le 18 F´evrier 2010 UTBM MT12
Arthur LANNUZEL http ://mathutbmal.free.fr
Int´ egrale de Riemann
K=Rou C.
1 Int´ egrale d’une fonction en escalier.
D´efinition 1.1 (fonctions en escalier)
f : [a, b]⊂R−→K est appel´ee fonction en escalier ssi ∃a0 =a < a1 < ... < an=b (ai ∈R) tel que∀x∈]ai, ai+1[, f(x) =ci ∈K (la valeur aux bornes des intervalles n’a pas d’importance).
La famille {a1, ..., an} s’appelle une subdivision de [a, b].
D´efinition 1.2 (int´egrale d’une fonction en escalier) Soit f une fonction en escalier sur [a, b].
On appelle int´egrale de f sur [a, b], l’´el´ement de K :
∫ b a
f(x)dx :=
n−1
∑
i=0
ci.(ai+1−ai).
De plus ∫a
b f(x)dx:=−∫b
af(x)dx.
Remarque 1.3 Soit f : [a, b]−→K=R, une fonction en escalier.
Si ∀x ∈ [a, b], f(x) ≥ 0 alors, dans un rep`ere orthonorm´e (Ox, Oy), ∫b
a f(x)dx est l’aire d´elimit´ee par f et l’axe (Ox).
Si ∀x ∈ [a, b], f(x) ≤ 0 alors, dans un rep`ere orthonorm´e (Ox, Oy), ∫b
a f(x)dx est l’oppos´e de l’aire d´elimit´ee par f et l’axe (Ox).
Propri´et´es 1.3.1 i) L’int´egrale ne d´epend pas des valeurs prisent aux bornes de la subdivision.
ii) L’int´egrale est ind´ependante de la subdivision choisie.
iii) Si f est constante ´egale `a c0 sur [a, b] sauf en un nombre fini de points alors ∫b
af(x)dx = c0.(b−a).
Exemples 1.4 Calculer ∫32.32
−10.10E(x)dx.
2 Int´ egrale de Riemann d’une fonction r´ eelle continue.
Soit f : [a, b]−→Rcontinue.
DESSIN
Soit n ∈N, on consid`ere la subdivision : a0 =a,
a1 =a+ b−an , a2 =a+ 2.b−na, ...
ak =a+k.b−na, ...
an−1 =a+ (n−1).b−na, an =a+n.b−na.
Pour n∈N∗, on consid`ere les fonctions en escalier :
ϕn : [a, b]−→R telle que∀x∈]ai, ai+1[, ϕn(x) = inf{f(t), t ∈]ai, ai+1[}, ψn : [a, b]−→R telle que∀x∈]ai, ai+1[, ψn(x) = sup{f(t), t ∈]ai, ai+1[}.
Proposition-d´efinition 2.1 Les suites (un)n et (vn)n de terme g´en´eral un = ∫b
a ϕn(x)dx et vn =∫b
a ψn(x)dx convergent vers la mˆeme limite lorsque n tend vers +∞ et on d´efinit
∫ b
a
f(x)dx:= lim
n→+∞un= lim
n→+∞vn. Preuve.
(id´ee de preuve)
Prenons une fonction f croissante (bien choisie ! f′′ >0 par ex.) sur [a, b]
(un)n est croissante et major´ee.
(vn)n est d´ecroissante et minor´ee.
∀n∈N∗, un ≤vn.
De plus |vn−un|tend vers 0 lorsque n tends vers ∞. Donc les suites (un)n et (vn)n sont adjacentes.
Donc limn→+∞un= limn→+∞vn. CQFD
CQFD
Remarque 2.2 i) ∫a
b f(x)dx=−∫b
a f(x)dx.
ii) On peut g´en´eraliser la d´efinition pr´ec´edente aux fonctions f continues par morceaux (i.e.
les fonctions f telles que ∃a0 = 0 < a1 < a2 < ... < an = b avec f continue sur ]ai, ai+1[ et admettant une limite `a droite en ai et `a gauche en ai+1).
Exemples 2.3 ∫10
0 x2dx
3 Propri´ et´ es de l’int´ egrale de Riemann.
Propri´et´es 3.0.1 Soit f, g int´egrables (par ex. continue) sur [a, b].
1) Si K=R et ∀x∈[a, b], f(x)≥0 alors, dans un rep`ere orthonorm´e (Ox, Oy), ∫b
af(x)dx est l’aire du domaine du plan d´elimit´e par la courbe et l’axe Ox.
2) ∀λ, µ∈K, ∫b
a(λ.f(x) +µ.g(x))dx =λ.∫b
af(x)dx+µ.∫b
a g(x)dx.
3) Si f ≤g sur [a, b] alors ∫b
a f(x)dx≤∫b
ag(x)dx.
4) Si f ≥0 (ou f ≤0) sur [a, b] et ∫b
a f(x)dx= 0 alors f ≡0.
5) |∫b
a f(x)dx| ≤∫b
a |f(x)|dx.
Preuve.
|∫b
a f(x)dx|= limn→+∞|b−na∑n−1
k=0f(a+k.b−na)| ≤limn→+∞ b−na∑n−1
k=0|f(a+k.b−na)|=∫b
a |f(x)|dx.
