Intégrale de Riemann
Cours de mathématiques 1ercycle, 1reannée
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Sommaire
1 Sommes de Riemann d'une fonction Dénitions
Exemples
2 Intégrale de Riemann Intégrabilité Exemples Propriétés
Formule de la moyenne
3 Primitives
Théorème fondamental de l'analyse Lien intégrale/primitive
Exemple de synthèse
Primitives des fonctions usuelles
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Sommaire
1 Sommes de Riemann d'une fonction Dénitions
Exemples
2 Intégrale de Riemann
3 Primitives
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1. Sommes de Riemann a) Dénitions Dénition 1.1 (Subdivision)
Soitaetbdeux réels tels quea<b.
• Une subdivision de l'intervalle fermé borné[a,b]est une famille nie de réels (x0,x1, . . . ,xn)telle que :a=x0<x1<· · ·<xn−1<xn=b.
Il s'agit donc d'un découpage de l'intervalle[a,b].
• Le pas d'une telle subdivision est le nombreδ= max
16k6n{xk−xk−1}.
C'est la longueur du plus grand intervalle dans le découpage de[a,b].
a•
x0 • x1•
x2 •
x3 . . . •
xk−1
• xk
•
xk+1 . . . • xn−2
• xn−1
•
xn
b δ
Exemple 1.2 (Subdivision équirépartie )
La subdivision équirépartie est issue d'un découpage équidistant de[a,b]enn intervalles de longueur identiqueδ=b−an .
Les points de subdivision sont donnés parxk=a+kb−an , 06k6n(ils sont répartis selon une progression arithmétique de raisonδ) :
σ= a,a+b−an ,a+2b−an ,a+3b−an , . . . ,b .
a•
x0 • x1 •
x2 •
x3 . . . •
xk−1
• xk
•
xk+1 . . . • xn−2
• xn−1
•
xn
b
δ δ δ δ δ δ δ
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11. Sommes de Riemann a) Dénitions Dénition 1.3 (Somme de Riemann)
Soitf une fonction dénie sur[a,b],σ= (x0, . . . ,xn)une subdivision de[a,b], etΛ = (λ1, . . . , λn)une famille de réels tels que :∀k∈ {1, . . . ,n},λk∈[xk−1,xk] (on dit alors que la familleΛest adaptée à la subdivisionσ).
On appelle somme de Riemann de la fonctionf associée àσet àΛle nombre S(f, σ,Λ) =
n
X
k=1
(xk−xk−1)f(λk).
Ce nombre représente l'aire de la réunion des rectangles de base[xk−1,xk]et de hauteurf(λk).
x f(x)
a b
x0x1x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 λ1λ2 λ3 λ4 λ5 λ6 λ7λ8 λ9 λ10 λ11 λ12
•
•
•
•
• •
•
•
•
• •
•
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21. Sommes de Riemann b) Exemples
Exemple 1.4 (Subdivision équirépartie)
Considérons une subdivision équirépartie avec comme choix desλkune des bornes de chaque sous-intervalle :
xk=a+kb−a
n , 06k6n λk=xk ouxk−1, 16k6n Les sommes de Riemann correspondante s'écrivent :
S(f, σ,Λ) = b−a n
n
X
k=1
f
a+kb−a n
ou b−a n
n−1
X
k=0
f
a+kb−a n
x f(x)
a b
x0x1x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9x10x11x12
λ1λ2λ3λ4λ5λ6λ7λ8λ9λ10λ11λ12
•
• •
• •
•
•
•
•
•
•
•
x f(x)
a b
x0x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10x11x12
λ1λ2λ3λ4λ5λ6λ7λ8λ9λ10λ11λ12
• •
• •
•
•
•
•
•
•
• •
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31. Sommes de Riemann b) Exemples Exemple 1.5 (Sommes de Darboux(facultatif))
Soitf une fonction continue sur[a,b],σ= (x0, . . . ,xn)une subdivision de[a,b]. Introduisons les valeurs extrémales relatives à chacun des sous-intervalles deσ:
∀k∈ {1,2, . . . ,n}, mk= min
[xk−1,xk]f et Mk= max
[xk−1,xk]f.
