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Intégrale de Riemann
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Université d’Eleuthéria-Polites
Cours de Licence—/
Bruno Deschamps Version.
« Pour chaque problème complexe, il exie une solution simple, diree... et fausse ».
Table des matières
Conruion.
. Intégrale des fonions en escalier. . .
.. Subdivisions. . .
.. Fonions en escalier. . .
.. Intégrale. . .
. Propriétés élémentaires de l’intégrale des fonions en escalier. . .
. Intégrales de Riemann. . .
.. Sommes de Riemann, sommes de Darboux. . .
.. Fonion Riemann-intégrables. . .
. Propriétés élémentaires. . .
.. Propriétés fondamentales. . .
.. Intégrales orientées. . .
.. Sommes de Riemann particulières. . .
Caraérisation des fonions Riemann-intégrables.
. Caraérisation de Lebesgues. . .
.. Ensemble négligeable, propriétés vraies presque partout. . .
.. Oscillation d’une fonion. . .
.. Le théorème de Lebesgue. . .
. Conséquences. . .
. Mesure de Riemann. . .
Fonions réglées.
. Définition, propriétés. . .
. Exemples. . .
. Caraérisation. . .
Propriétés.
. Intégrale fonion de la borne supérieure. . .
.. Continuité, dérivabilité. . .
.. Primitives. . .
. Calcul. . .
.. Translations, homotéthies. . .
.. Intégration par parties. . .
.. Changement de variable. . .
. Relations, inégalités. . .
.. Formules de Taylor. . .
.. Formules de la moyenne. . .
.. Inégalités. . .
Intégrales dépendants d’un paramètre.
. Suites d’intégrales. . .
. Continuité sous le signeR
. . .
. Dérivabilité sous le signeR
. . .
. Théorème de Fubbini. . .
Calcul des primitives.
. Généralité. . .
. Méthodes. . .
.. Fraions rationnelles. . .
.. Fonions trigonométriques. . .
.. Intégrales abéliennes. . .
. Primitives usuelles. . .
Calculs approchés d’intégrales.
. Interpolation polynomiale. . .
.. Méthode des reangles. . .
.. Méthode des trapèzes. . .
. Formule d’Euler - Mac-Laurin. . .
.. Polynômes et nombres de Bernoulli. . .
.. Applications des nombres et polynômes de Bernoulli. . .
.. La formule d’Euler - Mac-Laurin . . .
. Méthode de Newton. . .
Intégrale des fonions en escalier
Con ru ion.
On considère deux réelsaetbtels quea < b.
. Intégrale des fonions en escalier.
.. Subdivisions.
Définition.—Une "subdivision" du segment[a, b]eune suite finieriement croissante(x0, x1,· · ·xn) d’éléments de[a, b]telle quex0=aetxn=b. Une telle subdivision sera notée
s:x0< x1<· · ·< xn
On appelle "pas des", le réel notéπ(s)et défini par π(s) = sup
1≤i≤n
(xi−xi−1) On noteS ub([a, b])l’ensemble des subdivisions de[a, b].
L’ensembleS ub([a, b]) enaturellement en bijeion avecPf(]a, b[), l’ensemble des parties finies de ]a, b[. En effet, une bijeionϕ :S ub([a, b])→ Pf(]a, b[) epar exemple donnée par l’application ϕqui à une subdivisions:a=x0< x1<· · ·< xp =b de [a, b], associeϕ(s) ={x1,· · ·, xp−1}sip≥2 et ϕ(s) =∅sinon.
Définition.—Soitsets0deux subdivisions de[a, b]. On dit ques0 eplus fine quessi et seulement si ϕ(s)⊂ϕ(s0). En d’autres termes, si l’on poses:a=x0< x1<· · ·< xp=bets0:a=y0< y1<· · ·< yn=b alorss0eplus fine quessi et seulement si
∀i= 0,· · ·, p,∃j= 0,1,· · ·, ntel quexi =yj
Dans cette situation, on a donc en particuliern≥p.
La relation "être plus fine que" eune relation d’ordre surS ub([a, b]), qui n’ebien évidement pas totale. Toutefois sisets0 sont deux subdivisions de [a, b], alors il exies00 ∈S ub([a, b]) qui eà la fois plus fine quesets0. En effet définissonss00 =ϕ−1(ϕ(s)∪ϕ(s0)). Cette subdivision s’appelle la subdivision obtenue par recollement desets0, on la notes00 =s∧s0. Elle eclairement plus fine ques ets0.
Exemples.—/ Soientcetddeux points diins de ]a, b[ tels quec < d. On considère les subdivi- sionss:a < c < bets0:a < d < b. Alorss∧s0:a < c < d < b.
