Preuve :Par récurrence surn. Au rangn= 2, c’ele théorème de Fubini. Prenonsn >2, supposons la propriété vraie au rangn−1 et prenons une fonionf continue sur le pavé [a1, b1]× · · · ×[an, bn] et une permutationσ∈Sn.
) Siσ(1) = 1 alors la reriion deσ à{2,· · ·, n}eencore une permutation.
——–
Calcul des primitives.
. Généralité.
Nous avons vu l’intérêt que peut réprésenter l’exience et la connaissance d’une primitive d’une fonion pour le cacul de son intégrale. Nous avons aussi prouvé que les primitives d’une fonion sur un intervalle, étaient égales à une conante additive près. L’objet de cette partie ede présenter quelques méthodes pour calculer des primitives. Ces méthodes sont principalement fondées sur le principe d’intégration par partie (cf ???) et celui du changement de variable (cf ???). Plus précisement, nous utiliserons les deux résultats suivants :
Proposition.—SoitI un intervalle de R et f et g deux applications dérivables de I dans R. Si la fonionf0gadmet une primitive surI, alors la fonionf g0admetf g−R
f0gpour primitive.
Preuve :Par hypothèse la fonionf g−R
f0gedérivable surI et sa dérivée vautf g0.
——–
Remarque.—Une condition suffisante d’application e f de classeC1; remarquons alors que nous n’imposons rien sur la continuité deg0.
Proposition.—SoitIetJdeux intervalles deR,f une application deIdansRetϕunC1-difféomorphisme deJ dansI. Alors, si la fonionf ◦ϕ.ϕ0 (deJ dansR) admetF pour primitive surJ, la fonionf admet F◦ϕ−1pour primitive surI. (On dit que l’on a opéré le changement de variablex=ϕ(t))
Preuve :Par hypothèseF◦ϕ−1edérivable et sa dérivée enx∈I vaut (F◦ϕ−1)0(x) =f(ϕ(ϕ−1(x))).ϕ0(ϕ−1(x)).(ϕ−1)0(x) =f(x)
——–
Exemples: Evaluons par ???, une primitive de ln(x) sur ]0,+∞[, en posantf(x) = ln(x) etg(x) =x. Il
vient donc: Z
ln(x)dx=xln(x)−x+cst Evaluons maintenant par ???, une primitive de √ 1
1−x2 sur ]−1,1[. Pour cela remarquons que la fonionϕ(t) = cos(t) eunC1-difféomorphisme de ]0, π[ dans ]−1,1[. Opérons donc le changement de variablex= cos(t). Nous sommes donc amené à calculer une primitive de −sin(t)
p1−cos2(t) sur ]0, π[.
Or Z −sin(t)
p1−cos2(t)dt= Z
−1.dt=−t+cst On en déduit donc que
Z 1
√
1−x2 =−arccos(x) +cst
Dans la pratique, on omettra souvent de mentionner l’intervalle sur lequel on travail quand celui-ci eimplicite.
Calcul
Quand on "calcule" une primitive, on veut en fait donner un forme explicite des primitives. Mais qu’e-ce qu’une forme explicite ? Le cas de la fonion ln(x) eassez révélateur : nous savons bien que la fonionx→1/xeune fonion continue sur ]0,+∞[, elle admet donc des primitives. Il esimple de prouver qu’aucune fraion rationnelle à coefficients réels, n’eprimitive de cette fonion. Dans un certain sens, la fonionx→1/x n’a donc pas de primitive explicite (a partir du moment ou l’on considère que les fonions explicites, sont les fraions rationnelles à coefficients réels). On edonc obligé de donner un nom à cette fonion: le logarithme. Une fois acceptée cette nouvelle fonion, on vient de voir dans l’exemple précédent que ln(x) admettait une primitive explicite:xln(x)−x, mais cette fonion n’etoujours pas une fraion rationnelle.
A la lueur de ces remarques, on peut donc tenter de définir la notion de primitive "explicite": étant donné une famille de fonions de référence, on dira qu’une fonion a une primitive explicite si elle a une primitive qui peut s’écrire comme combinaison finie de sommes, de produits, de rapports et de compositions de fonions faisant partie de la famille de référence. Généralement quand on parle de primitive explicite, on considère pour famille de référence les fonionxα, ln(x) etex. On rajoute parfois les fonions trigonométriques réciproques (c’edans cette situation que nous travaillerons).
Montrer qu’une fonion n’admet pas de primitive explicite, esouvent d’une grande difficultée. Par exemple, Liouville à prouver que la fonionx→e−x2 n’admet pas de primitive explicite (sa preuve fait appelle à la théorie de Galois différentielle).