Par continuité,f atteint ses bornes : il existe donc desλ1k, λ2kdans[xk−1,xk]tels que f(λ1k) =mk etf(λ2k) =Mk.
Les sommes de Riemann correspondant aux familles adaptéesΛ1= (λ11, . . . , λ1n)et Λ2= (λ21, . . . , λ2n)sont appelées sommes de Darboux :
S1=S(f, σ,Λ1) =
n
X
k=1
mk(xk−xk−1) et S2=S(f, σ,Λ2) =
n
X
k=1
Mk(xk−xk−1).
x f(x)
a b
x0x1x2 x3x4 x5 x6 x7 x8x9 x10 x11x12 x13
λ11λ12 λ13λ14λ15 λ16 λ17λ18λ19λ110 λ111λ112 λ113 λ21λ22λ23λ24λ25 λ26λ27 λ28 λ29λ210 λ211λ212λ213
•
•
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
• •
•
•
Remarque : toutes les sommes de Riemann sont comprises entreS1 etS2.
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4Sommaire
1 Sommes de Riemann d'une fonction
2 Intégrale de Riemann Intégrabilité Exemples Propriétés
Formule de la moyenne
3 Primitives
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2. Intégrale de Riemann a) Intégrabilité Dénition 2.1 (Intégrabilité)
Soitf : [a,b]→Rune fonction bornée. S'il existe un nombre réelI tel que
∀ε >0, ∃δ >0, ∀σsubdivision de pas< δ, ∀Λadaptée àσ, |S(f, σ,Λ)−I|< ε on dit que la fonctionf est intégrable (au sens de Riemann) sur[a,b]et le nombre I est l'intégrale def sur[a,b]. Ce nombre est notéZb
af(x)dx ouZb
af. Autrement dit, une fonction est intégrable ssi toutes ses suites de sommes de Riemann dont le pas des subdivisions associées tend vers 0, sont convergentes de même limite nie.
x f(x)
a b
•
•
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
δ
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52. Intégrale de Riemann a) Intégrabilité Dénition 2.1 (Intégrabilité)
Soitf : [a,b]→Rune fonction bornée. S'il existe un nombre réelI tel que
∀ε >0, ∃δ >0, ∀σsubdivision de pas< δ, ∀Λadaptée àσ, |S(f, σ,Λ)−I|< ε on dit que la fonctionf est intégrable (au sens de Riemann) sur[a,b]et le nombre I est l'intégrale def sur[a,b]. Ce nombre est notéZb
af(x)dx ouZb
af. Autrement dit, une fonction est intégrable ssi toutes ses suites de sommes de Riemann dont le pas des subdivisions associées tend vers 0, sont convergentes de même limite nie.
x f(x)
a b
•
•
•
•
• •
•
•
• •
• •
• •
•
•
• •
δ
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52. Intégrale de Riemann a) Intégrabilité Dénition 2.1 (Intégrabilité)
Soitf : [a,b]→Rune fonction bornée. S'il existe un nombre réelI tel que
∀ε >0, ∃δ >0, ∀σsubdivision de pas< δ, ∀Λadaptée àσ, |S(f, σ,Λ)−I|< ε on dit que la fonctionf est intégrable (au sens de Riemann) sur[a,b]et le nombre I est l'intégrale def sur[a,b]. Ce nombre est notéZb
af(x)dx ouZb
af. Autrement dit, une fonction est intégrable ssi toutes ses suites de sommes de Riemann dont le pas des subdivisions associées tend vers 0, sont convergentes de même limite nie.