/ On considère la suite (un)n≥1définie par la relationun=1
n. Pourn,0, on définit la subdivision de [0,1],sn : 0< un< un−1<· · ·< u1= 1. Sipetqsont deux entiersriements positifs tels quep≤q, alorssp∧sq=sq.
Remarque.— Si s :a = x0 < x1 < · · ·< xn =b e une subdivision de [a, b] et si s0 désigne une subdivision plus fine ques, alors pour tout 0≤i≤n−1, il exie une subdivisionsi :xi =xi,0< xi,1<
· · ·< xi,ki=xi+1de [xi, xi+1] telle que
s0:a=x0,0< x0,1<· · ·< x0,k0< x1,1<· · ·< x1,k1<· · · ·< xn−1,1<· · ·< xn−1,kn−1=xn=b
.. Fonions en escalier.
Définition.—Une fonionf : [a, b]→Redite "en escalier" s’il exie une subdivisions:a=x0< x1<
· · ·< xn=b, telle quef soit conante sur tout intervalle]xi, xi+1[pour0≤i≤n−1(les valeurs def en les pointsxi peuvent être quelconques).
On noteE([a, b])l’ensemble des fonions en escalier sur[a, b].
Soientf ∈E([a, b])ets∈S ub([a, b])(s:a=y0< x1<· · ·< yp=b). On dit quese"adaptée" àf sif econante sur tout les intervalles]yi, yi+1[pour0≤i≤p−1.
Intégrale des fonions en escalier Remarques :/ Siseune subdivision adaptée àf et ques0eune subdivision plus fine ques, alors s0eadaptée àf.
/ Soientcetd deux éléments de [a, b] tels quec < d. Sif eune fonion définie sur [a, b] on note f|[c,d], la reriion def à [c, d]. Alors sif ∈E([a, b]), on af|[c,d]∈E([c, d]).
Lemme.—L’ensemble E([a, b]) eune sous-R-algèbre deR[a,b] qui e able par passage à la valeur absolue (i.e.f ∈E([a, b]) =⇒ |f| ∈E([a, b])).
Preuve : Soientf ∈E([a, b]) etα∈R, il eclair que−f,αf et |f|sont des éléments deE([a, b]). Il suffit donc de vérifier que sif etgsont éléments deE([a, b]) alors il en ede même pourf +getf g.
Soitsf une subdivision adaptée àf etsg une subdivision adaptée àg. Soits=sf ∧sg, supposons que s:a=x0<· · ·xn=b, alorsf etgsont conantes sur ]xi, xi+1[ pour 0≤i≤n−1, doncf+getf g le sont aussi sur les même intervalles. Elles sont donc en escalier.
——–
Les fonions en escalier sur [a, b] ne prennent qu’un nombre fini de valeurs sur [a, b] (elles sont donc, en particulier, bornées). Cette propriété ne les caraérise pas. En effet, considérons
Q lafonion caraériique des rationnels rereint à [a, b] (i.e.
Q(x) = 1 six∈Q∩[a, b] et
Q(x) = 0 six∈[a, b], x<Q). C’eune fonion qui ne prends que deux valeurs sur [a, b], mais qui n’epas en escalier, car compte-tenu du caraère dense de l’ensembleQet de son complémentaire dansR, on voit que
Qn’econante sur aucun intervale ouvert.On voit donc que pour caraériser les fonions en escalier il faut rajouter une condition à celle de la finitude de ses valeurs :
Proposition.—Pour qu’une fonionf : [a, b]→Rsoit une fonion en escalier, il faut et il suffit que
)f ne prennent qu’un nombre fini de valeurs surR,
) pour toutx0∈R, l’ensembleEx0={x∈R, f(x) =x0}soit la réunion finie de sous-intervalles de[a, b].
Preuve : Il e clair que toute fonion en escalier vérifie ces deux propriétés. Pour la réciproque, remarquons d’abord que la propriétés) équivaut à :
20) pour toutx0∈R, l’ensembleEx0={x∈R, f(x) =x0}soit la réunion finie de sous-intervalles de[a, b]
disjoints deux à deux.
(il suffit de considérer les composantes connexes deEx0qui sont des intervalles et qui sont en nombres finis)
On considère alors l’ensembleEconitué desy∈Rtel queEy,∅. D’après),Eeun ensemble fini (non vide), d’après 20) pour touty∈Eil exie une suite finie de sous-intervallesIy1,· · ·Iyny de [a, b]
disjoints deux à deux tels queEy=
ny
[
i=1
Iyi. Siyetzsont deux éléments diins deEalorsEy∩Ez=∅. Il s’ensuit que l’ensemble desIyi (y ∈E, 1≤i ≤ny) conitue en ensemble fini de sous-intervalles de [a, b] disjoint deux à deux et dont la réunion vaut [a, b]. On considère alors l’ensemble des bornes inférieures et supérieures des intervallesIyi. Puisque cet ensemble efini, on peut l’énumérer en une suite ordonnéex1<· · ·< xn. Il eclair quea=x1etb=xn, caraetbsont chacun contenu dans un des Iyi. Ainsi,s:x1<· · ·< xneune subdivision de [a, b]. Nous allons maintenant montrer quef een escalier et queseadaptée àf.
