Pour tout appartenant à , on note la fonction définie sur par la

MATHÉMATIQUES I

MATHÉMATIQUES I Filière MP

On étudie certaines classes de fonctions appartenant à l’ensemble des fonc- tions bornées et continues par morceaux de dans : c’est un espace vectoriel sur . Il est muni de la norme uniforme définie par

Pour tout appartenant à , on note la fonction définie sur par la

formule : .

On note la fonction définie par si , sinon. Tous les sous-espa- ces vectoriels considérés seront des -espaces vectoriels. On notera la conju- guée complexe de , c’est-à-dire la fonction : .

Partie I -

Soit une fonction appartenant à . On appelle moyenne de , s’il existe, le nombre

avec (1)

On dira alors que la fonction est moyennable . I.A -

I.A.1) Montrer que est une forme linéaire sur , que l’ensemble des fonctions moyennables est un sous-espace vectoriel de , et que est une forme linéaire sur . On notera de façon équivalente ou cette moyenne.

I.A.2) Vérifier que et sont lipchitziennes pour .

I.B - Montrer que la moyenne est invariante par translation : si et on pose , alors est moyennable et .

I.C -

I.C.1) Soit une fonction de de période ( ). Montrer que pour tout , . En déduire que est moyennable, et que est égale à la moyenne sur n’importe quel intervalle de longueur .

B

IR CI CI

x _∞ supx t( )

t∈IR

=

ω IR e_ω IR

e_ω( )t = e^iωt

U U t( ) = 1 t>0 = 0

CI x∗

x tax t( )

x

B

M x( ) M_T( )x

Tlim→∞

= M_T( )x 1

T---- x t( )dt

0

∫

= x

M_T

B

M

B

M

M_T M . _∞

τ∈IR x∈

M

x

B

a∈IR x t( )dt

a a+P

∫

∫

P

Filière MP

MATHÉMATIQUES I Filière MP

I.C.2) En particulier montrer que pour réel non nul, et .

I.C.3) Montrer que si , alors est moyennable et . I.C.4) Soit la fonction définie par . Vérifier que

, calculer . Examiner le comportement de lorsque , et en déduire que n’est pas moyennable.

I.D - La fonction est dite de carré moyennable si admet une limite lorsque tend vers . Cette limite est appelée moyenne quadratique de :

(2) On notera l’ensemble des fonctions de de carré moyennable.

I.D.1) Montrer que toute fonction qui tend vers à l’infini est aussi de moyenne quadratique nulle.

I.D.2) Pour , donner une majoration de et

en fonction de , , .

I.D.3) Montrer, à l’aide de et , que n’est pas un espace vectoriel.

I.E - On dira que deux fonctions, de sont comparables si existe (3) I.E.1) Si est un espace vectoriel inclus dans , montrer que deux fonc- tions sont comparables (développer et ). Il en résulte que sur , est un « pseudo-produit scalaire » (il est linéaire à gauche, semi-linéaire à droite, positif, mais pas strictement). On a en particulier

(4) I.E.2) On dira que deux fonctions , sont orthogonales si . Que vaut alors ?

I.E.3) Écrire l’inégalité de Schwarz (on ne demande pas de la démontrer).

M e( )_ω = 0 ω M e( )₀ = 1

x t( )

tlim→∞ = c

x

x₀ x₀( )t = U t( )e^iln(t+1)

x₀∈

B

x₀

x TaM_Tx²

T + ∞ x

M x² M_T(x²)

Tlim→∞

=

M

B

0

x y, ∈

M

x₀ U

M

x y,

M

<x y >, M x y∗( ) M_T(x y∗)

Tlim→∞

= =

E

M

x y, ∈E x+y² x+iy²

E (x y, )a<x y, >

M x+y² = M x²+M y²+2Re <x y >,

x y, ∈

M

M x+y²

MATHÉMATIQUES I Filière MP I.F - Soit un réel strictement positif. Montrer que l’ensemble des fonctions - périodiques de est un espace vectoriel de fonctions de carré moyennable et comparables.

I.G - Soit

distincts }

l’ensemble des polynômes trigonométriques (élargi par rapport à celui utilisé dans les séries de Fourier : ici les fréquences sont quelconques).

Montrer que est stable par produit de fonctions, et que l’application définit un produit scalaire sur .

En particulier, pour , établir que .

I.H - Soit une suite qui converge uniformément vers . I.H.1) Montrer l’existence de (utiliser I.A.2).

I.H.2) En déduire que et (pour , on choisira tel que

et ).

I.I - Soit une suite qui converge uniformément vers .

I.I.1) Montrer que .

I.I.2) Montrer que existe.

I.I.3) En suivant la méthode du I.H.2), en déduire que et .

Partie II -

On appelle l’ensemble des limites uniformes sur de suites de fonctions appartenant à .

II.A - Montrer les propriétés suivantes :

II.A.1) est un espace vectoriel inclus dans , et fermé pour . II.A.2) Toutes les fonctions de sont comparables, et continues.

II.A.3) Si , alors .