x f(x)
a b
•
•
• • •
•
•
• • • •
•
•
•
• •
•
•• •
•• •
•
•
•
• • • •
δ
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52. Intégrale de Riemann a) Intégrabilité Remarque 2.2 (Notations/conventions)
• La variable utilisée dans la notation de l'intégrale est dite muette : Z b
a
f = Z b
a
f(x)dx= Z b
a
f(t)dt= Z b
a
f(u)du= Z b
a
f( )d =· · ·
• Le nombreZb
af représente l' aire algébrique entre la courbe def dans un repère orthonormal et l'axe des abscisses, en comptant négativement les parties au-dessous de l'axe et positivement les parties au-dessus.
x f(x)
a b
+
+
+
− −
• Conventions : on convient que Z a
b
f(x)dx =− Zb
a
f(x)dx et Z a
a
f(x)dx=0.
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62. Intégrale de Riemann a) Intégrabilité Théorème 2.3 (Exemples de fonction intégrable(admis))
• Toute fonction continue sur[a,b]est intégrable sur[a,b].
• Plus généralement, toute fonction continue par morceaux sur[a,b]
(i.e. admettant un nombre ni de discontinuités, celles-ci étant de 1reespèce) est intégrable sur[a,b].
Plus précisément, en notantx1,x2, . . . ,xn−1ses discontinuités et en posant x0=aetxn=b, on peut prolongerf par continuité sur chaque intervalle [xk−1,xk],k∈ {1, . . . ,n}. Notonsf˜kce prolongement. Alors
Z b a
f =
n
X
k=1
Z xk xk−1
f˜k.
x f(x)
x•0
•
x•1
•
x•2
•
x•3
•
x•4
•
•
•
•
a b
Remarquons que si l'on modie la valeur d'une fonction continue par morceaux en un nombre ni de points, alors la valeur de son intégrale reste la même.
• Toute fonction monotone sur[a,b]est intégrable sur[a,b].
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72. Intégrale de Riemann b) Exemples
Exemple 2.4 (Fonctions constante, identité, exponentielle...)
À l'aide de la somme de Riemann associée à une subdivision équirépartie, on trouve pour une fonction intégrable
n→+∞lim b−a
n
n
X
k=1
f
a+kb−a n
= Z b
a
f(x)dx.
• Dans le cas d'une fonction constante, cela donne
∀λ∈R, Z b
a
λdx= lim
n→+∞
b−a n
n
X
k=1
λ=λ(b−a) (aire d'un rectangle !)
• Dans le cas de la fonction exponentielle, cela donne Zb
a
exdx = lim
n→+∞
b−a n
n
X
k=1
ea+kb−an =eb−ea.
• Dans le cas de la fonction identité, cela donne Z b
a
xdx= lim
n→+∞
b−a n
n
X
k=1
a+kb−a n
= 1
2(b2−a2) (aire d'un trapèze !)
• Dans le cas de la fonction carré, cela donne Zb
a
x2dx= lim
n→+∞
b−a n
n
X
k=1
a+kb−a n
2
= 1
3(b3−a3).
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82. Intégrale de Riemann b) Exemples Exemple 2.5 (Fonction indicatrice deQ)
Considérons la fonction indicatrice (ou caractéristique) deQ. Il s'agit de la fonction 1Q:R−→Q
x7−→
(1 six∈Q 0 six∈/Q
Soit une subdivisionσ= (x0, . . . ,xn)d'un intervalle[a,b]de pas arbitrairement petit, Λ = (λ1, . . . , λn)etΛ0= (λ01, . . . , λ0n)deux familles adaptées à la subdivisionσtelles que
∀k∈ {1, . . . ,n}, λk∈Q et λ0k∈R\Q. Les sommes de Riemann correspondantes valent
S(1Q, σ,Λ) =0 et S(1Q, σ,Λ0) =b−a.
Elles ne peuvent pas tendre vers une limite commune.
Ainsi, la fonction indicatrice deQn'est intégrable sur aucun intervalle[a,b].
