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Intégrale de Riemann
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Université d’Eleuthéria-Polites République de Poldévie
Cours de Licence—/
Bruno Deschamps Version.
Les mathématiciens étudient les lois auxquelles Dieu a du obéir quand il a créé l’Univers...
Table des matières
Convergence uniforme.
. Définitions, exemples. . .
. Propriétés. . .
.. Interversion de limites. . .
.. Convergence uniforme et dérivabilité. . .
Conruion de l’intégrale.
. Intégrale des fonions en escalier. . .
.. Subdivisions. . .
.. Fonions en escalier. . .
.. Intégrale. . .
. Propriétés élémentaires de l’intégrale des fonions en escalier. . .
. Intégrale de Riemann des fonions continues par morceaux. . .
.. Fonions continues par morceaux. . .
.. Intégrale. . .
. Propriétés élémentaires. . .
.. Intégrales orientées. . .
. Sommes de Riemann. . .
Propriétés.
. Intégrale fonion de la borne supérieure. . .
.. Continuité, dérivabilité. . .
.. Primitives. . .
. Calcul. . .
.. Intégration par parties. . .
.. Changement de variable. . .
. Relations, inégalités. . .
.. Formules de Taylor. . .
.. Formules de la moyenne. . .
.. Inégalités. . .
. Suites d’intégrales. . .
Calcul des primitives.
. Généralité. . .
. Méthodes. . .
.. Fraions rationnelles. . .
.. Fraions rationnelles en exponentielle. . .
.. Fonions trigonométriques. . .
.. Intégrales abéliennes. . .
. Primitives usuelles. . .
Intégrales dépendants d’un paramètre.
. Continuité sous le signeR
. . .
. Dérivabilité sous le signeR
. . .
. Théorème de Fubini. . .
Calculs approchés d’intégrales.
. Méthode des reangles. . .
. Méthode des trapèzes. . .
Définitions, exemples
Convergence uniforme.
On considère un intervalleIdeR.
. Définitions, exemples.
Définition.—Etant donnéef :I−→Rune application, on appelle "norme infinie" def surI, l’élément
||f||∞= sup{|f(x)|/ x∈I} ∈R+∪ {+∞}
Exemples.—/ SiI=]0,+∞[ etf(x) = 1/xalors||f||∞= +∞.
/ SiI eun segment etf econtinue, alors||f||∞∈R(une fonion continue sur un segment e bornée et atteint ses bornes).
Lemme.—Soientf , g:I−→Retλ∈R. On a :
/||f||∞= 0⇐⇒f ≡0.
/||λf||∞=|λ|.||f||∞.
/||f +g||∞≤ ||f||∞+||g||∞.
Avec les conventions :
•a≤+∞pour touta∈[0,+∞].
•a+ +∞= +∞pour touta∈[0,+∞].
•λ.+∞= +∞pour toutλ∈]0,+∞].
•0.+∞= 0.
Preuve : / Sif ≡0 alors{|f(x)|/ x∈I}={0}et donc||f||∞ = 0. Réciproquement, comme pour tout x∈I,|f(x)| ≤ ||f||∞= 0, on a bienf(x) = 0 pour toutx∈I.
/ Pour toutx∈I,|λf(x)|=|λ|.|f(x)| ≤ |λ|.||f||∞. On a donc||λf||∞≤ |λ|.||f||∞.
Supposons que||f||∞∈R. Par caraérisation de la borne supérieure dansR, pour toutε >0, il exiexε∈I tel que||f||∞−ε <|f(xε)≤ ||f||∞, ce qui implique que
|λ|.||f||∞−ε|λ| ≤ |λf(xε)≤ ||λf||∞ En faisant tendreεvers 0, on en déduit que|λ|.||f||∞≤ ||λf||∞.
Si maintenant||f||∞= +∞, alors la fonionf n’epas bornée surI. Il en edonc de même de λf (avecλ,0) et donc||λf||∞= +∞. Le casλ= 0 etrivial.
/ Pour toutx∈I, on a
|f(x) +g(x)| ≤ |f(x)|+|g(x)| ≤ ||f||∞+||g||∞
Ainsi,||f||∞+||g||∞ e un majorant de l’ensemble{|f(x) +g(x)|/ x∈I}, il edonc plus grand que le plus petit des majorants de cet ensemble qui e, par définition la borne supérieure :||f +g||∞.
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Définition.—Soient(fn)n une suite d’applications deI dansRetf :I−→Rune application. On dit que :
a) La suite(fn)nconverge simplement versf, si pour toutx∈I, la suite numérique(fn(x))nconverge vers le réelf(x).
b) La suite(fn)nconverge uniformément versf, si la suite numérique(||fn−f||∞)nconverge0.
On peut traduire de manière équivalente ces deux types de convergence de la façon suivante :
Propriétés
La suite (fn)nconverge simplement versf ⇐⇒ ∀x∈I,∀ε >0,∃N,∀n≥N,|fn(x)−f(x)| ≤ε.
