Soitf la fonction définie surRparf(t)=tsur [0;π
2[, f(t)= π 2 sur [π
2;π] ;f est paire ;f est 2π-périodique 1. Dessinerf sur au moins deux périodes
1 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9
−1
−2
−3
b b b
b
b b
b b b b b
2. Calculera0etVe f f2 a0= 1
2π Z+π
−π
f(t)d t a0= 1
2π
×2× Z+π
0 f(t)d t a0=1
π
× ÃZπ
2
0 f(t)d t+ Zπ
π 2
f(t)d t
!
a0=1 π
× ÃZπ
2 0 t d t+
Zπ π 2
π 2d t
!
a0=1 π
× ÃZπ
2 0
t d t+ π 2
Zπ
π 2
1d t
!
a0=1 π
× Ã·
t2 2
¸
π 2 0
+ π 2[t]ππ
2
!
a0=1 π
× µµπ2
8
¶
−0 + π 2(π−
π 2)
¶
a0=1 π
× µπ2
8 + π 2×
π 2
¶
a0=1 π
×3π2 8 a0=3π
8
Ve f f2 = 2 2π
Z+π
−π
f2(t)d t carf2est 2π-périodique Ve f f2 = 2
2π
×2× Z+π
0 f2(t)d t carf2est paire Ve f f2 =2
π
× ÃZπ
2
0 f2(t)d t+ Zπ
π 2
f2(t)d t
!
d’après la relation de Chasles
Ve f f2 =2 π
× ÃZπ
2 0 t2d t+
Zπ π 2
³π 2
´2
d t
!
carf(t)=
t sur [0;π 2] π
2 sur [π 2;π] Ve f f2 =2
π
× ÃZπ
2 0
t2d t+π2 4
Zπ
π 2
1d t
!
Ve f f2 =2 π
×
·t3 3
¸
π2 4 0
+ π2
4 [t]ππ
2
Ve f f2 =2 π
× µµπ3
24
¶
−0 + π2
4
³ π−
π 2
´¶
Ve f f2 =2 π
× µπ3
24+ π3
8
¶
Ve f f2 =2 π
× π3
6 Ve f f2 =
π2 3 3. Pour toutn∈N∗, calculer pour toutn∈N∗,anetbn
Puisque la fonction est paire, les coefficientsbnsont nuls an= 2
2π Zπ
−π
f(t) cosnt d tcarfest une fonction 2π-périodique an= 2
2π
×2× Zπ
0 f(t) cosnt d tcarf est une fonction paire an= 2
2π×2× ÃZπ
2 0
f(t) cosnt d t+ Zπ
π 2
f(t) cosnt d t
!
d’après le relation de Chasles
an= 2 2π
×2× ÃZπ
2
0 tcosnt d t+ Zπ
π 2
π
2cosnt d t
!
carf(t) sur [0;π
2] etf(t)= π 2 sur [π
2;π]
Intégrons Zπ
2
0 tcosnt d tpar parties On poseu(t)=t et v′(t)=cosnt On calculeu′(t)=1 et v(t)=sinnt
n On obtient :
Zπ
2 0
tcosnt d t=
·
t×sinnt n
¸π2
0
− Zπ
2 0
1×sinnt n d t
donc Zπ
2 0
tcosnt d t= µπ
2×sinnπ2
n − 0
¶
− 1 n
Zπ
2 0
sinnt d t puis
Zπ
2
0 tcosnt d t= π
2n×sinnπ
2 − 1
n
·−cosnt n
¸π
2 0
puis Zπ
2 0
tcosnt d t= π
2n×sinnπ
2 − 1
n
µ−cosnπ2+1 n
¶
donc Zπ
2 0
tcosnt d t= π
2n×sinnπ
2 − 1
n2
³
1−cosnπ 2
´
Le calcul du coefficient devient alors an= 2
π
× Ã
π
2n×sinnπ
2 − 1
n2
³
1−cosnπ 2
´ +
π 2
Zπ π 2
cosnt d t
!
C’est à direan=2 π
× Ã
π
2n×sinnπ
2 − 1
n2
³
1−cosnπ 2
´ +
π 2
·sinnt n d t
¸π π 2
!
an= 2 π
× µ π
2n×sinnπ
2 − 1
n2
³
1−cosnπ 2
´ +
π 2n
³
0−sinnπ 2
´¶
Et en simplifiant : an= 2
π
× µ π
2n×sinnπ
2 − 1
n2
³
1−cosnπ 2
´
− π 2nsinnπ
2
¶
On obtient finalementan=2 π
× µ 1
n2
³ cosnπ
2−1´¶ an= 2
πn2
³ cosnπ
2−1´
4. ExpliciterS5(t)=a0+
5
X
n=1
ancosnωt+bnsinnωt
n 0 1 2 3 4 5
an
3π
8 −2
π
−1 π
− 2
9π 0 − 2
25π
bn ; 0 0 0 0 0
donc S5(t)=3π 8 −2
πcost−1
πcos(2t)− 2
9πcos(3t)− 2
25πcos(5t)
Le graphe des deux fonctionf etS5donne :
1 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
−1
−2
−3
f S5
2