Sij∈[2,· · ·, n−1] alors, par hypothèse,xjesoit la borne supérieure, soit la borne inférieure d’un intervalleIy0i
0. Supposons que ce soit une borne inférieure. Par hypothèse, il exie un indicej0 tel quexj0 soit la borne supérieure deIy0i
0.
•Sij=j0alorsIy0i
0 ={xj}.
•Sij0=j+1 alors l’intérieur de l’intervalleIy0i
0vaut ]xj, xj+1[ et doncf econante sur cet intervalle.
Propriétés élémentaires de l’intégrale des fonions en escalier Sij0,j etj+ 1, alorsxj0 ela borne inférieure ou supérieure d’un intervalleIy1i
1 avecy1,y0ou i1,i0. DoncIy0i
0
∩Iy1i
1,∅, ce qui eabsurde.
Le cas xj borne supérieure, ainsi que le cas des intervalles ]x1, x2[ et ]xn−1, xn[ se traitent de la même façon.
——–
.. Intégrale.
Théorème.—Soientf une fonion en escalier sur[a, b]etsune subdivision adaptée àf. On suppose que s:a=x0<· · ·xn< bet que sur]xi, xi+1[,f prenne la valeurλi(0≤i≤n−1). Le réel
Is=
n−1
X
i=0
λi(xi+1−xi) eindépendant du choix de la subdivisionsadaptée àf.
Preuve :Soitsets0deux subdivisions adaptées àf. On suppose pour commencer ques0eplus fine ques. Soits:a=x0< x1<· · ·< xn=b, on a vu (remarque) que l’on pouvait écrires0 sous la forme s0:a=x0,0< x0,1<· · ·< x0,k0< x1,1<· · ·< x1,k1<· · · ·< xn−1,1<· · ·< xn−1,kn−1=xn=bavecxi,ki=xi+1.
Maintenant, puisquef prend la valeurλi sur l’intervalle ]xi, xi+1[,f prend aussi la valeurλi sur les intervalles ]xi−1,ki−1, xi,1[, ]xi,1, x1,2[,· · ·, ]xi,ki−1, xi,ki[. En posantxi,0=xi−1,ki−1, on a donc
Is0=
n−1
X
i=0 ki
X
j=1
λi(xi,j−xi,j−1) =
n−1
X
i=0
λi
ki
X
j=1
(xi,j−xi,j−1) =
n−1
X
i=0
λi(xi+1−xi) =Is
Soient maintenantsets0 deux subdivisions adaptées àf quelconques. On sait ques∧s0 eplus fine quesets0. D’après ce qui précède, on a doncIs=Is∧s0 =Is0.
——–
Définition.—Soitf une fonion en escalier. On appelle "intégrale" def sur[a, b], le réelIs défini dans le théorèmepour n’importe quelle subdivisionsadaptée àf. On note alors
Z b a
f(x)dxce réel.
Note :Lexdans Zb
a
f(x)dxeune "variable muette". Il ementionné pour rappeller le lien qu’il y a entre la théorie de l’intégration et celle du calcul différentiel. Parfois, on omettra cexet l’on notera l’intégrale def sur [a, b] plus simplement
Z b a
f.
. Propriétés élémentaires de l’intégrale des fon ions en escalier.
Proposition.—L’application deE([a, b])dansRqui af fait correspondre Zb
a
f(x)dxelinéaire.
Preuve :Soitf,gdeux éléments deE([a, b]) etαun réel. Sisf eune subdivision adaptée àf etsg une subdivision adaptée àg, il eclair ques=sf∧sg eadaptée àf+αg. La calcul deRb
a(f+αg)(x)dx à partir des, donne immédiatement le résultat.
——–
Proposition.—Sif ∈E([a, b])epositive alors Zb
a
f(x)dx≥0.
Preuve :Ceci résulte direement de la définition.
——–
Intégrales de Riemann
Corollaire.—Soitf etgdeux éléments deE([a, b])tels quef ≤g. Alors Zb
a
f(x)dx≤ Zb
a
g(x)dx En particulier, pour toutf ∈E([a, b]), on a
Z b a
f(x)dx
≤ Z b
a
|f(x)|dx
Preuve : Par linéarité, on a Zb
a
(g−f)(x)dx= Zb
a
g(x)dx− Zb
a
f(x)dx, or (g−f) e positive, d’où le résultat.