La suite (fn)nconverge uniformément versf ⇐⇒ ∀ε >0,∃N,∀n≥N,∀x∈I,|fn(x)−f(x)| ≤ε.
On voit alors que :
Proposition.—Si une suite(fn)nd’applications deI dansRconverge uniformément vers une fonionf alors elle converge simplement vers cette même fonion.
Exemple.—On considèreI = [0,1[,α∈Ret, pour toutn≥0, la fonionfn(x) =nαx(1−nx+|1− nx|). La suite (fn)nconverge simplement vers la fonion nulle et elle converge uniformément si et seulement siα <1.
. Propriétés.
Théorème.—(Critère de Cauchy uniforme)Soit(fn)n une suite d’applications deI dansR. La suite (fn)converge uniformément (vers une certaine fonion) si et seulement si
∀ε >0,∃N ,∀p, q≥N , ||fp−fq||∞≤ε
Preuve : Supposons qu’il y ait convergence uniforme. Pour toutε >0, il exieN tel que pour tout n≥N,||f−fn||∞≤ε/2. On a alors, pour toutp, q≥N
||fp−fq||∞=||(fp−f)−(fq−f)||∞≤ ||(fp−f)||∞+||(fq−f)||∞≤ε/2 +ε/2 =ε
Réciproquement, si pourε >0 il exie un entierN tel que, pour tousp, q≥N,||fp−fq||∞< ε, alors pour toutx∈I, on a
|fp(x)−fq(x)|< ε
mais comme (fp)pconverge simplement versf, on en déduit, par passage à la limite que, pour tout x∈I
limp
|fp(x)−fq(x)|=|f(x)−fq(x)| ≤ε ce qui implique que, pour toutq≥N,||f −fq||∞≤ε.
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On écrit parfois le critère de Cauchy uniforme sous la forme équivalente
∀ε >0,∃N ,∀n≥N ,∀k≥0,||fn+k−fn||∞< ε
.. Interversion de limites.
Exemple.—On poseI = [0,1[ et, pour toutn≥0,fn(x) =xn. La suite (fn)n converge simplement vers la fonion nulle. Par ailleurs, pour toutn≥0, lim
x→1fn(x) = 1. On a donc
xlim→x0
limn fn
,lim
n
xlim→x0fn(x)
Théorème.—(Interversion de limites)Soient(fn)n une suite d’applications deI dansRconvergeant uniformément vers une fonionf etx0∈I. Si, pour toutn≥0la fonionfnpossède une limiteλnenx0, alors
a) La suite(λn)nconverge vers un réelλ.
b) La fonionf possède une limite enx0et lim
x→x0f(x) =λ.
Propriétés
En d’autres termes, on a donc
xlim→x0
limn fn
= lim
n
xlim→x0fn(x)
Preuve :a) Pour toutx∈I, on a
λn+k−λn= (λn+k−fn+k(x))−(λn−fn(x)) + (fn+k(x)−fn(x))
Fixonsε >0. Il exieN tel que pour toutn≥N et toutk≥0,||fn+k−fn||∞≤εet donc, pourn≥N, k≥0 et x∈I, on a
|λn+k−λn| ≤ |λn+k−fn+k(x)| − |λn−fn(x)|+ε
Par hypothèse,λn= limx→x0fn(x) etλn+k = limx→x0fn+k(x). Il exie donc α >0 tel que, pour tout x∈]x0−α, x0+α[∩I,|λn+k−fn+k(x)| ≤εet|λn−fn(x)| ≤ε. Pour le choix d’un telx, on a alors|λn+k−λn| ≤ 3ε. La suite (λn)nedonc de Cauchy ce qui assure qu’elle converge.
b) Pourx∈I etn≥0, on écrit
(f(x)−λ) = (f(x)−fn(x)) + (fn(x)−λn) + (λn−λ)
Il exieN1tel que, pour toutn≥N1,||f−fn||∞≤εet il exieN2tel que, pour toutn≥N2,|λn−λ| ≤ε.
PrenonsN= max(N1, N2), on a alors, pour toutx∈I,
|f(x)−λ| ≤ε+|fn(x)−λn|+ε
Par ailleurs,λn= limx→x0fn(x) et il exie doncα >0 tel que, pour toutx∈]x0−α, x0+α[∩I,|λn− fn(x)| ≤ε. On voit donc de montrer que, pour toutε > 0, il exie α >0 tel que, pour tout x ∈ ]x0−α, x0+α[∩I,|f(x)−λ| ≤3ε, c’e-à-dire que limx→x0f(x) =λ.
——–
Corollaire .—Soient(fn)nune suite d’applications continues deI dansR. Si(fn)nconverge uniformé- ment vers une fonionf alorsf econtinue.
Preuve :Une fonion continue eune fonion qui possède en tout point une limite.
——–
Proposition .—Soient(fn)nune suite d’applications continues deI dansRconvergeant uniformément vers une fonionf et(un)nune suite d’éléments deI. Si la suite(fn(un))nconverge alors il en ede même de la suite(f(un))netlim
n fn(un) = lim
n f(un).
