Soit f la fonction définie sur

Soitf la fonction définie surRparf(t)=1 sur [0;π

2[, f(t)= π 2 sur [π

2;π[ ;f est impaire et 2π-périodique 1. Dessinerf sur au moins deux périodes

0 ^π₂ π ^3π

2 2π ^5π

2 3π ^7π

2

−π

−π 2

−3π

−2π 2

−5π

−3π 2

−7π

2 −1

−2

−3 1 2 3

2. Calculera0etV_{e f f}²

a0= 1 2π

Z+π

−π

f(t)d t orf est impaire donc a0=0

V_{e f f}² = 1 2π

Z+π

−π

f²(t)d t carf²est 2π-périodique

V_{e f f}² = 1 2π

×2× Zπ

0 f²(t)d t carf²est paire V_{e f f}² =1

π

× ÃZ^π

2

0 f²(t)d t+ Zπ

π 2

f²(t)d t

!

d’après la relation de Chasles

V_{e f f}² =1 π

× ÃZ^π₂

0 t²dt+ Z^π

π 2

³π 2

´2

dt

!

carf(t)=







t sur [0;π 2] π

2 sur [π 2;π] V_{e f f}² =1

π

× Ã·

t³ 3

¸

π 2 0

+

³π 2

´2

× h

ti^π

π 2

!

V_{e f f}² =1 π

× µµπ³

24−0

¶ +

³π 2

´2

×

³ π−

π 2

´¶

V_{e f f}² =1 π

× µπ³

24+ µπ³

8

¶¶

V_{e f f}² =1 π

× π³

6 V_{e f f}² =

π² 6

3. Pour toutn∈N^∗, calculer pour toutn∈N^∗,anetbn

Pour toutn∈N^∗, on a : an= 2

2π Zπ

π

f(t) cosntdtcarf est une fonction 2π-périodique

orf est impaire et cos est paire donc le produitf ×cos est une fonction impaire.

donc an=0

Pour toutn∈N^∗, on a : bn= 2

2π Z^π

−π

f(t) sinntdtcarf est une fonction 2π-périodique

bn= 1 π

×2× Z^π

0 f(t) sinntdtcar la fonctionf×cos est paire bn= 2

π

× ÃZ^π

2 0

f(t) sinntdt+ Zπ

π 2

f(t) sinntdt

!

d’après la relation de Chasles

bn= 2 π

× ÃZ^π₂

0 tsinntdt+ Z^π

π 2

π

2sinntdt

!

carf(t)=







t sur [0;π 2] π

2 sur [π 2;π]

1

Intégrons par parties

on poseu(t)=t et v^′(t)=sin(nt) On calculeu(t)=t et v(t)=−cos(nt)

n On obtient :

bn= 2 π

× Ã·

t×−cosnt n

¸

π 2 0

− Z^π

2 0

−cosnt n dt+

π 2×

Zπ π 2

sinntdt

!

carf(t)=







t sur [0;π 2] π

2 sur [π 2;π] bn= 2

π

×

õ−πcosn^π₂

2n −0

¶

−

·−sinnt n²

¸^π₂

0

+ π 2×

·−cosnt n

¸^π

π 2

!

bn= 2 π

×

µ−πcosn^π₂

2n −−sinn^π₂ n² +

π

2×−(−1)ⁿ+cosn^π₂ n

¶

bn= 2 π

×

µ−πcosn^π₂

2n +sinn^π₂ n² −

π 2×(−1)ⁿ

n +

π

2×cosn^π₂ n

¶

bn= 2 π

× µsinn^π₂

n² − π 2×(−1)ⁿ

n

¶

bn=2sinn^π₂ n²π

−(−1)ⁿ n

Sinest pair alorsn=2petan=a2p=2sinpπ (2p)²π

−(−1)^2p

2p =0− 1 2p =−1

n Sinest impair alorsn=2p+1 et

an=a2p+1=2sinpπ+^π₂ (2p+1)²π

−(−1)^2p+1

2p+1 = 2(−1)^p (2p+1)²π

+ 1

2p+1= 2(−1)^p (2p+1)²π

+ 1 2p+1

4. ExpliciterS5(t)=a0+

5

X

n=1

ancosnωt+bnsinnωt

n 0 1 2 3 4 5

an 0 0 0 0 0 0

bn ; 2

π

+1 −1 2

−2 9π

+1 3

−1 4

2 25π

+1 5

donc S5(t)= µ2

π +1

¶

sint−1

2sin(2t)+ µ−2

9π +1

3

¶

sin(3t)−1

4sin(4t)+ µ 2

25π +1

5

¶ sin(5t)

Le graphe est alors le suivant :

0 ^π₂ π ^3π

2 2π ^5π

2 3π ^7π

2

−π

−π 2

−3π

−2π 2

−5π

−3π 2

−7π 2

b−π

2

b

π 2

bπ

2