Chapitre 16 : Calculs d’aires et étude graphique des intégrales 1 Intégrale d’une fonction continue
1.1 Fonctions positives
Soient a et b deux réels quelconques tels que a < b, f une fonction continue et positive sur[a;b]etCf sa courbe représentative dans un re- père orthogonal(O;I, J).
On appelleunité d’aire, l’aire du rectangle de côtés[OI]et[OJ].
On appelle intégrale de f sur [a;b],
. . . . . . . . . . . .
Définition
L’intégrale def sur[a;b]se note Z b
a
f(x)dx. On dit aussi que
Z b a
f(x)dx représentel’aire sous la courbeentreaetb.
Remarque Dans l’écriture
Z b a
f(x)dx,xest une lettre " muette ". On peut la remplacer par n’importe qu’elle autre lettre, exceptéesa
etb: Z b
a
f(x)dx= Z b
a
f(t)dt= Z b
a
f(u)du= Z b
a
f(z)dz= Z b
a
f(α)dα =. . . Z b
a
f(x)dxse lit aussi " somme deaàbdef(x)dx".
On étend la notion d’intégrale pour une fonction non positives : 1.2 Fonctions négatives
Sif est un fonction continue, négative sur[a;b]. On appelle intégrale de f sur[a;b]l’opposé de l’aire du domaineDet on note :
Z b a
f(x)dx =−Aire(D)
Définition
1.3 Fonctions quelconques
Sif est un fonction continue qui change de signe sur [a;b]. On appelle intégrale de f sur [a;b] la différence entre l’aire obtenue quand f est positive et l’aire obtenue quand f est négative.
Définition
1.4 Propriétés
Soitf etgdeux fonctions continues sur un intervalleI,a,betcdes éléments deI. Soitλ∈R.
Linéarité Bornes de l’intégrale
Z b a
(f+g)(x)dx=
. . . .
Z b a
λf(x)dx= . . . .
Z a a
f(x)dx =. . .
Z a b
f(x)dx=
. . . .
Positivité Relation d’ordre Relation de Chasles
Sif(x)≥0sur[a;b]
Z b a
f(x)dx≥. . . .
Sif(x)≤g(x)sur[a;b]
Z b a
f(x)dx≤. . . .
Z b a
f(x)dx=
. . . .
2 Calcul d’aires
Soitf etgdeux fonctions continues sur[a;b].
— L’aire, exprimée en unités d’aire, de la surface délimitée par la courbeCf, l’axe des abscisses et les droites d’équationsx=aetx=best :
. . . .
. . . .
— sif(x) ≥ g(x) sur[a;b], alors l’aire, exprimée en unités d’aire, de la surface délimitée par les courbesCf etCget les droites d’équationsx=aetx=best :
. . . .
3 Valeur moyenne
Soitf une fonction continue sur[a;b].
Sia≤bet simetM sont deux réels tels quem≤f(x)≤Mpour toutx∈[a;b], alors . . . .
et sia < b, . . . . Théorème
On appelle valeur moyenne de la fonctionfsur[a;b]le nombre . . . . Définition
4 Encadrement
Soitf une fonction continue, positive et croissante sur[a;b]etnun entier strictement positif.
On partage[a;b]ennintervalles d’amplitudeh= b−a
n .
Sur chaque intervalle[a+ih;a+ (i+ 1)h], oùivarie de0àn−1, on a l’encadrement . . . .
Donc . . . . où à gauche et à droite, les produits sont des aires de rectangles.
On obtient alors l’encadrement suivant :
. . . .
On peut écrire un programme afin d’effectuer ce calcul.
Algorithme
Les variables sontaetbles bornes de l’intervalle,nle nombre de rectangles,hle pas (largeur des rectangles,xl’abscisse courante, Iinf et Isup les sommes des aires.
h←(b−a)/n Iinf←0 Isup←0 x←a
POURivariant de0àn−1 Iinf←Iinf+f(x) x←x+h
Isup←Isup+f(x) FIN POUR
Iinf←h*Iinf Isup←h*Isup
Si la fonctionf est simplement continue sur[a;b], on peut obtenir une valeur approchée de l’intégrale en approximant, sur chaque intervalle [a+ih;a+ (i+ 1)h],f(x)parf(a+ (i+ 1/2)h).
![Intégrale d’une fonction continue positive sur un intervalle [a;b]](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)