L’inégalité triangulaire surRassure que−|f(x)| ≤f(x)≤ |f(x)|pour toutx∈[a, b]. On en déduit que
− Zb
a
|f(x)|dx≤ − Z b
a
f(x)dx≤ Z b
a
|f(x)|dx c’e-à-dire
Zb a
f(x)dx
≤ Zb
a
|f(x)|dx.
——–
Proposition.—Sic∈]a, b[, on a Z b
a
f(x)dx= Z c
a
f|[a,c](x)dx+ Zd
c
f|[c,d](x)dx.
Preuve :Soitsune subdivision adaptée àf. On prendscla subdivision définie parsc:a < c < b. Soit s0=s∧sc, avec cette subdivision le résultat eimmédiat.
——–
. Intégrales de Riemann.
.. Sommes de Riemann, sommes de Darboux.
Définition.—Une subdivision pointée de[a, b]ela donnée d’un couple(s, t)oùs:a=x0< x1<· · ·< xn désigne une subdivision ettunn-uplet de point de[a, b]vérifiant
∀i= 1,· · ·, n, ti∈[xi−1, xi] On noteS[ub([a, b])l’ensemble des subdivisions pointées de[a, b].
On considère une applicationf de [a, b] dansR.
Définition .— Si (s, t) désigne une subdivision pointée de [a, b] (s : a = x0 < x1 < · · · < xn et t = (t1,· · ·, tn)), on appelle somme de Riemann def associée à(s, t)le réel
R(s,t)(f) = Xn
i=1
(xi−xi−1)f(ti)
Définition.—Sif ebornée sur[a, b]et sis:a=x0< x1<· · ·< xndésigne une subdivision de[a, b], on appelle "somme de Darboux supérieure" def associée àsle réel
Dsup(f , s) =
n
X
i=1
(xi−xi−1) sup
x∈[xi−1,xi]
f(x) et "somme de Darboux inférieure" def associée àsle réel
Dinf(f , s) =
n
X
i=1
(xi−xi−1) inf
x∈[xi−1,xi]f(x)
Intégrales de Riemann
Lemme.—Sif ebornée, alors pour toute subdivision pointée(s, t)∈S[ub([a, b]), on a Dinf(f , s)≤R(s,t)(f)≤Dsup(f , s)
Preuve :Ceci résulte du fait que sis:a=x0< x1<· · ·< xn, alors pour touti= 1,· · ·n, on a
x∈[xinfi−1,xi]f(x)≤f(ti)≤ sup
x∈[xi−1,xi]
f(x)
——–
Lemme.—Sisets0sont deux subdivisions de[a, b]telle ques0 soit plus fine ques, alors sif ebornée on a
Dinf(f , s)≤Dinf(f , s0)≤Dsup(f , s0)≤Dsup(f , s)
Preuve : Si l’on poses:x1 <· · ·< xn, commes0 eplus fine quesalors, pour touti= 1,· · ·, n−1, il exie une subdivisionsi :xi =xi,1<· · ·< xi,ni< xi+1de [xi, xi+1] telle ques0:a <· · ·< xi,j<· · ·< b. Pour un indiceifixé, on a
∀j= 1,· · ·, ni , inf
x∈[xi,xi+1]f(x)≤ inf
x∈[xi,j,xi,j+1]f(x) et donc inf
x∈[xi,xi+1]f(x)≤
ni
X
j=1
(xi,j+1−xi,j) inf
x∈[xi,j,xi,j+1]f(x). Ainsi, Dinf(f , s)≤Dinf(f , s0)
Le cas des sommes de Darboux supérieures se traite de la même manière.
——–
.. Fonion Riemann-intégrables.
Théorème.—Soitf : [a, b]→Rune fonion. Les propositions suivantes i) Pour toutε >0, il exiegεethεdeux éléments deE([a, b])tels que:
gε≤f ≤hεet Zb
a
hε(x)dx− Zb
a
gε(x)dx < ε
En particulier, les réelsM(f) = inf
h∈E([a,b]),f≤h
Zb a
h(x)dxetm(f) = sup
g∈E([a,b]),f≥g
Z b a
g(x)dxexient et sont égaux,
ii)f ebornée et il exie un (unique) réelItel que
∀ε >0,∃α >0,∀(s, t)∈S[ub([a, b])
π(s)< α=⇒ |I−R(s,t)(f)|< ε iii)f ebornée et
∀ε >0, ∃α >0,∀s∈S ub([a, b])
π(s)< α=⇒Dsup(f , s)−Dinf(f , s)< ε iv)f ebornée et
∀ε >0,∃s∈S ub([a, b])Dsup(f , s)−Dinf(f , s)< ε
Intégrales de Riemann
sont équivalentes.
