5-Les intégrales multiples

(1)

Version 2021 5-Les intégrales multiples 1

1.1

La première intégrale donne

[ ] [ ]

( )

2 3 2 3

1 2

2 1

0 1 0

2 1 1

2 2

0 2 0

9 4

xydxdy x y dy

y y dy

ydy

−

 

=

 

= −

=

  



La deuxième intégrale donne

[ ] [ ]

2 2 2

0 4 2 0

2 4 2 0 8

ydy= y 

= ⋅ − ⋅

=



1.2 ( )

( )

1 1

2 2 3

1 1 3

1 2 3 2 3

3 3

1

1 4 3 2

1 3

2 3 3

3 3

6

y y

y

x y dxdy x xy

y

dy

y yy y yy dy

y y dy

−

− − −

−

 

+ =



+



   

=



+

 

− − −



= +

  



( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 4 3 2 1 4 3 1

3 3 1

1

4 3 4 3

1 1

3 3

1 3 1

3 3

6 2

1 2 1 1 2 1

2 2

4

y y dy y y

−

− + = + 

   

=  +  − − + − 

 

=  + − − 

=



1.3

(2)

0 0 0

0

sin sin

0 sin

x x x x

dydx y dx

x x

x dx

x x

xdx

π π

π

 

=  

   

=    − 

=

  



[ ]

₀

0 sin cos

cos cos 0

2

xdx x

π π

π

= −

= − − −

=



1.4 ( )

( )

( ) ( )

3

2 2

1 2

4 2 2 4 2

0 0 0 3

2

0 4 3

2 2

1 2

0 3

0

3 3

4 1 2 2 2 1 2 2 2

3 3

0

3 3

4 1 2 2 1 2 2

3 3

0

4 3 3 3

1 2

3 0 3

2 4

3 0

0 2

2 2 1

3

y y

y

x y

x x y dxdy dy

x y dy

y y y dy

y y dy

y dy

 

 + 

+ =  

 

 

 

=  + 

 

   

=  +  − + 

   

 

   

=   − 

   

 

 

=  − 

 

= −

  



(3)

3 3

4 4

2 4 2

3 0

0 3

4 4

2

3

2 3

2 1 2 1

3 3 4

2 1 4 0

3 4 4

2 1 3 4

128 2 64

39, 006 3

y dy y 

− −

=  

 

   

= −   − 

   

 

= − ⋅

= − ≈



1.5 ( )

( ) ( ) ⁽ ⁾ ⁽ ⁾

( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ⁽ ⁾ ( )

( )

2 2

1 1 2 2 1 2 1 3 1

3 1

0 1 0

1 2 2 1 2 3 2 1 3

3 3

0

1 2 4 1 2 4 6 3 2 1 3 2

3 3

0

1 1 6 4 1 3 2 1 1

3 3 3 3

0

6 3

1 4

3 3

1 1 1 1

1 3 3 3 3 1

1 1 1 1 1 1 1

2

x x

x x y dydx x y y x dx

x x x x x x dx

x x x x x x x x x x dx

x x x x x dx

x x x

− −

−

 

+ =  + 

   

=  − + −  − − + − 

   

=  − + − + −  − − + − + − 

= − + − + + − − + − + + − + +

= − − +

  



( )

1 2 2

0 − +x 3 dx



( )

[ ]

1 1 6 4 3 2 2 1 7 1 4 2 3 1 2 2 1

3 3 3 21 3 3 2 3 0

0

1 1 2 1 2

21 3 3 2 3

19 42

2

0

x x x x dx  x x x x x

− − + − + = − − + − + 

= − − + − + −

=



1.6

(4)

( ) [ ]

( )

/ 4 cos 3 / 4 1 4 cos

4 0

0 0 0

/ 4 1 4 cos

4 0

0

/ 4 1 4

0 4

/4 4

1 4 0

sin sin

sin

cos sin 0

cos sin

y y

y

x ydxdy x y dy

x y dy

y y dy

y ydy

π π

π

 

=  

 

=  

 

=  −

=

  



