Soit l’espace vectoriel réel des fonctions continues à valeurs réelles définies sur l’intervalle , que l’on munit du produit scalaire

MATHÉMATIQUES I

Partie I -

Soit l’espace vectoriel réel des fonctions continues à valeurs réelles définies sur l’intervalle , que l’on munit du produit scalaire

et des normes

, ,

.

Pour tout , on note (respectivement ) la fonction définie sur par

la formule (respectivement ).

Pour tout , on note la fonction définie sur , -périodique, paire, coïn- cidant avec sur l’intervalle et la fonction définie sur , -périodique, impaire, coïncidant avec sur l’intervalle et vérifiant la condition suivante : en tout point de

. I.A -

I.A.1) On considère la fonction définie sur par la formule .

Représenter graphiquement les fonctions et .

I.A.2) Soit un élément de . Montrer (soigneusement) que la fonction est définie et continue, et que la fonction est définie et continue par morceaux.

Donner une condition nécessaire et suffisante pour que la fonction soit conti- nue.

E

0,π

[ ]

f g

( , ) (f g) 2

π--- f t( )g t( )dt

0

∫

→ =

f→ f ₁ f t( )dt

0

∫

=

f→ f ₂ = (f f) f→ f _∞ sup

0≤ ≤t π f t( )

=

n∈IN c_n s_n [0,π]

c_n( )t = cos( )nt s_n( )t = sin( )nt

f ∈E fˆ IR 2π

f [0,π] f˜ IR 2π

f ]0,π[

x IR

f˜( )x 1

2--- (f˜(x+h)+f˜(x–h))

h →lim0,h>0

 

 

=

f [0,π]

f t( ) = –2t+π

fˆ f˜

f E fˆ

f˜

f˜

Filière PC

I.B -

I.B.1) Soit un élément de .

Montrer que sur l’intervalle , le problème aux limites

admet une solution et une seule notée . Indication : si on désigne par

:

la primitive de sur s’annulant en , on pourra exprimer à l’aide d’intégrales comportant .

L’objet du problème est d’étudier l’application .

I.B.2) Déterminer précisément lorsque est la fonction définie au I.A.1) et en donner une représentation graphique.

Partie II - Valeurs propres et vecteurs propres de T

II.A - Montrer que l’application : est un endomorphisme de . Déte- rminer son noyau et son image.

II.B - Pour tout entier naturel , calculer .

II.C - Vérifier que, pour tout couple d’éléments de ,

Que peut-on dire de lorsque et sont des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes ?

II.D - Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de .

II.E - On note .

II.E.1) Montrer que est une famille orthonormale.

f E

0,π

[ ]

y″ = –f y( )0 = y( )π = 0





Tf

F₀ t f u( )du

0

∫

a

f [0,π] 0 Tf

F₀

T

Tf f

T f →Tf E

n T c_n

f₁f₂

( , ) E

T f₁ f₂

( ) = (f₁ T f₂) f₁ f₂

( ) f₁ f₂

T S = ( )s_{n n∈IN∗}

S

II.E.2) Soit un élément de . Pour tout , on pose .

Que représente pour la fonction -périodique ?

En conclure que : .

Déduire de là que, si est orthogonal à , la fonction est nulle.

II.F - On note l’ensemble des lorsque décrit . II.F.1) La famille est-elle orthonormale ?

II.F.2) Pour tout , on pose

, où est un élément de . Montrer que .

Que peut-on dire si est orthogonal à ?