Preuve : Par définition, on a|f(un)−fn(un)| ≤ ||f −fn||∞ et comme (||f −fn||∞)n converge vers 0 par hypothèse, on en déduit que la suite (f(un)−fn(un))nconverge aussi vers 0. Puisque la suite (fn(un))n converge, il en ealors nécessairement de même de la suite (f(un))net l’on a limnfn(un) = limnf(un)
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.. Convergence uniforme et dérivabilité.
Exemples.—/ On poseI=Ret, pour toutn≥1,fn(x) = sin(nx)
n . La suite (fn)nconverge unifor- mément vers la fonion nulle, mais la suite (fn0)nne converge même pas simplement.
/ On pose I = [−1,1] et, pour tout n≥ 1, fn(x) = r1
n2+x2sin2 1
x
et fn(0) = 1
n. La suite (fn)n converge vers la fonionf(x) =
xsin 1
x
qui n’epas dérivable en 0 et pourtant, pour toutn≥0, la fonionfnedérivable surI etfn0(0) = 0.
Propriétés
Théorème.—Soit(fn)n une suite d’applications deI dansR. On suppose que
/ Il exiea∈Itel que la suite(fn(a))nconverge.
/ La fonionfnedérivable pour toutn≥0.
/ La suite de fonions(fn0)nconverge uniformément vers une foniongsurI.
Alors, la suite (fn)n converge uniformément vers une fonion f sur tout segment inclus dansI et cette fonionf edérivable et vérifief0=g.
Preuve :Fixons un segmentS⊂Iqui contientaet notons`=`(S) la longueur du segmentS.
Soientn, k≥0 des entiers etx∈S. Par application du théorème des accroissements finis, appliqué à la fonionfn+k−fn, il exieλ∈S tels que
(fn+k(x)−fn(x))−(fn+k(a)−fn(a)) = (x−a)(fn+k−fn)0(λ) = (x−a)(fn+k0 (λ)−fn0(λ)) ce qui permet d’écrire
|fn+k(x)−fn(x)| ≤ |fn+k(a)−fn(a)|+|x−a|
(fn+k0 (λ)−fn0(λ))
≤ |fn+k(a)−fn(a)|+`||fn+k0 −fn0||∞ Pourε >0 donné, il exie un entierN1(resp. N2) tel que, pour toutn≥N1(resp. n≥N1) et tout k≥0, on a|fn+k(a)−fn(a)| ≤ε(resp.||fn+k0 −fn0||∞≤ε). Ainsi, pour toutx∈S, toutn≥N= max(N1, N2) et toutk≥0, on a|fn+k(x)−fn(x)| ≤ε(1 +`), ce qui implique||fn+k−fn||∞ ≤ε(1 +`). La suite (fn)n
converge donc bien uniformément surSvers une fonionf.
Fixons un élémentx0∈S,n, k≥0 des entiers etε >0. En appliquant le théorème des accroisse- ments finis à la fonionfn+k−fn, on sait que pour toutx∈S, il exieλx∈S tels que
|(fn+k(x)−fn(x))−(fn+k(x0)−fn(x0))|=|(x−x0)(fn+k−fn)0(λx)| ≤ |(x−x0)|.||fn+k0 −fn0||∞
Prenons un entierN0tel que, pour toutn≥N0et toutk≥0, on ait||fn+k0 −fn0||∞≤ε. Alors, pour tout n≥N0, toutk≥0 et toutx∈S,
|(fn+k(x)−fn(x))−(fn+k(x0)−fn(x0))| ≤ε|(x−x0)|
La suite (fn+k(x))k converge versf(x) et donc, par passage à la limite, on a pour toutn≥N0et tout x∈S,
limk
|(fn+k(x)−fn(x))−(fn+k(x0)−fn(x0))|=|(x−x0)(fn+k−fn)0(λx)|=|(f(x)−fn(x))−(f(x0)−fn(x0))| ≤ε|(x−x0)| Pourx∈Setn≥N0, on a alors
|f(x)−f(x0)−(x−x0)g(x0)| ≤ |(f(x)−f(x0))−(fn(x)−fn(x0))|+|fn(x)−fn(x0)+(x−x0)fn0(x0)|+|x−x0|.|fn0(x0)−g(x0)| Puisque (fn0(x0))nconverge versg(x0) il exiep≥N0tel que, pour toutn≥p, on ait|fn0(x0)−g(x0)| ≤ε.
On en déduit que, pour toutx∈S,
|f(x)−f(x0)−(x−x0)g(x0)| ≤ |fp(x)−fp(x0) + (x−x0)fp0(x0)|+ 2ε|x−x0|
Maintenant, la fonionfp0 edérivable enx0, il exie doncα >0 tel que, pour toutx∈]x0−α, x0+ α[∩S,|fp(x)−fp(x0) + (x−x0)fp0(x0)| ≤ε|x−x0|. On a alors, pour toutx∈]x0−α, x0+α[∩Savecx,x0,
f(x)−f(x0) (x−x0) −g(x0)
≤3ε
ce qui assure finalement quef ebien dérivable enx0de dérivéeg(x0).