Pour faire la deuxième intégrale, on pose

cos sin

u y

du ydy

=

= −

La 2^e intégrale est donc

( )

/ 4 4 2 /2 4

1 1

4 0 4 1

2 / 2 1 1 5

4 5 1

2 5

1 1 1

4 5 2 5

1 4 2 20 640

2 1 20 160

cos sin

0, 04116

y ydy u du

u

π = −

 

= −  

  

= −  −  

= −

= − ≈

 

1.7 [ ]

1 1

2 2

0 0 0

0 1

0 2 1

2 0

1

1 1

0 1 1

x

x y

dydx dx

x x

x dx

x x dx x

 

=  

+  + 

  

=  − 

 + 

 

=

+

  



Pour faire la deuxième intégrale, on pose

2 1

2

u x du x

= +

=

(5)

Version 2021 5-Les intégrales multiples 5 La 2^e intégrale est donc

1 2

2

0 1

2 1/2 1

1/2 2 1

2 1

1 1

1 2 1 2 1 2

2 1

x dx du

x u

u du u

−

= +

=

 

=  

 

= −

 



1.8 [ ]

[ ] [ ]

( )

1 1

2 0

0 0 0

1 0 1 0

1 arsinh

1

arsinh 0 arsinh

y y

dxdy x dy

x

y dy

ydy

= +

= −

=

  



La 2^e intégrale est

( ) ( )

1 1

2

0 0

2 2

arsinh arsinh 1

1arsinh 1 1 1 0 0 1 arsinh 1 2 1

0, 46716

ydy=y y− y + 

   

= − +  − − + 

= − +

≈



1.9 ( ) [ ]

( )

1 1

2 3 91 2 4

2 0

0 0 0 0 0

1 91 2 4

0 0 2

1 91 5 6

0 0 2

182

0

x xy x xy

x

xy z dzdydx xy z dycx

xy xy dydx

x y dydx

 

=  

 

=  −

=

    

 

(6)

( [ ] )

1 1

5 6 5 7

91 13

2 2 0

0 0 0

1 13 5 7 0 2

113 12 0 2

0

x x

x y dydx x y dx

x x dx

x dx

 

=

 

 

=

 

−

=

  



113 12 1 13 1

2 2 0

0

1 2 1 2

0 x dx= x 

= =

=



1.10 ( )

( )

2 2

2

1 2 1 2

2

0 0 0 0

1 2

2 2 2 2

0 0

1 2 2

0 0

4 2 2 2

2 2 2 2

z z z z

y y

z

x y z dxdydz x xy xz dydz

z zy z y y yz dydz

z yz dydz

 

− − =  − − 

   

=  − −  − − − 

= −

    

 

( )

( ) ^{[ ]}

( )

2 2

1 2 2 1 2 1 2 2

2 0

0 0 0

1 2 2 1 2 2

0 2

1 4 5

0

2 2 0

2 2

z z

z yz dydz z y y z dz

z z z z dz

z z dz

 

− =  − 

 

=  − −

= −

  



( )

[ ]

1 4 5 2 5 2 6 1

5 6 0

0

5 6

2 2

5 6

2 1

5 3

1 15

2 2

1 1 0

z − z dz= z − z 

 

= − −

= −

=



(7)

2.1

On va intégrer en y en premier.

En y, on va de

y x y = à = − 2 x

². En x, on va de 0 à 1.

On a donc

( ) ( )

1 2 2

0 x

x−y dA= x⁻ x−y dydx

  

La première intégrale est

( )

( ) ( )

( )

2 2

1 2 1 1 2 2

0 0 2

1 2 1 2 2 2 1 2

2 2

0

1 3 1 2 4 1 2

2 2

0

1 1 4 3 1 2

2 2

0

1 1 4 3 3 2

2 2

0

2 2

2 4 4

2 2 2

2 2

x x

x

x x y dydx xy y dx

x x x x x dx

x x x x dx

− −

 

− =  − 

   

=  − − − − − 

   

=  − − − + − 

= − − + − + −

= − − + + −

  



La deuxième intégrale est

( )

[ ]

1 1 4 3 3 2 1 5 1 4 1 3 2 1

2 2 10 4 2 0

0

1 1 1

10 4 2

17 20

2 2 2

1 2 0

x x x x dx  x x x x x

− − + + − = − − + + − 

= − − + + − −

= −



On pourrait aussi intégrer en x en premier, mais ce serait plus long, car il faudrait séparer la région d’intégration en deux.