Annexe (facultatif)
Entre deux réels distincts quelconques, il existe un rationnel et un irrationnel (en fait une innité de chaque). On dit que les ensemblesQetR\Qsont denses dansR.
En eet : soit(a,b)∈R2tels quea<b. Alors il existe un entierntel quea<b−1n. Posonsun=E(na)+n 1 etvn=E(na
√2)+1 n√
2 . Les nombresunetvnsont compris entreaetb, unest rationnel etvnest irrationnel.
]
• •[ [
a un vn b−1
n b
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92. Intégrale de Riemann c) Propriétés Proposition 2.6 (Opérations)
1 Linéarité
Soitf etg deux fonctions intégrables sur[a,b](a6b) etλ, µ∈R.
La fonctionλf +µg est intégrable sur[a,b]et Z b
a
(λf(x) +µg(x))dx =λ Z b
a
f(x)dx+µ Z b
a
g(x)dx
2 Relation de Chasles
Soitf une fonction intégrable sur[a,b](a6b) Pour toutc∈[a,b],f est intégrable
sur[a,c]et[c,b]et Z b
a
f(x)dx = Z c
a
f(x)dx+ Z b
c
f(x)dx ou encore
Z c a
f(x)dx = Z b
a
f(x)dx− Z b
c
f(x)dx
x f(x)
a c b
Ces propriétés restent valables lorsqueb<a.
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102. Intégrale de Riemann c) Propriétés Proposition 2.7 (Ordre)
1 Croissance/Positivité
Soitf etgdeux fonctions intégrables sur[a,b](a6b).
Sif >g sur[a,b]alorsZ b a
f(x)dx >
Z b a
g(x)dx. En particulier : sif >0 sur[a,b]alorsZ b
a
f(x)dx >0. x
y
O a b
y=f(x)
y=g(x) 2 Inégalité triangulaire
Soitf une fonction intégrable sur[a,b](a6b).
On a
Z b a
f(x)dx 6
Zb a
|f(x)|dx
Plus généralement, quel que soit l'ordre deaetb,
Z b a
f(x)dx 6
Z b a
|f(x)|dx
6|b−a| × sup
x∈[a,b]
|f(x)|.
x y
O a b
y=|f(x)|
y=f(x)
3 Stricte positivité
Supposonsf continue et positive.
• S'il existex0∈[a,b]tel quef(x0)>0, alorsZb a
f(x)dx>0.
• SiZb a
f(x)dx=0 alors, pour toutx∈[a,b],f(x) =0. x f(x)
f(x0) •
O a x0 b
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112. Intégrale de Riemann d) Formule de la moyenne Dénition 2.8 (Valeur moyenne)
Soitf : [a,b]→Rune fonction intégrable.
On appelle valeur moyenne def sur[a,b]le réel 1 b−a
Z b a
f(x)dx.
Exemple 2.9
Soit y1,y2, . . . ,yn des nombres réels et f : [a,b] −→ R la fonction constante par morceaux dénie par f(x) =yk pour toutk∈ {1,2, . . . ,n}
et tout x ∈ [xk−1,xk] où l'on a posé xk=a+ (b−a)kn.
Alors la valeur moyenne def sur[a,b]
coïncide avec la moyenne arithmé- tique des nombresy1, . . . ,yn:
1 b−a
Zb a
f(x)dx= 1 n
n
X
k=1
yk= ¯y.
x y
x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
y1 y2 y3
y4
y5
y6
y7
y8
y9
y10
¯ y
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122. Intégrale de Riemann d) Formule de la moyenne Théorème 2.10 (Formule de la moyenne)
Soitf : [a,b]→Rcontinue et soitg: [a,b]→Rintégrable de signe constant.
Alors
∃c∈[a,b], Z b
a
f(x)g(x)dx=f(c) Z b
a
g(x)dx.
En particulier, pourg=1 :
∃c∈[a,b], Zb
a
f(x)dx=f(c)(b−a).