Preuve :Il convient, en premier lieu, de démontrer l’implication contenue dans la proposition i). En posantε= 1, il exieg1eth1deux fonions en escalier telles queg1≤f ≤h1. En particulier, sig e une fonion en escalier telle queg≤f, alorsg≤h1. On a donc
∀g∈E([a, b]), f ≥g, Zb
a
g(x)≤ Z b
a
h1(x)dx
et ainsi,m(f) = sup
g∈E([a,b]), f≥g
Zb a
g(x)dx exie. On a de même, l’exience de M(f). Il e clair (par prolongement des inégalités) quem(f)≤M(f). Siε >0, il exiegε ethε deux éléments deE([a, b]) tels que
gε≤f ≤hεet Zb
a
hε(x)dx− Zb
a
gε(x)dx < ε et alors
Zb a
gε(x)dx≤m(f)≤M(f)≤ Zb
a
hε(x)dx. On en déduit que 0≤M(f)−m(f)< ε
Cet encadrement étant valable pour toutε >0, on en déduit finalement queM(f) =m(f).
i) =⇒ii) Il edéjà clair quef eborné, carf emajorée par une fonion en escalier et celles-ci sont bornées. Par ailleurs, si le réelI exie alors il eunique. en effet, considérons deux réelsI etI0qui vérifient la propriété ii). Pour toutε >0, il exieα >0 tel que
∀(s, t)∈S[ub([a, b])
π(s)< α=⇒ |I−R(s,t)(f)|< ε/2 et|I0−R(s,t)(f)|< ε/2 et donc
|I−I0| ≤ |I−R(s,t)(f)|+|I0−R(s,t)(f)|< ε
Cet encadrement étant valable pour toutε >0, on en déduit finalement queI =I0.
Voyons maintenant l’exience du réelI. PosonsI =m(f) =M(f), on fixons unε >0. Par hy- pothèse, il exiegεethε deux éléments deE([a, b]) tels que
gε≤f ≤hε et Z b
a
hε(x)dx− Zb
a
gε(x)dx < ε 3 On a, en particulier,
I− Zb
a
gε(x)dx
< ε 3 Si l’on noteϕε=hε−gε, alors
0≤f−gε(x)≤ϕε et Z b
a
ϕε(x)dx <ε 3
Soit (s, t) une subdivision pointée de [a, b] (s:a=x0< x1<· · ·< xn=b ett= (t1,· · ·, tn)). Consid- érons le sous-ensembleDde [a, b] composé des points oùϕεougεne sont pas continues. Cet ensemble efini et l’on notepsont cardinal. On note alors
A={i= 1,· · ·, n/[xi−1, xi]∩D,∅}
etBle complémentaire deAdans (1,2,· · ·, n). L’ensembleBreprésente l’ensemble des indicesitels que sur [xi−1, xi],ϕεetgε sont continues. On voit queAefini et que card(A)≤2p.
Intégrales de Riemann
Pouri∈B, on noteΛila valeur degεsur [xi−1, xi] etλi celle deϕεsur [xi−1, xi]. On a Zb
a
gε(x)dx−R(s,t)(f) =
n
X
i=1
Z xi xi−1
gε(x)dx−(xi−xi−1)f(ti)
!
Décomposons cette dernière somme en deux sommes, indicées respeivement par Aet par B.
Pour la somme indicée parB, on a X
i∈B
Zxi xi−1
gε(x)dx−(xi−xi−1)f(ti)
!
=X
i∈B
(xi−xi−1)(Λi−f(ti)) =X
i∈B
(xi−xi−1)(gε(ti)−f(ti)) on en déduit que
X
i∈B
Z xi xi−1
gε(x)dx−(xi−xi−1)f(ti)
!
≤X
i∈B
(xi−xi−1)ϕε(ti) =X
i∈B
(xi−xi−1)λi ≤ Zb
a
ϕε(x)dx < ε 3 Regardons maintenant la somme indicée parA. Siµdésigne un majorant deϕεet degεsur [a, b], on a alors
X
i∈A
Z xi xi−1
gε(x)dx−(xi−xi−1)f(ti)
!
≤ X
i∈A
Z xi xi−1
|gε(x)|dx+ (xi−xi−1)2µ
!
≤3µX
i∈A
(xi−xi−1)
≤ 6pµπ(s) Posonsα= ε
18pµ. Si (s, t) eune subdivision pointée de [a, b] telle queπ(s)< α, alors
I−R(s,t)(f) ≤
I− Zb
a
gε(x)dx +
Z b a
gε(x)dx−R(s,t)(f)
et puisque l’on a
I− Zb
a
gε(x)dx
<ε
3, on en déduit que
Zb a
gε(x)dx−R(s,t)(f)
≤
X
i∈B
Zxi xi−1
gε(x)dx−(xi−xi−1)f(ti) +
X
i∈A
Zxi xi−1
gε(x)dx−(xi−xi−1)f(ti)
≤ ε
3+ 6pµπ(s)≤2ε 3 inégalité qui, additionnée à l’inégalité
I− Zb
a
gε(x)dx
<ε
3, montre finalement que|I−R(s,t)(f)|< ε.