. Méthodes.
.. Fraions rationnelles.
On s’interresse ici aux primitives des fraions rationnelles réelles. C’ea dire au primitives des fonionsFs’écrivants, sur leur domaine de définition, sous la formeF(x) = P(x)
Q(x) oùP etQsont deux polynômes à coefficients réels.
On noteR(X) l’ensemble des fraions rationnelles à coefficients réels (c’eun corps). Nous allons démontrer le théorème suivants:
Théorème.— SoitF ∈ R(X)et U un intervalle ouvert où e défini F. Il exie deux fraions ra-tionnelles réelles,GetHet une famille finieI1,· · ·Inde polynômes de degré1telles que
∀x∈U , Z
F(t)dt=G(x) + ln|H(x)|+
n
X
k=1
arctan(Ik(x))
Nous allons en fait être beaucoup plus précis et donner une méthode pour calculer explicitement les fraionsG, H et les polynômesIk.
SoitF(x) = P(x)
Q(x) une fraion rationnelle. Le théorème de d’Alembert-Gauss, assure notament que le polynômeQede la forme:
Q(x) =A Yn
i=1
(X−λi)αi Ym
j=1
(ajX2+bjX+cj)βj
avecnetmdes entiers positifs (on convient que quand les des deux enul, le produit considéré vaut 1),A∈ R, λi ∈ R pour touti, et aj, bj, cj ∈ R3 avec∆j =b2j −4ajcj <0 pour tout j, αi et αj entier riement supérieurs à 0 pour toutiet toutj.
Le théorème de décomposition en éléments simple des fraions rationnelles permet d’écrire:
F(x) =E(X) + Xn
i=1 αi
X
t=1
ωi,t (X−λi)t+
Xm
j=1 βi
X
t=1
uj,tx+vj,t (ajX2+bjX+cj)t
Calcul
AvecEle polyôme qui représente la partie entière de la division suivant les puissances croissantes deP parQetωi,t, uj,t, vj,t des réels (Les sommes sont considérées nulles sin= 0 ou sim= 0).
SoitUun intervalle ouvert où edéfinitF. On va chercher des primitives deFen calculant termes à termes des primitives surU des éléments simples apparaissants dans la décomposition deF. Nous sommes donc en présence de trois types de fonions dont il nous faut trouver des primitives surU:
/ Un polynôme:E(x).
/ Des fraions du types: k
(x−a)n avecnentier,kréel etaréel n’appartenant pas àU.
/ Des fraions du types: px+q
(ax2+bx+c)n avecnentierpetqréels eta, b, cun triplet de réels tels que b2−4ac <0.
Voyons dans chaque cas comment faire:
/ Trouver une primitive d’un polynôme ne pose pas de problème...
/ Deux cas se présentent:
./n= 1, alors on a, par exemple,
Z kdt
t−a = ln|t−a|
./n >1, alors on a, par exemple, Z kdt
(t−a)n = −k (n−1)(t−a)n−1
/ (C’ele cas délicat...) On commence par réécrirepx+qsous la former(2ax+b) +k) c’e-à-dire en faisant apparaitre la dérivée deax2+bx+cplus une conante. On a alors:
px+q
(ax2+bx+c)n =r ax+b
(ax2+bx+c)n+ k (ax2+bx+c)n
Ceci etoujours possible: En effet sip= 0 alors on poser= 0 etk=q. Sip,0 alors, on poser=p/2a etk=q−(rp)/2a. On ealors amené a calculer deuxyles de primitives:
3.1/
Z 2at+b
(at2+bt+c)ndt et 3.2/ k
(at2+bt+c)ndt
./ Il faut diingué:
../n= 1, alors on a, par exemple:
Z 2at+b
(at2+bt+c)dt= ln|at2+bt+c|
../n >1, alors on a, par exemple:
Z 2at+b
(at2+bt+c)ndt= 1
(1−n). 1 (at2+bt+c)n−1
./ On commence par écrire le polynômeat2+bt+c=a((t+ b 2a)2+(c
a− b2
4a2). La quantité, (ca− b2
4a2) e riement positive (car le polynôme eirréduible). On obtient donc:
at2+bt+c=a c a− b2
4a2
!
t+2ab qc
a− b2
4a2
2
+ 1
Calcul
On opère alors le changement de variablex= t+ b r 2a
c a− b2
4a2
et on eamené à calculer les primitives
Pn=
Z dx (x2+ 1)n Ces primitives se calculent par récurrence.