P P

B

P

k=1 N

∑

=

P

x y,

( )a<x y, >

P

x c_ke_ω

k

k=1

∑

= M x² c_k²

k=1

∑

=

x_n∈

M

B

m M x( )_n

nlim→∞

=

x∈

M

x_n∈

M

B

K = sup { x_{n ∞}, x _∞(n∈IN)}<+ ∞ M x_n²

nlim→∞ = m₂

x∈

M

M x² = m₂

Q

P

Q M

M

Q

x∈

Q

Q

II.A.4) Si et , la série de fonctions

converge normalement sur et . II.A.5) est stable par produit des fonctions.

II.A.6) Soit , à valeurs réelles, et continue. Montrer que (le montrer d’abord lorsque est une fonction polynomiale à coeffi- cients complexes).

II.B - Les coefficients de Fourier-Bohr de sont définis, pour une fréquence

, par .

Si est une suite de convergeant uniformément vers , la réunion des fréquences présentes dans chacun des est un ensemble fini ou dénombrable

que l’on énumère donc selon le cas ou .On

pose

et , « degré » de .

Montrer que pour tout réel existe et vaut . En

déduire que :

si alors , et pour tout , .

II.C - Si est fini, montrer que

. En déduire la formule de Parseval : . II.D - On se propose d’établir la formule de Parseval dans le cas où est infini.

On construit la suite définie par , . Soit

, on a donc suite strictement croissante vers (le fait que la suite existe est admis).

II.D.1) On pose

. Calculer et en déduire que .

c_k

k=0

∑

x c_k

k=0

∑

= IR x∈

Q

Q

x x, ∈

Q

yox∈

Q

x∈

Q

ω∈IR c( )ω = <x,e_ω>

P_n

P

P_n

Ω = {ω_k, 0≤ ≤k m} Ω = {ω_k,k ∈IN}

P_n c_{n k,} e_ω

k k

∑

= d n( ) = max{k : c_{n k,} ≠0} P_n

ω,c( )ω c( )ω <P_n,e_ω>

nlim→∞

=

ω Ω∉ c( )ω = 0 k c( )ωk c_k c_{n k,}

nlim→∞

= =

Ω

x t( ) c_ke^iωkt

k=0 m

∑

= M x² c_k²

k=0 m

∑

= Ω n_j n₀ = 0 n_k = min(n : d n( )>d n( _k–1)) q_k( )t P_n

k( )t

= d_k = d n( )_k +∞

n_j

S_N c_ke_ω

k

k=0 N

∑

= M x–S_N² c_k²

k=0

∑

MATHÉMATIQUES I Filière MP II.D.2) Pour tout , montrer que est orthogonal au sous-espace vec- toriel engendré par les où . En déduire que

II.D.3) Déduire alors de la convergence uniforme sur de vers que

En conclure que

, (5)

Partie III -

Pour une fonction , la fonction de corrélation de est définie (si cela existe) par

(6) où est la conjugaison complexe.

On appellera fonction stationnaire une fonction pour laquelle , existe.

III.A - Montrer qu’une fonction stationnaire appartient à .

III.B - Montrer que , et que .

III.C - Si est stationnaire, montrer qu’il en est de même de et que, pour tout appartenant à , on a .

III.D -

III.D.1) Si appartient à , montrer que est stationnaire. On note

ses fréquences et coefficients de Fourier-Bohr, et le polynôme trigonométri- que défini par :

III.D.2) Pour tout , calculer .

k≥0 x S_d

– k

E_k e_ω

j 0≤ ≤j d_k

M x–q_k² M x S_d

k

– ²

≥ M x² c_j²

j=0 d_k

∑

–

=

IR P_n x

M x–q_k²

klim→∞ = 0

M x–S_n²

nlim→∞ = 0 M x² c_k²

k=0

∑

=

x∈

B

τ∈IR γ_x( )τ <x x, _τ> M_T(xx∗_τ)

Tlim→∞

= =

∗

x ∀τ∈IR γx( )τ

M

γx( ) γτ ≤ x( )0 γx( )–τ = γx( )∗τ

x y = e_ωx

τ IR γy( )τ = γx( )τ e^iωτ

x

Q

S_n

S_n c_ke_ω

k

k=0 n

∑

=

τ,τ∈IR γS_n( )τ

III.D.3) Montrer que est la somme de la série de fonctions

normalement convergente sur et que appartient à (on majorera en fonction de ).

III.E - Soit une fonction périodique de .

III.E.1) Montrer qu’elle est stationnaire, et que est aussi périodique.

III.E.2) On note

les coefficients de Fourier complexes de . Montrer que les coefficients de Fou- rier de sont .

III.F - Soit la partie entière de et sa partie fractionnaire.

La fonction définie par où est un réel irrationnel, est une fonction périodique de , de coefficients de Fourier complexes .

III.F.1) Calculer les . Que vaut ?

III.F.2) Calculer pour et vérifier que est continue sur . III.F.3) En déduire que . Calculer

.

••• FIN •••

γx

c_k²e_ω

k

k=0 + ∞

∑

IR γx

Q

γx( ) γτ – S_n( )τ M x–S_n²

x 1–

B

γ_x 1–

a_k x t( )e^–2iπktdt, k∈ZZ

0

∫

=

x γx c_k = a_k²

E t( ) t F t( ) = t–E t( ) x₁ x₁( )t = e^{–2iπaF t( )} a

1–

B

a_k

a_k²

k=–∞

∑

γx₁( )τ τ∈[0 1 , [ γx₁ IR

γ_x1∈

Q

1 ( )– ^k π²(a+k)² ---

k=–∞ +∞

∑