ii) =⇒iii) Soientε >0 ets:a=x0< x1<· · ·< xn une subdivision de [a, b] telle queπ(s)< α(le réelα étant celui donné parii)). On posemi = infx∈[xi−1,xi]f(x) etMi= supx∈[xi−1,xi]f(x). Par définition même de la borne supérieure et inférieure, il exieti ∈[xi−1, xi] etui∈[xi−1, xi] tel quemi≤f(ti)≤mi+εet Mi−ε≤f(ui)≤Mi. Posonst= (t1,· · ·tn) etu= (u1,· · ·un). On a alors
Dinf(f , s)≤R(s,t)(f)≤Dinf(f , s) +ε(b−a) et
Dsup(f , s)−ε(b−a)≤R(s,u)(f)≤Dsup(f , s) ce qui assure que
0≤Dsup(f , s)−Dinf(f , s)≤R(s,u)(f)−R(s,t)(f) + 2ε(b−a) Par hypothèse, on a|R(s,u)(f)| ≤εet|R(s,t)(f)| ≤ε, ainsi
Dsup(f , s)−Dinf(f , s)≤2ε(1 + (b−a)) En prenantε0= 2ε(1 + (b−a)), on obtient alors le résultat.
Intégrales de Riemann
iii) =⇒iv) Immédiat.
iv) =⇒i) Soientε >0 ets:a=x0< x1<· · ·< xnune subdivision de [a, b] tel queDsup(f , s)−Dinf(f , s)< ε.
On définitgε ethε par∀i= 1,· · ·n,∀x∈]xi−1, xi[,gε(x) = infx∈[xi−1,xi]f(x) ethε(x) = supx∈[xi−1,xi]f(x) et gε(xi) =hε(xi) =f(xi).
Il eclair quegε(x) ethε(x) sont en escalier et quegε(x)≤f(x)≤hε(x). Maintenant, par conruc- tion même on a
Zb a
gε(x)dx=Dinf(f , s)et Z b
a
hε(x)dx=Dsup(f , s) d’où le résultat.
——–
Remarque.—La propriétéi) du théorèmeeéquivalente à la propriété suivante : Pour toutε >0, il exiegεethεdeux éléments deE([a, b]) tels que
|f −gε| ≤hεet Zb
a
hε(x)dx≤ε
Définition.—Sif : [a, b]→Rvérifie les quatre propriétés équivalentes du théorème, on dit quef e
"Riemann-intégrable", ou plus simplement "intégrable". On définit alors "l’intégrale" def sur[a, b]comme étant le réelIintervenant dans la propriété ii) du théorème.
On note I = Zb
a
f(x)dx (ou parfois Rb
a f) et l’on désigne parI ([a, b]) l’ensemble des fonions inté- grables.
Remarques.—/ Sif eintégrable, on a alors Zb
a
f(x)dx= inf
h∈E([a,b]), f≤h
Zb a
h(x)dx= sup
g∈E([a,b]), f≥g
Z b a
g(x)dx
/ L’ensembleI([a, b]) eun sous-ensemble des fonions bornées de [a, b] dansR.
Proposition.—Sif ∈I ([a, b])et(sn, tn)ndésigne une suite de subdivisions pointées de[a, b]telle que limn π(sn) = 0alors
limn Dsup(f , sn) = lim
n Dinf(f , sn) = lim
n R(sn,tn)(f) = Z b
a
f(x)dx Preuve :D’après le lemme, on a
Dinf(f , sn)≤R(sn,tn)(f)≤Dsup(f , sn)
Puisqueπ(sn)→0, la propriété iii) du théorèmemontre les deux suitesDinf(f , sn) etDsup(f , sn) sont adjacentes (et donc convergentes). Ainsi,
limn Dsup(f , sn) = lim
n Dinf(f , sn) = lim
n R(sn,tn)(f)
Maintenant, la propriété ii) du théorèmeassure que, pour toutε >0, il exieN∈Ntel que
∀n > N ,
Zb a
f(x)dx−R(sn,tn)(f)
< ε
car lim
n π(sn) = 0. On en déduit finalement queR(sn,tn)(f) converge vers Z b
a
f.
——–
Propriétés élémentaires
Exemple de fonion Riemann-intégrable.—On définit la fonionf : [0,1]→Rpar f(t) = 0 sit<Qout= 0
= 1/qsit∈Q∗avect=p/qla forme irreduible de la fraion
La fonionf eintégrable et d’intégrale nulle. En effet, si l’on pose ε >0, on considère alors l’ensembleAε={t∈[0,1]/f(t)> ε}.