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Con ru ion de l’intégrale
Intégrale des fonions en escalier
Con ru ion de l’intégrale.
On considère deux réelsaetbtels quea < b.
. Intégrale des fon ions en escalier.
.. Subdivisions.
Définition.—Une "subdivision" du segment[a, b]eune suite finieriement croissante(x0, x1,· · ·xn) d’éléments de[a, b]telle quex0=aetxn=b. Une telle subdivision sera notée
s:x0< x1<· · ·< xn On appelle "pas des", le réel notéπ(s)et défini par
π(s) = sup
1≤i≤n
(xi−xi−1) On noteS ub([a, b])l’ensemble des subdivisions de[a, b].
L’ensembleS ub([a, b]) enaturellement en bijeion avecPf(]a, b[), l’ensemble des parties finies de ]a, b[. En effet, une bijeionϕ:S ub([a, b])→ Pf(]a, b[) epar exemple donnée par l’application ϕ qui à une subdivisions:a=x0< x1<· · ·< xp =bde [a, b], associeϕ(s) ={x1,· · ·, xp−1}sip≥2 et ϕ(s) =∅sinon.
Définition.—Soitsets0deux subdivisions de[a, b]. On dit ques0eplus fine quessi et seulement si ϕ(s)⊂ϕ(s0). En d’autres termes, si l’on poses:a=x0< x1<· · ·< xp=bets0:a=y0< y1<· · ·< yn=b alorss0eplus fine quessi et seulement si
∀i= 0,· · ·, p, ∃j= 0,1,· · ·, ntel quexi=yj Dans cette situation, on a donc en particuliern≥p.
La relation "être plus fine que" eune relation d’ordre surS ub([a, b]), qui n’ebien évidement pas totale. Toutefois sisets0sont deux subdivisions de [a, b], alors il exies00 ∈S ub([a, b]) qui eà la fois plus fine quesets0. En effet définissonss00 =ϕ−1(ϕ(s)∪ϕ(s0)). Cette subdivision s’appelle la subdivision obtenue par recollement desets0, on la notes00 =s∧s0. Elle eclairement plus fine que sets0.
Exemples .— / Soient c et d deux points diins de ]a, b[ tels quec < d. On considère les subdivisionss:a < c < bets0:a < d < b. Alorss∧s0:a < c < d < b.
/ On considère la suite (un)n≥1définie par la relationun= 1
n. Pourn,0, on définit la subdivision de [0,1],sn: 0< un< un−1<· · ·< u1= 1. Sipetqsont deux entiersriements positifs tels quep≤q, alorssp∧sq=sq.
Remarque.— Si s:a=x0 < x1 <· · ·< xn =b e une subdivision de [a, b] et sis0 désigne une subdivision plus fine ques, alors pour tout 0≤i≤n−1, il exie une subdivisionsi:xi =xi,0< xi,1<
· · ·< xi,ki=xi+1de [xi, xi+1] telle que
s0:a=x0,0< x0,1<· · ·< x0,k0< x1,1<· · ·< x1,k1<· · · ·< xn−1,1<· · ·< xn−1,kn−1=xn=b
.. Fonions en escalier.
Définition.—Une fonionf : [a, b]→Redite "en escalier" s’il exie une subdivisions:a=x0<
x1<· · ·< xn=b, telle quef soit conante sur tout intervalle]xi, xi+1[pour0≤i≤n−1(les valeurs def en les pointsxi peuvent être quelconques).
Con ru ion de l’intégrale
Intégrale des fonions en escalier
On noteE([a, b])l’ensemble des fonions en escalier sur[a, b].
Soientf ∈E([a, b])ets∈S ub([a, b])(s:a=y0< x1<· · ·< yp=b). On dit quese"adaptée" àf si f econante sur tout les intervalles]yi, yi+1[pour0≤i≤p−1.
Remarques : / Si seune subdivision adaptée àf et ques0 eune subdivision plus fine ques, alorss0eadaptée àf.
/ Soientcetddeux éléments de [a, b] tels quec < d. Sif eune fonion définie sur [a, b] on note f|[c,d], la reriion def à [c, d]. Alors sif ∈E([a, b]), on af|[c,d]∈E([c, d]).
Lemme.—L’ensembleE([a, b])eune sous-R-algèbre deR[a,b] qui e able par passage à la valeur absolue (i.e.f ∈E([a, b]) =⇒ |f| ∈E([a, b])).
Preuve : Soientf ∈E([a, b]) etα∈R, il eclair que−f,αf et|f|sont des éléments deE([a, b]). Il suffit donc de vérifier que sif etgsont éléments deE([a, b]) alors il en ede même pourf +getf g.