( ^x ⁻ ^{y dA} ) ⁼

_{0 0}¹ ^y

( ^x ⁻ ^{y dxdy} ) ⁺

₁² ₀²⁻^y

( ^x ⁻ ^{y dxdy} )

    

2.2

Première possibilité : on va intégrer en y en premier.

(8)

Version 2021 5-Les intégrales multiples 8 En y, on va de 0 à y=2−x.

En x, on va de 0 à 2.

On a donc

( )

² ²

( )

0 0

x y dA + =

⁻x

x + y dydx

  

( )

( ) ( ) [ ]

( )

2 2 2 1 2 2

2 0

0 0 0

2 1 2

0 2

2 2 1 2

0 2

2 1 2

0 2

2 2 0

2 4 4

2

x x

x y dydx xy y dx

x x x dx

x x x x dx

x dx

− −

 

+ =  + 

 

=  − + − −

= − + − +

= − +

  



( )

[ ]

2 1 2 1 3 2

2 6 0

0

1 3 6 8 3

2 2

2 2 2 0

x dx  x x

− + = − + 

 

= − + ⋅ −

=



Deuxième possibilité : on va intégrer en x en premier En x, on va de 0 à x=2−y.

En y, on va de 0 à 2.

On a donc

( )

² ²

( )

0 0

x y dA + =

⁻y

x y dxdy +

  

(9)

( )

( ) ( ) [ ]

( )

2 2 2 1 2 2

2 0

0 0 0

2 1 2

0 2

2 1 2 2

0 2

2 1 2

0 2

2 2 0

4 4 2

2

y y

x y dxdy x xy dy

y y y dy

y y y y dy

y dy

− −

 

+ =  + 

 

= + − + − −

= − + + −

= − +

  



( )

[ ]

2 2

2 3

1 1

2 6 0

0

1 3 6 8 3

2 2

2 2 2 0

y dy  y x

− + = − + 

 

= − + ⋅ −

=



2.3

En y, on va de

y x =

³

à y = − 2 x

. En x, on va de 0 à 1.

On a donc

3

1 2 0

x

xdA =

x⁻

xdydx

  

[ ]

( )

3 3

1 2 1 2

0 0

1 3

0

1 2 4

0

2 2

x x

x

xdydx xy

x

dx

x x x x dx

x x x dx

− −

=

 

=



−

 

− ⋅



= − −

  



(10)

( )

[ ]

1 2 4 2 1 3 1 5 1

3 5 0

0

1 1

3 5

7 15

2

1 0

x−x −x dx=x − x − x 

= − − −

=



1 3 2 2

0 0 1 0

y y

xdA = xdxdy +

⁻

xdxdy

    

2.4

En y, on va dey= −2 x à y= 4−x² . En x, on va de 0 à 2.

On a donc

2 4 2

2 2

0 2 x

x ydA x⁻ x ydydx

= −

  

( ) ⁽ ⁾

( )

( ) ( )

( )

2 2

2 4 2 2 1 2 2 4

2 2

0 2 0

2 1 2 2 1 2 2

2 2

0

2 1 2 2 1 2 2

2 2

0

2 2 1 4 2 3 1 4

2 2

0

2 4 3

0

4 2

4 4 4

2 2 2

2

x x

x

x x ydydx x y dx

x x x x dx

x x x x x dx

x x dx

− −

 

=  

 

=  −  − − 

   

=  −  − − + 

   

=  −  − − + 

= − +

  



( )

[ ]

2 4 3 1 5 1 4 2

5 2 0

0

5 4

1 1

5 2

8 5

2

2 2 0

x x dx  x x 

− + = − + 

 

= − + −

=



(11)

Version 2021 5-Les intégrales multiples 11 Deuxième possibilité : on va intégrer en x en premier

En x, on va dex= −2 y à x= 4−y² . En y, on va de 0 à 2.