Si t∈ Aε alorst ∈Q et si l’on poset=p/q(forme irréduible) on a alors 1/q > εet, par suite, 0≤p≤q <1/ε. On en déduit que l’ensembleAεefini que l’on peut donc énumérerAε= (x1, x2,· · ·xn) avecxi < xi+1. Comme 1∈Aεon axn = 1 et, si l’on posex0= 0, on obtient alors une subdivision de [0,1].
On définit alors une fonion en escalierfεde la manière suivante : sit∈]xi, xi+1[, on posefε(t) = 0 et sit=xi on posefε(xi) =f(xi). Soitgεla fonion conante égale àεsur [a, b]. On a alors
t<A =⇒ f(t)< ε=gε =⇒ |f(t)−fε(t)| ≤gε
t∈A =⇒ f(t) =fε(t) =⇒ |f(t)−fε(t)|= 0≤gε
ce qui montre que
fε−gε≤f(t)≤fε+gε Comme
Z1 0
2gε(t)<2ε, on en déduit quef eintégrable (par le i) du théorème) et que Z b
a
f(t)dt= 0
Le caraère borné des fonions intégrables n’epas caraériique :
Exemple de fonion bornée non Riemann-intégrable : Considérons la fonion caraériique des rationnelsf =
Q sur [0,1]. Considéronsε= 1/2 ets:a=x0< x1<· · ·< xnune subdivision de [a, b].CommeQedense, pour touti= 1,· · ·, nil exiex∈]xi−1, xi[ tel quex∈Q, donc sup
x∈[xi−1,xi]
f(x) = 1. De même comme le complémentaire deQdansRedense, on a inf
x∈[xi−1,xi]f(x) = 0. Par conséquent, quelle que soit la subdivisions, on a
Dsup(f , s)−Dinf(f , s) = 1>1/2> ε ce qui met en défaut la propriété iii) du théorème.
. Propriétés élémentaires.
.. Propriétés fondamentales.
Les propriétés qui suivent, découlent des propriétés de l’intégrale des fonions en escalier.
Proposition.—L’ensembleI([a, b])eun sous-R-espace veoriel deR[a,b]able par passage à la valeur absolue. L’application deI([a, b])dansRqui àf associe
Zb
a
f(x)dxeune forme linéaire.
Preuve :Soientf etgdeux fonions intégrables etαun réel. Si (s, t) désigne une subdivision pointée de [a, b], alors on a
R(s,t)(f +αg) =R(s,t)(f) +αR(s,t)(g) f+αgedonc intégrable et
Zb a
(f +αg)(x)dx= Zb
a
f(x)dx+α Z b
a
g(x)dx
Nous verrons au corollaireà venir que sif ∈I ([a, b]) alors|f| ∈I ([a, b]).
——–
Propriétés élémentaires
Corollaire.—Soitf ∈I ([a, b]). Sigdésigne une fonion de[a, b]dansRtelle qu’il exie(x1,· · ·, xn)∈ [a, b]nvérifiant∀x∈[a, b]/{x1,· · ·, xn},g(x) =f(x)alorsgeintégrable et
Zb a
f(x)dx= Zb
a
g(x)dx
(Autrement dit, on ne change pas la valeur de l’intégrale d’une fonion si on change cette fonion en un nombre fini de points)
Preuve : La fonion h=f −g e une fonion en escalier d’intégrale nulle, car nulle sauf en un nombre fini de points. D’après la proposition précédente,g=f +hedonc intégrable etR
g=R f.
——–
Proposition.—Soientf ∈I ([a, b])ets:a=c0< c1<· · ·< cn=bune subdivision de[a, b]. On a Z b
a
f(x)dx=
m
X
i=1
Z ci
ci−1
f|[ci−1,ci](x)dx
Preuve :Si l’on pose
f|[c[i−1,ci](x) = f(x) six∈[ci−1, ci[
= 0 sinon on a alorsf(x) =
Xn i=1
f|[c[i−1,ci](x)x∈[a, b[. Comme Zb
a
f|[c[i−1,ci](x)dx= Zci
ci−1
f|[ci−1,ci](x)dx, on en déduit, par linéarité,
Z b a
f(x)dx= Xm
i=1
Z ci ci−1
f|[ci−1,ci](x)dx
——–
Proposition.—Sif eune fonion intégrable et positive sur[a, b]alors Zb
a
f(x)dx≥0.
Preuve :D’après la proposition, si (sn, tn)neune suite de subdivisions pointées de [a, b], alors limn R(sn,tn)(f) =
Zb a
f(x)dx
Pour tout entiern, la sommeR(sn,tn)(f) epositive, le résultat s’obtient alors par passage à la limite des inégalités.