Soitsf une subdivision adaptée àf etsg une subdivision adaptée àg. Soits=sf ∧sg, supposons que s:a=x0<· · ·xn=b, alorsf etg sont conantes sur ]xi, xi+1[ pour 0≤i≤n−1, doncf +g etf g le sont aussi sur les même intervalles. Elles sont donc en escalier.
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Les fonions en escalier sur [a, b] ne prennent qu’un nombre fini de valeurs sur [a, b] (elles sont donc, en particulier, bornées). Cette propriété ne les caraérise pas. En effet, considérons
Q lafonion caraériique des rationnels rereint à [a, b] (i.e.
Q(x) = 1 six∈Q∩[a, b] et
Q(x) = 0 six∈[a, b], x<Q). C’eune fonion qui ne prends que deux valeurs sur [a, b], mais qui n’epas en escalier, car compte-tenu du caraère dense de l’ensembleQet de son complémentaire dansR, on voit que
Qn’econante sur aucun intervale ouvert.On voit donc que pour caraériser les fonions en escalier il faut rajouter une condition à celle de la finitude de ses valeurs :
Proposition.—Pour qu’une fonionf : [a, b]→Rsoit une fonion en escalier, il faut et il suffit que
)f ne prennent qu’un nombre fini de valeurs surR,
) pour toutx0∈ R, l’ensembleEx0 ={x∈R, f(x) =x0}soit la réunion finie de sous-intervalles de [a, b].
Preuve : Il eclair que toute fonion en escalier vérifie ces deux propriétés. Pour la réciproque, remarquons d’abord que la propriétés) équivaut à :
20) pour toutx0∈R, l’ensembleEx0 ={x∈R, f(x) =x0}soit la réunion finie de sous-intervalles de [a, b]disjoints deux à deux.
(il suffit de considérer les composantes connexes deEx0 qui sont des intervalles et qui sont en nom- bres finis)
On considère alors l’ensembleEconitué desy∈Rtel queEy,∅. D’après),Eeun ensemble fini (non vide), d’après 20) pour touty∈Eil exie une suite finie de sous-intervallesIy1,· · ·Iyny de [a, b]
disjoints deux à deux tels queEy=
ny
[
i=1
Iyi. Siyetzsont deux éléments diins deEalorsEy∩Ez=∅. Il s’ensuit que l’ensemble desIyi(y∈E, 1≤i≤ny) conitue en ensemble fini de sous-intervalles de [a, b] disjoint deux à deux et dont la réunion vaut [a, b]. On considère alors l’ensemble des bornes inférieures et supérieures des intervallesIyi. Puisque cet ensemble e fini, on peut l’énumérer en une suite ordonnéex1<· · ·< xn. Il eclair quea=x1etb=xn, caraetbsont chacun contenu dans un desIyi. Ainsi,s:x1<· · ·< xneune subdivision de [a, b]. Nous allons maintenant montrer quef een escalier et queseadaptée àf.
Con ru ion de l’intégrale
Propriétés élémentaires de l’intégrale des fonions en escalier
Sij ∈[2,· · ·, n−1] alors, par hypothèse,xj esoit la borne supérieure, soit la borne inférieure d’un intervalleIy0i
0. Supposons que ce soit une borne inférieure. Par hypothèse, il exie un indicej0 tel quexj0 soit la borne supérieure deIy0i
0.
•Sij=j0alorsIy0i
0 ={xj}.
•Sij0=j+ 1 alors l’intérieur de l’intervalleIy0i
0 vaut ]xj, xj+1[ et doncf econante sur cet inter- valle.
Sij0,jetj+ 1, alorsxj0 ela borne inférieure ou supérieure d’un intervalleIy1i
1 avecy1,y0ou i1,i0. DoncIy0i
0
∩Iy1i
1 ,∅, ce qui eabsurde.
Le casxj borne supérieure, ainsi que le cas des intervalles ]x1, x2[ et ]xn−1, xn[ se traitent de la même façon.
——–
.. Intégrale.
Théorème.—Soientf une fonion en escalier sur[a, b]etsune subdivision adaptée àf. On suppose ques:a=x0<· · ·xn< bet que sur]xi, xi+1[,f prenne la valeurλi (0≤i≤n−1). Le réel
Is=
n−1
X
i=0
λi(xi+1−xi) eindépendant du choix de la subdivisionsadaptée àf.
Preuve :Soitsets0deux subdivisions adaptées àf. On suppose pour commencer ques0eplus fine ques. Soits:a=x0< x1<· · ·< xn=b, on a vu (remarque) que l’on pouvait écrires0sous la forme s0:a=x0,0< x0,1<· · ·< x0,k0< x1,1<· · ·< x1,k1<· · · ·< xn−1,1<· · ·< xn−1,kn−1=xn=bavecxi,ki=xi+1. Maintenant, puisquef prend la valeurλi sur l’intervalle ]xi, xi+1[,f prend aussi la valeurλi sur les intervalles ]xi−1,ki−1, xi,1[, ]xi,1, x1,2[,· · ·, ]xi,ki−1, xi,ki[. En posantxi,0=xi−1,ki−1, on a donc
Is0=
n−1
X
i=0 ki
X
j=1
λi(xi,j−xi,j−1) =
n−1
X
i=0
λi ki
X
j=1
(xi,j−xi,j−1) =
n−1
X
i=0
λi(xi+1−xi) =Is
Soient maintenantsets0deux subdivisions adaptées àf quelconques. On sait ques∧s0eplus fine quesets0. D’après ce qui précède, on a doncIs=Is∧s0 =Is0.