Autrement dit, il existe un c ∈ [a,b]
tel que f(c) coïncide avec la valeur moyenne def sur[a,b].
x f(x)
f(c)
a c b
•
Exemple 2.11
Soitf : [a,b]→Rcontinue et pour toutn∈N,un=Rb
a f(x)e−nxdx. La fonctionx7−→e−nx étant intégrable positive sur[a,b],
∃cn∈[a,b], un=f(cn) Z b
a
e−nxdx= 1
nf(cn)(e−na−e−nb).
La fonctionf étant continue sur[a,b], donc bornée, on en déduit que lim
n→+∞un=0.
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13Sommaire
1 Sommes de Riemann d'une fonction
2 Intégrale de Riemann
3 Primitives
Théorème fondamental de l'analyse Lien intégrale/primitive
Exemple de synthèse
Primitives des fonctions usuelles
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3. Primitives a) Théorème fondamental de l'analyse
Le théorème de la moyenne permet d'obtenir une relation de réciprocité entre les opérations d'intégration et de dérivation décrite dans le résultat suivant : Théorème-dénition 3.1 (Théorème fondamental de l'analyse) Soitf une fonction continue sur un intervalleI eta∈I xé.
On dénit la fonction suivanteF surI par∀x∈I, F(x) = Zx
a
f(t)dt.
AlorsF est de classeC1 surI etF0=f. On dit queF est une primitive def surI.
F est en fait l'unique primitive def surI qui s'annule ena.
Remarque 3.2 (Ranement de la formule de la moyenne(facultatif)) La formule de la moyenne précédemment énoncée stipule l'existence d'unc appartenant à l'intervalle fermé[a,b]tel queZb
af(x)dx=f(c)(b−a).
En fait, le théorème des accroissements nis appliqués à une primitive def permet d'assurer plus précisément l'existence d'un telc dans l'intervalle ouvert]a,b[.
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143. Primitives b) Lien intégrale/primitive Corollaire 3.3
Soitf une fonction continue sur un intervalleI. Alors :
1 f admet des primitives surI;
2 siF est une primitive def, alors toutes les primitives def s'obtiennent en ajoutant une constante réelle àF;
3 pour toute primitiveF def et(a,b)∈I2, on a :Z b a
f(t)dt=F(b)−F(a).
Notations :
• la quantitéF(b)−F(a)se note aussi[F(t)]ba;
• on noteZ
f(x)dx toute primitive def (dénie à une constante additive près).
Corollaire 3.4
Soitf une fonction de classeC1sur un intervalleI. Alors on a pour tout(a,b)∈I2:Zb
a
f0(t)dt=f(b)−f(a).
On fera attention de ne pas confondre la formule précédente avec la suivante (valable pourf continue), l'ordre d'intégration et de dérivation n'étant pas le même :
d dx
Z x a
f(t)dt=f(x).
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153. Primitives c) Exemple de synthèse Exemple 3.5 (Un calcul d'intégrale)
1 La fonction d'intérêt : soitf : ]0,1[ −→ R x 7−→ x−1
lnx
• La fonctionf est continue sur]0,1[.
• On a lim
x→0+f(x) =0 et lim
x→1−f(x) =1.
• Doncf admet un prolongement par continuitéf˜ en 0 et 1 obtenu en posantf˜(0) =0 etf˜(1) =1.
Plus précisément : f˜: [0,1] −→ R
x 7−→
f(x) six∈]0,1[ 0 six=0 1 six=1 On se propose alors de calculer l'intégrale
I = Z 1
0
f˜(x)dx.
x f˜(x)
0•
1
1 •
aire = I
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163. Primitives c) Exemple de synthèse Exemple 3.5 (Un calcul d'intégrale)
2 Une fonction intermédiaire : soit F : ]0,1[ −→ R x 7−→
Z x2 x
1 lntdt
• Limite en 0+.Posonsϕ(t) =ln1t pourt∈]0,1[. La fonctionϕétant continue sur ]0,1[et lim
t→0+ϕ(t) =0, elle est bornée au voisinage de 0 (disons|ϕ(t)|6M).