——–
Corollaire.—Sif etgsont deux fonions intégrables sur[a, b]et telles quef ≥g, alors Zb
a
f(x)dx≥ Zb
a
g(x)dx
En particulier, on a
Z b a
f(x)dx
≤ Z b
a
|f(x)|dx.
Preuve :La proposition précédente assure que Zb
a
(f −g)(x)dx≥0 et, par linéarité, on en déduit que Zb
a
(f−g)(x)dx= Zb
a
f(x)dx− Zb
a
g(x)dx≥0
Propriétés élémentaires
On sait que la fonion|f|eintégrable et, comme−|f| ≤f ≤ |f|, on en déduit que
− Z b
a
|f(x)|dx≤ Zb
a
f(x)dx≤ Zb
a
|f(x)|dx
——–
Proposition.—Sif : [a, b]→Reune fonion continue, intégrable et positive, alors Z b
a
f(x)dx= 0⇐⇒ ∀x∈[a, b], f(x) = 0
Preuve : Soitx0∈[a, b] un point tel quef(x0)>0. Prenonsε= f(x0)
2 , par continuité def enx0, on déduit l’exience deα >0 tel que∀x∈]x0−α, x0+α[ on aitf(x)≥f(x0)
2 . Soit alorsela fonion en escalier définie pare(x) =f(x0)
2 six∈[x0−α, x0+α] ete(x) = 0 sinon. Il eclair quef(x)≥e(x) et donc, d’après le corollaire, on a
Zb
a
f(x)dx≥ Zb
a
e(x)dx= 2αf(x0) 2 >0 ce qui eabsurde.
——–
Remarque.—Cette proposition n’ebien évidemment valable que dans le cas oùf econtinue (il suffit de prendre une fonion nulle sauf en un point pour le voir!).
.. Intégrales orientées.
Définition.—Soitaetb deux réels tels queb < aetf une fonion intégrable sur[b, a]. On pose par définition
Z b a
f(x)dx=− Za
b
f(x)dx De même on pose
Z a
a
f(x)dx= 0 On a alors les propriétés suivantes :
Proposition.—Soientb < a.
/ L’application deI([b, a])dansRqui àf associe Zb
a
f(x)dxelinéaire.
/ Sif ∈I([b, a])etf positive, alors Zb
a
f(x)dx≤0.
/ Sif ∈I([b, a])alors
Z b a
f(x)dx
≤ | Z b
a
|f(x)|dx|= Za
b
|f(x)|dx.
Preuve :Immédiat.
——–
Propriétés élémentaires
Proposition.—(Relation de Chasles)SoientS un segment etf une fonion intégrable surS. Sia, b, c désignent trois points deS, alors
Zb a
f(x)dx= Zc
a
f(x)dx+ Zb
c
f(x)dx
Preuve :Immédiat.
——–
.. Sommes de Riemann particulières.
On a vu à la proposition, que sif eune fonion intégrable et si (sn, tn)neune suite de subdivi- sions pointées de pas convergeant vers 0, alors la suite des sommes de Riemann associées convergeait vers l’intégrale def. Certaines de ces sommes sont remarquables :
Proposition.—Sif eune fonion intégrable sur[a, b], alors les suites Snsup(f) =b−a
n
n
X
i=1
f a+i(b−a) n
!
(Somme de Riemann à pas régulier, en les points supérieurs)
Sninf(f) =b−a n
n−1
X
i=0
f a+ib−a n
!
(Somme de Riemann, à pas régulier, en les points inférieurs)
Snmed(f) =b−a n
Xn i=1
f a+ (2i−1)(b−a) 2n
!
(Somme de Riemann, à pas régulier, en les points médiants)
convergent vers Zb
a
f(x)dx.
Exemple : (Nous verrons plus loin qu’une fonion f continue sur [a, b] e intégrable et que si F désigne une primitive def alorsRb
af(x)dx=F(b)−F(a).) On considère la suite (un)ndéfinie par
∀n∈N∗, un=1 n+ 1
n+ 1+· · ·+ 1 2n
Si l’on posea= 1 etb= 2 et que l’on considère la fonionf(x) = 1/xsur [1,2] alors Sninf(f) =1
n
n−1
X
i=0
f
1 + i n
=1 n
n−1
X
i=0
n n+i
et doncun=Sninf(f) +2n1. La fonionf econtinue etx7−→ln(x) eune primitive def, on a donc limn un= lim
n Sninf(f) = Z2
1
dx
x = ln(2)
Cara érisation des fon ions Riemann-intégrables.
Il apparait intuitivement, notament en considérant les sommes de Riemann que pour qu’une fonc- tionf : [a, b]→Rsoit intégrable au sens de Riemann, il faut que celle-ci eun nombre "raisonnable"
de points de discontinuité. L’objet de cette partie ede montrer que la Riemann-intégrabilité dépend exclusivement de l’ensemble des discontinuités des fonions considérées.
