφK continue par morceaux, positive et intégrable surI, telle que

∀x∈K ∀t∈I |f(x,t)| ≤φK(t) (hypothèse de domination sur tout segment).

Alorsg:x→ Z

I

f(x,t)d test définie et continue surX.

VII.4 Classe C

(dérivation sous le signe R )

Théorème SoitAetIdeux intervalles deR, etf : (x,t)7→f(x,t) une fonction définie surA×I, à valeurs dansK=RouC telle que :

1. Pour toutx∈A,f(x, .) : t7→f(x,t) est continue par morceaux et intégrable surI, 2. f est dérivable par rapport à sa première variable surA×I, et∂f

∂x vérifie les hypothèses du théorème de continuité (avec hypothèse de domination ou hypothèse de domination sur tout segment)

alors l’applicationg : x7→

Z

I

f(x,t)d test de classeC¹surA, et sa dérivée estg⁰ :x7→

Z

I

∂f

∂x(x,t)d t.

Théorème (ClasseC^k) On notekun entier naturel non nul. SiAetIsont deux intervalles, sif : (x,t)7→f(x,t) est une fonction définie surA×Itelle que :

1. f estkfois dérivable par rapport à sa première variable surA×I 2. Pour toutjtel que 0≤j≤k−1, pour toutx∈A,

∂^jf

∂x^j(x, .) : t7→∂^jf

∂x^j(x,t)

est continue par morceaux et intégrable surI, 3. ∂^kf

∂x^k vérifie les hypothèses du théorème de continuité (avec hypothèse de domination ou de domination sur tout segment),

alorsg :x7→

Z

I

f(x,t)d test de classeC^ksurA, ses dérivées successives sontg^(j) :x7→

Z

I

∂^jf

∂x^j(x,t)d t (1≤j≤k)

VIII Equations différentielles

On désigne parKle corpsRou le corpsC.

VIII.1 Le théorème d’existence et d’unicité

Théorème (dit d’existence et d’unicité, ou de Cauchy-Lipschitz, ou de Cauchy-Lipschitz linéaire) :

Hypothèses :SoitJunintervalledeR,AetBdeux applicationscontinuessurJ, à valeurs dansMn(K) (pour toutt, A(t) est une matrice carrée) etMn,1(K) (pour toutt,B(t) est une matrice colonne) respectivement.

Conclusion :Sit₀∈J,X₀∈Mn,1(K). Il existe une solution uniqueΦde l’équationX⁰=A(t)X +B(t), définie surJet prenant ent0la valeurX0.

Exemple SoitΦ : J−→Mn,1(K) une solution d’une équation homogène (H) : X⁰=A(t)X oùA : J−→Mn(K) est continuesur l’intervalleJ. On a alors

∃t∈J Φ(t)=(0)⇐⇒ ∀t∈J Φ(t)=(0)

(on note pour gagner de la place (0) au lieu de







 0

... 0









). En effet, siΦ(t₀)=(0),Φet(0) sont deux solutions de (H) prenantf ent₀la valeur (0)

Traduction quandn=1 Il se trouve que dans le casn=1, on a en général affaire à des équationsa(x)y⁰+b(x)y=c(x), qui se ramènent à la forme précédente (x⁰=a(t)x+b(t)) lorsqueane s’annule pas.

Hypothèses :Soit J un intervalle deR,a,betc trois applications continues surJ, à valeurs dansK=R ouC. On suppose que∀x∈J a(x)6=0.

Conclusion :Six₀∈J ety₀∈K, il existe une solution uniqueφde l’équationa(x)y⁰+b(x)y =c(x), définie surJet prenant enx₀la valeury₀.

Equations scalaires d’ordre 2 On remarque que l’équation dite « linéaire scalaire d’ordre 2 »a(x)y⁰⁰+b(x)y⁰+c(x)y=d(x) peut se réécrire sous forme d’un système différentiel d’ordre 2











y⁰ = z

z⁰ = −b(x)

a(x)z−c(x)

a(x)y+d(x) a(x) et on en déduit. . .

Hypothèses :a,b,c,dsont continues surI, à valeurs dansK,ane s’annule pas surI.

Conclusion :Soitx₀un élément deI, (y₀,y⁰₀) un couple d’éléments deK. Il existe une solution unique de l’équation a(x)y⁰⁰+b(x)y⁰+c(x)y=d(x),φ, définie surIet vérifiantφ(x₀)=y₀etφ⁰(x₀)=y₀⁰.

VIII.2 Structure de l’espace des solutions

Théorème

On nomme (E) l’équation « complète »X⁰=A(t)X +B(t) et (H) l’équation « homogène associée » :X⁰=A(t)X. On noteSEl’ensemble des solutions de (E),SHl’ensemble des solutions de (H).

SiA : J−→Mn(K) etB : J−→Mn,1(K) sont continues sur l’intervalleJ, alorsS_H est un sous-espace vectoriel de C¹(J,Mn,1(K)), et dim(SH)=n.

L’ensembleS_E des solutions de l’équation « complète » (E) est un sous-espace affine deC¹(J,Mn,1(K)), de direction SH, donc de dimensionn.

Ce qui signifie que si l’on trouve une solution quelconqueΨde (E), on obtient toutes les solutions de (E) en lui ajoutant les solutions de (H) :

S_E=Ψ+S_H={Ψ+Φ;Φ∈S_H}

Traduction :n=1 On note (E) l’équation « complète »a(x)y⁰+b(x)y=c(x) et (H) l’équation « homogène associée » :a(x)y⁰+b(x)y=0. On noteSEl’ensemble des solutions de (E),SHl’ensemble des solutions de (H).

Sia,b,c:J−→Ksont continues sur l’intervalleJ, et siane s’annule pas surJ, alorsS_Hest un sous-espace vectoriel de dimension 1 deC¹(J,K) (i.e. une droite vectorielle), et l’ensembleS_Edes solutions de l’équation « complète » (E) est un sous-espace affine deC¹(J,K), de directionS_H, donc est de dimension 1 (i.e. une droite affine).

En bref, cela signifie que dans le détail les solutions de (E) se présenteront toujours sous la forme {ψ0+αφ0;α∈K} où ψ0est une solution de (E),φ0une solution de (H).

Application aux équations linéaires scalaires d’ordre 2

On note (H) l’équationa(t)x⁰⁰+b(t)x⁰+c(t)x=0 etS_Hl’ensemble de ses solutions sur l’intervalleI. Si on suppose que a,b,csont continues surIet queane s’annule pas, alorsS_Hest un sous-espace vectoriel de dimension 2 deC²(I,K).

Si on suppose quea,b,c,dsont continues surIet queane s’annule pas surI, l’ensembleS_Edes solutions de l’équa- tion

(E) :a(t)x⁰⁰+b(t)x⁰+c(t)x=d(t) est un sous-espace affine deC²(I,K) de dimension 2, de directionS_H(ce qui signifie encore que siΨ∈S_E, alors

S_E=Ψ+S_H={Ψ+Φ;Φ∈S_H}

VIII.3 Résolution d’une équation différentielle linéaire

a Cadre général

On reprend (E) l’équationX⁰=A(t)X +B(t) et (H) l’équationX⁰=A(t)X, avecAetBcontinues sur un intervalleI, à valeurs dansMn(K) etMn,1(K) respectivement.

Définition : On appelle système fondamental de solutions de l’équation homogène toute base (Φ1, . . . ,Φn) deS_H.