Prenonsn≥1, alors:
Pn=
Z dx (x2+ 1)n =
Z 1 +x2
(1 +x2)n+1dx=Pn+1+
Z x2 (1 +x2)n+1dx On calcule la dernière primitive par intégration par partie:
Z x
(1 +x2)n+1dx=− 1 2n
x
(x2+ 1)n + 1 2nPn La suite de fonionPns’obtient donc par la relation de récurrence:
P1(x) = arctan(x) Pn+1(x) = 1 2n
x
(x2+ 1)n+2n−1 2n Pn(x) Ainsi:
Z dx
(x2+ 1)= arctan(x) Z dx
(x2+ 1)2 = x 2(x2+ 1)+1
2arctan(x) Z dx
(x2+ 1)3 = x
4(x2+ 1)2 + 3x 4(x2+ 1)+3
8arctan(x)
.. Fonions trigonométriques.
.. Intégrales abéliennes.
Soit A(X, Y) et B(X, Y) deux fraions rationnelles à deux indeterminées (i.e le quotient de deux polynômes à deux variables). SoitP(X, Y) un polynôme a deux variable. Soitf une fonion définie par:
f(X) =A(X, Y)
B(X, Y), avec P(X, Y) = 0 Toute primitive d’une telle fonion, s’appelle "intégrale abélienne".
Il n’egénéralement pas facile de calculer de telle primitive. On peut toutefois remarquer que si la courbe d’équationP(X, Y) = 0 admet une paramétrisation il eparfois possible de conclure.
On se place dans le cas où il exie deux fonionsaetbd’un ouvertU deRdansRtelle que:
∀t∈U , P(a(t), b(t)) = 0
Si on suppose quea e un1-difféomorphisme, alors, on peut effeuer le changement de variable X=a(t) et trouver une primitive deA(X, Y)
B(X, Y) sura(U) revient donc à trouver une primitive de A(a(t), b(t))
B(a(t), b(t))a0(t)
Dans ce cas, nous sommes ramené au cas d’une fraion rationnelle.
Calcul
Exemple:Cherchons Z dX
XY avec la relationX3+Y3= 3XY (le folium de Descarte).
Cette courbe (le folium) admet la paramétrisation:
X= 3t
1 +t3, Y= 3t2 1 +t3 On pose doncX = 3t
1 +t3, donc dX = 3 1−2t3
(1 +t3)2dt, et notre intégrale devient après changement de
variable : Z
( 1 3t3 −2
3)dt c’e-à-dire−1/6(4t+t−2)
. Primitives usuelles.
Fonionf(x) Intervalle PrimitiveF(x)
eaxaveca∈C∗ R eax
a +C
ch(ax) aveca∈R∗ R sh(ax) a +C
sh(ax) aveca∈R∗ R ch(ax)
a +C
cos(ax) aveca∈R∗ R sin(ax)
a +C
sin(ax) aveca∈R∗ R −cos(ax)
a +C
xaaveca∈R/{1} ]0,+∞[ xa+1 a+ 1+C
Calcul
Fonionf(x) Intervalle PrimitiveF(x)
1
x2+a2 aveca∈R∗+ R 1
aarctan(x a) +C
√ 1
a2−x2 aveca∈R∗+ ]−a, a[ arcsin(x a) +C
√ 1
a2+x2 aveca∈R∗+ R argsh(x
a) = ln(x+
√ x2+a2)
√ 1
x2−a2 aveca∈R∗+ ]−a,+∞[ argch(x
a) = ln(|x+
√
x2−a2|)
√ 1
x2−a2 aveca∈R∗+ ]− ∞,−a[ −argch(−x
a ) = ln(|x+
√
x2−a2|)
1
a2−x2 aveca∈R∗+ ]− ∞,−a[; ]a,+∞[ 1
2aln(|x+a|
|x−a|) +C
1
a2−x2 aveca∈R∗+ ]−a, a[ 1
2aln(|x+a|
|x−a|) +C(=1 aargthx
a+C)
Fonionf(x) Intervalle PrimitiveF(x)
tan(x) ]−π
2+kπ,π
2+kπ[ −ln(|cos(x)|) +C 1
sin(x) ]kπ,(k+ 1)π[ −ln(|tan(x 2)|) +C
1
cos(x) ]−π
2+kπ,π
2+kπ[ −ln(|tan(π 4+x
2)|) +C
1
sh(x) ]0,+∞[; ]− ∞,0[ −ln(|(x 2)|) +C
1
ch(x) R 2 arctan(ex) +C