Partie III - Représentation intégrale de T

III.A - Soit un élément de . En écrivant la formule de TAYLOR avec reste intégrale à l’ordre entre et puis entre et , montrer que, pour tout

,

, où

III.B - Montrer que est l’unique fonction définie sur le carré sépa- rément continue en et en satisfaisant à la condition

pour tout et pour tout . III.C -

III.C.1) Démontrer que la fonction admet un maximum atteint en un point unique de et déterminer et (pour fixé dans , on pourra commencer par étudier la fonction sur ).

f E N∈IN^*

f_N (f s_n)s_n

n=1

∑

=

f_N 2π f˜

f –f_{N 2}

Nlim→+∞ = 0

f S f

C c_n n IN

C N∈IN^* h_N 1

2---(f c₀) (f c_n)c_n

n=1

∑

+

= f E

f –h_N2

Nlim→+∞ = 0

f C

f E

1 0 x 0 π

x∈[0,π]

T f x( ) k x t( , )f t( )dt

0

∫

=

k x t( , )

t(π–x)

--- si π 0≤ ≤t x x(π–t)

--- si π 0≤x<t≤π







=

k [0,π]×[0,π]

x t

T f x( ) k x t( , )f t( )dt

0

∫

= f ∈E x∈[0,π]

k M

A [0,π]×[0,π] M A x [0,π]

t→k x t( , ) [0,π]

III.C.2) En déduire que, pour tout ,

. (1)

III.C.3) En considérant la suite où

et en calculant et montrer que l’inégalité (1) ne peut être amé- liorée.

III.D -

III.D.1) Prouver que, pour tout et tout , .

Conclure que

.

III.D.2) Soient un élément de et une suite d’éléments de telle que

.

Prouver que la suite converge uniformément sur vers la fonction .

III.D.3) Application : prouver que, pour tout ,

et que la série du second membre converge normalement sur . En déduire que pour tout couple de points de ,

.

III.D.4) Déduire de la question précédente que pour tout , et préciser les fonctions pour lesquelles il y a égalité.

f ∈E Tf _∞ π

4--- f ₁

≤

f_n ( )_n≥1

f_n( )t 2 π---t

  ⁿ si 0 t π 2---

≤ ≤ 2

π---(π–t)

 

 ⁿ si π ---2<t≤π









=

T f_n π 2---

   f_{n 1}

f ∈E x∈[0,π] T f x( ) π²

4 6 --- f ₂

≤

Tf _∞ π² 4 6 --- f ₂

≤

f E ( )ϕ_{n n≥1} E

f –ϕ_{n 2}

nlim→+∞ = 0 Tϕ_n

( )_n≥1 [ , ]0π

Tf

f ∈E

Tf 1

n²

---(f s_n)s_n

n=1

∑

=

0π [ , ] x t

( , ) [ , ]0π

k x t( , ) 2

π--- sin(nx)sin( )nt n² ---

n=1 +∞

∑

=

f ∈E Tf ₂≤ f ₂

III.E -

III.E.1) A l’aide du II.F donner une nouvelle expression de comme somme d’une série de fonctions.

III.E.2) En déduire une nouvelle écriture de comme somme d’une série de fonctions, en utilisant la famille .

Partie IV - La suite des itérés de l’endomorphisme T

On définit la suite par la condition initiale et la relation de récurrence

.

IV.A - On pose, pour tout et tout , .

IV.A.1) Démontrer que la série du second membre converge normalement sur l’intervalle .

IV.A.2) Prouver que , pour tout et tout . IV.B - Déterminer les valeurs propres et les espaces propres de . IV.C -

IV.C.1) Soit un élément de . Montrer que la suite de fonctions converge uniformément sur vers une fonction que l’on déterminera ; (il pourra être utile d’étudier le comportement de la suite

lorsque augmente indéfiniment).

IV.C.2) Donner l’expression explicite de la limite de lorsque est la fonc- tion définie au I.A.1).

••• FIN •••

Tf k

c_n ( )

Tⁿ

( )n≥1 T¹ = T

Tⁿ⁺¹ = TⁿoT

f ∈E n≥1

T_nf 1

p²ⁿ

---(f s_p)s_p

p=1

∑

=

0π [ , ]

Tⁿf = T_nf f ∈E n∈IN^*

Tⁿ

f E (Tⁿf)n≥1

0π [ , ]

1 p²ⁿ ---

p=2

∑

 

 

 

n≥1

n

Tⁿf

( ) f