——–
Définition.—Soitf une fonion en escalier. On appelle "intégrale" def sur[a, b], le réelIs défini dans le théorèmepour n’importe quelle subdivisionsadaptée àf. On note alors
Z b a
f(x)dxce réel.
Note : Lexdans Zb
a
f(x)dxeune "variable muette". Il ementionné pour rappeller le lien qu’il y a entre la théorie de l’intégration et celle du calcul différentiel. Parfois, on omettra cexet l’on notera l’intégrale def sur [a, b] plus simplement
Zb a
f.
. Propriétés élémentaires de l’intégrale des fon ions en escalier.
Proposition.—L’application deE([a, b])dansRqui af fait correspondre Z b
a
f(x)dxelinéaire.
Con ru ion de l’intégrale
Intégrale de Riemann des fonions continues par morceaux
Preuve : Soitf,gdeux éléments deE([a, b]) etαun réel. Sisf eune subdivision adaptée àf etsg une subdivision adaptée àg, il eclair ques=sf∧sg eadaptée àf+αg. La calcul deRb
a(f+αg)(x)dx à partir des, donne immédiatement le résultat.
——–
Proposition.—Sif ∈E([a, b])epositive alors Z b
a
f(x)dx≥0.
Preuve : C’e immédiat compte-tenu du fait que la sommeIs intervenant dans le théorèmee alors composée de réels positifs.
——–
Corollaire.—Soitf etgdeux éléments deE([a, b])tels quef ≤g. Alors Zb
a
f(x)dx≤ Zb
a
g(x)dx En particulier, pour toutf ∈E([a, b]), on a
Zb a
f(x)dx
≤ Zb
a
|f(x)|dx
Preuve : Par linéarité, on a Z b
a
(g−f)(x)dx= Zb
a
g(x)dx− Zb
a
f(x)dx, or (g−f) epositive, d’où le résultat.
L’inégalité triangulaire surRassure que−|f(x)| ≤f(x)≤ |f(x)|pour toutx∈[a, b]. On en déduit que
− Zb
a
|f(x)|dx≤ − Zb
a
f(x)dx≤ Zb
a
|f(x)|dx c’e-à-dire
Zb a
f(x)dx
≤ Zb
a
|f(x)|dx.
——–
Proposition.—Sic∈]a, b[, on a Zb
a
f(x)dx= Zc
a
f|[a,c](x)dx+ Z d
c
f|[c,d](x)dx.
Preuve :Soitsune subdivision adaptée àf. On prendscla subdivision définie parsc:a < c < b. Soit s0=s∧sc, avec cette subdivision le résultat eimmédiat.
——–
. Intégrale de Riemann des fonions continues par morceaux.
.. Fonions continues par morceaux.
Définition.—Une fonionf : [a, b]−→Redite "continue par morceaux", s’il exie une subdivision s:a=x0< x1<· · ·< xp=bde[a, b]et, pour touti= 0,· · ·, p−1, une fonion continuefi: [xi, xi+1]−→R telle quef =fi sur]xi, xi+1[.
On noteCM([a, b],R)l’ensemble des fonions continues par morceaux sur le segment[a, b].
On voit que, de manière équivalente, la fonion f e continue par morceaux s’il exie une subdivisions:a=x0< x1<· · ·< xp=bde [a, b] telle que, pour touti= 0,· · ·, p−1,f econtinue sur ]xi, xi+1[ et prolongeable par continuité sur [xi, xi+1].
Con ru ion de l’intégrale
Intégrale de Riemann des fonions continues par morceaux
Exemple.—Sur [−1,1], la fonionf(x) = 1/xetf(0) = 0 n’epas continue par morceaux.
Proposition.—L’ensembleCM([a, b],R)euneR-algèbreable par passage à la valeur absolue et par composition (quand cela a un sens).
Théorème.—Pour toutf ∈CM([a, b],R)et toutε >0, il exieg∈E([a, b])telle que||f−g||∞< ε.
Preuve : On suppose pour commencer quef ∈C0([a, b],R). Puisque l’on se place sur un segment, le théorème de Heine assure alors quef euniformément continue sur [a, b]. Ainsi, si l’on se donne ε >0 alors il exieα >0 tel que,
∀x, y∈[a, b],|x−y|< α=⇒ |f(x)−f(y)|< ε
Considérons un entierp≥1 tel que b−pa≤αet la subdivision à pas régulier s:a=x0< x1=a+b−a
p < x2=a+ 2b−a
p <· · ·< xp=a+pb−a p =b
Définissons alorsg ∈E([a, b]) de la manière suivante : g(x) =f(xi) pour touti= 0,· · ·, p−1 et tout x∈[xi, xi+1[ etg(b) =f(b). Six∈[a, b[, alors il exie un uniquei= 0,· · ·, p−1 tel quex∈[xi, xi+1[.