On a|F(x)|6Mx(1−x). D'où lim
x→0+F(x) =0.
• Limite en 1−.On a le DL généralisé en 1 :ϕ(t) =
t→1
t−11+12 +o(1) =t−11+ε(t) oùεest une fonction continue sur]0,1[admettant une limite nie (12) en 1, donc bornée au voisinage de 1 (disons|ε(t)|6M2). AlorsF(x) =Zx2
x 1
t−1dt+Zx2
x ε(t)dt avecZx2
x 1
t−1dt= ln(x+1)et
Zx2 x ε(t)dt
6M2x(1−x).D'où lim
x→1−F(x) = ln2.
• Prolongement par continuité sur[0,1].DoncFadmet un prolongement par continuité F˜en 0 et 1 obtenu en posantF(˜ 0) =0etF˜(1) = ln2(F étant continue sur]0,1[).
• Dérivée deF˜.La fonctionϕétant continue sur]0,1[, elle admet une primitiveΦ. On peut écrireF(x) = Φ(x2)−Φ(x),Φétant dérivable sur]0,1[.
On voit alors queF est dérivable sur]0,1[etF0(x) =2xϕ(x2)−ϕ(x) =f(x).
Par ailleurs, lim
x→0+F0(x) = ˜f(0)et lim
x→1−F0(x) = ˜f(1), donc d'après le théorème de la limite de la dérivée,
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F˜est dérivable en 0 et en 1 etF˜0= ˜f sur[0,1]. 173. Primitives c) Exemple de synthèse Exemple 3.5 (Un calcul d'intégrale)
3 Le calcul d'aire :
• La fonctionF˜est une primitive def˜sur[0,1]. En conséquence,I=F˜(x)1
0= ˜F(1)−F˜(0)soit
I = ln2.
x f˜(x)
0•
1
1 •
aire = ln 2
x F˜(x)
0 1
• ln 2 •
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183. Primitives d) Primitives des fonctions usuelles Partant des dérivées des fonctions classiques, on peut dresser une liste de primitives à connaître :
Exemple 3.6 (Fonctions puissances/exponentielles/trigonométriques/hyperboliques)
1
Z
xpdx = 1
p+1xp+1+Cste pour toutp∈R\{−1}etZ 1
x dx= ln|x|+Cste ou encoreZ 1
xpdx =− 1 p−1
1
xp−1 +Cste pour toutp∈R\{1}
2
Z
eaxdx=1
aeax+Cste pour touta∈R∗
3
Z
cosxdx = sinx+CsteetZ
sinxdx =−cosx+Cste Z
tanxdx=−ln|cosx|+Csteet Z 1
cos2xdx = tanx+Cste
4
Z
chxdx=shx+Cste etZ
shxdx=chx+Cste Z
thxdx= lnchx+Cste etZ 1
ch2xdx =thx+Cste
5
Z √ 1
1−x2dx = arcsinx+Cste etZ √ 1
x2+1dx=argshx+Cste
6
Z 1
x2+1dx= arctanx+Cste
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194. Compléments Et pour aller plus loin...
http ://math.univ-lyon1.fr/~alachal/diaporamas/diaporama_riemann.pdf http ://math.univ-lyon1.fr/~alachal/diaporamas/diaporama_stirling.pdf
http ://math.univ-lyon1.fr/~alachal/diaporamas/ http ://math.univ-lyon1.fr/~alachal/diaporamas/
diaporama_machin_ploue.pdf diaporama_sinus_eulerien.pdf
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20En résumé...
Notions à retenir
• Sommes de Riemann
? Application au calcul de limites de certaines suites
• Intégrale de Riemann
? Interprétation géométrique
? Opérations
? Inégalités, théorème de la moyenne
• Primitives
? Théorème fondamental de l'analyse : lien entre intégrale dénie et primitive
? Primitives usuelles à connaître