CQFD
6) Si K = C et f : [a, b] −→ C alors f(x) = u(x) +i.v(x) avec u, v continue sur [a, b] et
∫b
a f(x)dx=∫b
au(x)dx+i.∫b
a v(x)dx.
7) Si c∈[a, b] alors ∫b
af(x)dx=∫c
af(x)dx+∫b
c f(x)dx.
8) Formule de la moyenne : soit f : [a, b]−→R continue.
Alors ∀x∈[a, b], m= min{f(t), t∈[a, b]} ≤f(x)≤M = max{f(t), t∈[a, b]}, donc m.(b−a)≤∫b
a f(x)dx≤M.(b−a), donc m≤ ∫abfb−(x)dxa ≤M,
donc, d’apr`es le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires,
∃c ∈ [a, b]/
∫ b
a
f(x)dx =f(c).(b−a)⇐⇒ ∃c ∈[a, b]/
∫b
a f(x)dx
b−a = f(c)
4 Int´ egrale et primitives.
I intervalle de R.
Soit f ∈ C(I,K) et a∈I.
Etudions´ G: I −→ K x 7→ ∫x
a f(t)dt . Cherchons la d´eriv´ee deG :
G(x+h)−G(x)
h = 1h∫x+h
x f(t)dt donc, d’apr`es la formule de la moyenne,
∃ch ∈[x, x+h],G(x+h)−G(x)
h =f(ch),
donc
lim
h→0
G(x+h)−G(x)
h =f(x).
Conclusion 4.1 G est d´erivable sur I et ∀x∈I, G′(x) = f(x).
D´efinition 4.2 (primitive)
Soit f : [a, b]−→K, on appelle primitive de f toute fonction F : [a, b]−→K qui est d´erivable et telle que F′ =f.
Remarque 4.3 Si F1, F2 primitives de f sur I alors F1(x) =F2(x) +k (k ∈K) donc si F est une primitive de f alors ∃k ∈K, F(x) = ∫x
a f(x)dx+k.
Notation 4.4 Soit f : [a, b]−→R continue.
∫ f(x)dx d´esigneune primitive de f.
On en d´eduit
Proposition 4.5 Si F est une primitive de f sur I alors
∀a, b∈I,
∫ b a
f(x)dx=F(b)−F(a).
5 Approximation d’une int´ egrale.
Les m´ethodes graphiques classiques d’approximation d’une int´egrale ∫b
af(x)dx consistent `a partager l’intervalle [a, b] en n intervalles ´egaux [a+k.b−na, a+ (k+ 1).b−na] (k ∈ {0, ..., n−1}) et `a approximer f sur chaque intervalle par une fonction gk facile `a int´egrer sur [ak, ak+1] (ak =a+k.b−na).
M´ ethode des rectangles.
Cette m´ethode consiste `a approximer f sur [ak, ak+1] par g(x) =f(ck) pour ck ∈[ak, ak+1].
Prenons par exemple, ck =ak :
∫ ak+1
ak
g(x)dx = b−a
n .f(ak),
donc ∫ b
a
f(x)dx≈
∫ b a
g(x)dx= b−a n
n−1
∑
k=0
f(ak).
Mesurons l’erreur (pour f ∈ C1([a, b],K)) :
Soitx∈[ak, ak+1], alors d’apr`es le th´eor`eme des accroissements finis, il existec∈[ak, x] tel que
|f(x)−f(ak)|= (x−ak).|f′(c)|. Donc |∫ak+1
ak f(x)−f(ak)dx| ≤sup{|f′(t)|, t∈[a, b]}.∫ak+1
ak (x−ak)dx, donc |∫ak+1
ak f(x)−f(ak)dx| ≤sup{|f′(t)|, t ∈[a, b]}.(ak+12−ak)2, donc |∫ak+1
ak f(x)−f(ak)dx| ≤sup{|f′(t)|, t ∈[a, b]}.(b2n−a)22, donc |∫b
a f(x)dx− b−na ∑n−1
k=0 f(ak)| ≤ (b2.n−a)2.sup{|f′(t)|, t ∈[a, b]}. Exercice 5.1 Trouver une valeur approch´ee de ∫ √23
√2 2
√1−x2dx `a 10−3 pr´es.
6 Quelques techniques d’integration.
6.1 L’integration par partie.
(u.v)′ =u′.v+u.v′ donc ∫
u.v′ = [u.v]−∫ u′.v.
Exemples 6.1 ∫1
0 x.ln(x+ 1)dx.
6.2 Changement de variable.
Dans I =∫b
a f(x)dx, en posant x =ϕ(t) avec ϕ bijective de [α, β] sur [a =ϕ(α), b =ϕ(β), on obtient
I =
∫ β α
f(ϕ(t)).ϕ′(t)dt.
Exemples 6.2 ∫0 1 x2.√
1 +x3.dx.
6.3 Integration des fonctions rationnelles.
On d´ecompose en ´el´ements simples pour ensuite int´egrer chaque ´el´ement simple.
Exemples 6.3 ∫0 1
x3+2 (x+1)2.dx.
6.4 Integration des fonctions rationnelles en sin(x), cos(x).
Utiliser le changement de variableu= tanx2 puis int´egrer la fraction rationnelle.
Exemples 6.4 ∫ cos(x)
2 sin(x)−sin(2.x).dx.
Remarque 6.5 Le mˆeme genre de m´ethode est valable pour les fonctions rationnelles enCh(x) et Sh(x).