Puisque 0≤x−xi ≤, xi+1−xi ≤α, on a |f(x)−g(x)| =|f(x)−f(xi)| ≤ ε. Compte-tenu du fait que
|f(b)−g(b)|= 0, on en déduit que, pour toutx∈[a, b],|f(x)−g(x)| ≤ε, c’e-à-dire que||f −g||∞< ε.
Passons maintenant dans le cas général. On se place sous les notations de la définition. Pour touti= 0,· · ·, p−1, le fonionfi : [xi, xi+1]−→Recontinue, et en vertu de ce qui précède, il exie une foniongi ∈E([xi, xi+1]) telle que||f−g||[x∞i,xi+1]≤ε. On considère alors la foniong: [a, b]−→R définie par
g(xi) = f(xi) pour touti= 0,· · ·p
g(x) = gi(x) pour toutx∈]xi, xi+1[ et touti= 0,· · ·p−1
On a alorsg∈E([a, b]) et||f −g||∞= maxi(|f(xi)−g(xi)|,||f −g||]x∞i,xi+1[) = maxi(||f −g||]x∞i,xi+1[)≤ε.
——–
Corollaire.—Pour toutf ∈CM([a, b],R), il exie une suite(fn)nd’éléments deE([a, b])qui converge uniformément versf.
Preuve :D’après le théorème précédent, pour toutn≥0 il exiefn∈E([a, b]) telle que||f−fn||∞<n+11 . La suite (fn)nconverge alors uniformément versf.
——–
.. Intégrale.
Théorème.—On considère une fonionf ∈CM([a, b],R).
a) Si (fn)n désigne une suite d’éléments de E([a, b]) qui converge uniformément vers f alors la suite numérique
Z b a
fn(x)dx
!
n
converge.
b) Si(fn)net(gn)ndésignent deux suites d’éléments deE([a, b])qui convergent uniformément versf, alors limn
Z b a
fn(x)dx= lim
n
Zb a
gn(x)dx.
Preuve : a) Le critère de Cauchy uniforme assure que, siε >0, alors il exieN ≥0 tel que, pour toutp, q≥N, on a||fp−fq||∞≤ε. La proposition??et le corollaire??permettent alors d’écrire pour p, q≥N
Zb a
fp(x)dx− Zb
a
fq(x)dx
=
Zb a
fp(x)−fq(x)dx
≤ Z b
a
|fp(x)−fq(x)|dx≤ Zb
a
εdx=ε(b−a)
Con ru ion de l’intégrale
Propriétés élémentaires
On en déduit que la suite numérique Zb
a
fn(x)dx
!
n
ede Cauchy, elle converge donc.
b) Pour toutx∈[a, b], on a
|fn(x)−gn(x)| ≤ |fn(x)−f(x)|+|gn(x)−f(x)| ≤ ||f −fn||∞+||f −gn||∞
Siε >0 alors il exieN ≥0 tel que pour toutn≥Non ait simultanément||f−fn||∞≤εet||f−gn||∞≤ε.
Pourn≥N, on a alors
Zb a
fn(x)dx− Z b
a
gn(x)dx
=
Zb a
fn(x)−gn(x)dx
≤ Z b
a
|fn(x)−gn(x)|dx≤ Zb
a
2εdx= 2ε(b−a)
Il s’ensuit que lim
n
Zb a
fn(x)dx− Zb
a
gn(x)dx= 0, mais comme d’après le a), chacune des suites converge, on en déduit que lim
n
Zb a
fn(x)dx= lim
n
Zb a
gn(x)dx.
——–
Définition.—Avec les notations du théorème précédent, la limite commune des suites Z b
a
fn(x)dx
!
où(fn)ndésigne une suite d’éléments deE([a, b])qui converge uniformément versf, s’appelle "l’intégralen
de Riemann" de la fonionf sur[a, b]et se note Z b
a
f(x)dx.
. Propriétés élémentaires.
Les propriétés qui suivent, découlent des propriétés de l’intégrale des fonions en escalier.
Proposition.—L’application deCM([a, b])dansRqui àf associe Zb
a
f(x)dxeune forme linéaire.
Preuve : S’obtient à partir de la propositionet du théorèmeen remarquant que, si (fn)n(resp.
(gn)n) converge uniformément versf (resp. g), alors pour toutλ∈R, (λfn+gn)nconverge uniformé- ment versλf +g.
——–
Corollaire.—Soientf ∈I ([a, b])etgune fonion de[a, b]dansRtelle qu’il exie(x1,· · ·, xn)∈[a, b]n vérifiant∀x∈[a, b]/{x1,· · ·, xn},g(x) =f(x). La foniongealors continue par morceaux et
Zb a
f(x)dx= Zb
a
g(x)dx
(Autrement dit, on ne change pas la valeur de l’intégrale d’une fonion si on change cette fonion en un nombre fini de points)
Preuve :
——–
Proposition.—Soientf ∈CM([a, b])ets:a=c0< c1<· · ·< cn=bune subdivision de[a, b]. On a Zb
a
f(x)dx=
m
X
i=1
Zci
ci−1
f|[ci−1,ci](x)dx
Con ru ion de l’intégrale
Propriétés élémentaires
Preuve :S’obtient par récurrence, à partir de la propositionet du théorème.
——–
Proposition.—Sif ∈CM([a, b])eune fonion positive sur[a, b]alors Zb
a
f(x)dx≥0.
Preuve :Si l’on reprend la preuve du théorème, on voit que puisquef epositive, on peut choisir une suite (fn)nde fonions en escaliers positives convergeant versf. La propositiondécoule alors de la propositionpar passage à la limite.
——–
Corollaire.—Sif , g∈CM([a, b])sont telles quef ≥g, alors Zb
a
f(x)dx≥ Zb
a
g(x)dx
En particulier, on a
Zb a
f(x)dx
≤ Zb
a
|f(x)|dx.
Preuve : Se démontre à partir de la propositionexaement comme on démontre le corollaire
à partir de la proposition
——–
Proposition.—Sif : [a, b]→Reune fonion continue et positive, alors Zb
a
f(x)dx= 0⇐⇒ ∀x∈[a, b], f(x) = 0
Preuve : Supposons qu’il exiex0∈]a, b[ tel quef(x0)>0. Posonsε=f(x0)/2. Par continuité enx0, il exieα >0 tel que ]x0−α, x0+α[⊂[a, b] et tel que pour toutx∈]x0−α, x0+α[∩[a, b],
f(x0)/2 =f(x0)−ε≤f(x)≤f(x0) +ε On a alors
Z b
a
f(x)dx= Zx0−α
a
f(x)dx+
Zx0+α x0−α
f(x)dx+
Z b
x0+α
f(x)dx≥ Z x0+α
x0−α
f(x)dx≥ Zx0+α
x0−α
f(x0)/2dx=αf(x0)>0 Le casx0=aoubse traite de manière similaire.
——–
Remarque.—Cette proposition n’ebien évidemment valable que dans le cas oùf econtinue (il suffit de prendre une fonion nulle sauf en un point pour le voir!).
.. Intégrales orientées.
Définition.—Soitaetbdeux réels tels queb < aetf une fonion continue par morceaux sur[b, a].
On pose par définition
Zb a
f(x)dx=− Za
b
f(x)dx De même on pose
Za a
f(x)dx= 0
Con ru ion de l’intégrale
Sommes de Riemann
On a alors les propriétés suivantes : Proposition.—Soientb < a.
/ L’application deCM([b, a])dansRqui àf associe Zb
a
f(x)dxelinéaire.
/ Sif ∈CM([b, a])etf positive, alors Z b
a
f(x)dx≤0.
/ Sif ∈CM([b, a])alors
Z b a
f(x)dx
≤ | Z b
a
|f(x)|dx|= Za
b
|f(x)|dx.
Proposition.—(Relation de Chasles)SoientS un segment etf une fonion continue par morceaux surS. Sia, b, cdésignent trois points deS, alors
Zb a
f(x)dx= Zc
a
f(x)dx+ Z b
c
f(x)dx
. Sommes de Riemann.
Définition.—Une subdivision pointée de[a, b]ela donnée d’un couple(s, t)oùs:a=x0< x1<· · ·<
xndésigne une subdivision ettunn-uplet de point de[a, b]vérifiant
∀i= 1,· · ·, n, ti ∈[xi−1, xi]
Pour une applicationf de[a, b]dansRet une subdivision pointée(s, t)de[a, b](s:a=x0< x1<· · ·< xn
ett= (t1,· · ·, tn)) données, on appelle somme de Riemann def associée à(s, t)le réel R(s,t)(f) =
Xn
i=1
(xi−xi−1)f(ti)
Théorème.—Soitf une fonion continue par morceaux sur un segment[a, b]. Pour toutε >0il exie un réelδ >0tel que pour toute subdivision pointée(s, t)de[a, b]on ait
π(s)< δ=⇒
R(s,t)(f)− Zb
a
f(x)dx
< ε
Preuve :Pour cette preuve, on suppose que la fonionf econtinue, le cas général s’obtenant alors comme dans la preuve du théorème, en considérant une subdivision adaptée àf. On reprend les notations de la définition. On a
R(s,t)(f)− Zb
a
f(x)dt= Xn
i=1
Zxi xi−1
(f(ti)−f(x))dx
D’après le théorème de Heine,f euniformément continue. Fixonsε >0, il exie alorsδ >0 tel que pour toutx, y∈[a, b],|x−y| ≤δ⇐⇒ |f(x)−f(y)| ≤ε/(b−a). Siπ(s)< δon a alors|ti−x| ≤δpour tout