On a donc

2 4 2

2 2

0 2 y

x ydA

y⁻

x ydxdy

=

−

  

La première intégrale mène à

( ) ⁽ ⁾

( )

2 2

2 4 2 4

2 1 3

3 2

0 2 0

2 1 2 3/2 1 3

3 3

0 4 2

y y

y

y x ydxdy x y dy

y y y dy

− −

−

 

=  

   

=  −  − − 

  



Déjà, on voit que les intégrales sont plus difficiles à faire. Ce n’est donc pas la meilleure solution.

2.5

On va intégrer en x en premier.

En x, on va de

x y x = à − −

^π₂

y

. En y, on va de 0 à π/4.

On a donc

( )

₀⁴ ²

( )

sin ^ysin

x y dA y x y dxdy

π π−

+ = +

  

(12)

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

4 2 4 2

4

0 0

0 2

0

sin cos

cos cos

cos cos 2 cos 2

y y

y x y dxdy x y y dy

y y y y dy

y dy y dy

π π π π

π

− −

+ = − + 

 

= − − + − − + 

= − +

=

  



( ) ( )

( ) [ ]

4 1 4

2 0

0

1

2 4

1 2

cos 2 sin 2

sin 2 0

y dy y

π π

π

= 

 

= −

=



On pourrait aussi intégrer en y en premier, mais ce serait plus long, car il faudrait séparer la région d’intégration en deux.

( )

⁴

( )

² ²

( )

0 0 4 0

sin x y dA ^xsin x y dydx ^xsin x y dydx

π π π

π

+ = + + − +

    

2.6

En y, on va de

y = 2 à x y = − 3 x

².

Pour trouver les bornes en x, il faut trouver les points de croisement de ces fonctions. Aux croisements, on a

2x= −3 x2

Cette équation nous donne

( )( )

2 2 3 0

3 1 0

x x

+ − =

Les points de croisement sont donc -3 et 1. Ainsi, on va de -3 à 1 en x On a donc

(13)

1 3 2

3 2 x

ydA x⁻ ydydx

= −

  

( ) ^{( )}

( )

2 2

1 3 1 1 2 3

2 2

3 2 3

1 1 2 2 1 2

2 2

3

1 1 2 4 2

3 2

1 1 4 2 9

2 2

3

3 2

9 6 2

5

x x

x

x ydydx y dx

x x dx

x x x dx

x x dx

− −

−

 

=  

   

=  −  − 

   

=  − + − 

= − +

  



( )

( ) ( ) ( )

1 1 4 2 9 1 5 5 3 9 1

2 2 10 3 2 3

3

5 3

5 9 5 9

1 1

10 3 2 10 3 2

243 27

44

15 10 2

36 44

15 5

64 15

5

3 3 3

45

x x dx x x x

− −

 

− + = − + 

 

= − +  − − − − + − 

=    − − + − 

=      −

= −



2 2 3 3

6 3 2 3

y y

ydA ydydx ⁻ ydydx

− − − − −

= +

    

(En plus, les intégrales sont nettement moins faciles dans ce cas.)

2.7

(14)

Version 2021 5-Les intégrales multiples 14 En y, on va de 0 à

y = x

².

On a donc

( )

¹ ²

( )

0 0

sin ^x sin

x y dA= x y dydx

  

( ) ( )

( ) ^{[ ]}

( )

( ( ) )

2 2

1 1

0 0 0 0

1 2

0

1 2

0

sin cos

cos cos

x x

x y dydx x y dx

x x x dx

x x x dx

= − 

 

= − − −

= −

  



( ( ) ) ( )

( )

[ ]

1 1 1

2 2

0 0 0

1 1

1

0 2 0

1 1

1 2 1

2 0 2 0

1 1

2 2

cos cos

cos sin sin1 0, 07926

x x x dx xdx x x dx

xdx u du

x u

− = −

= −

 

=  −

= −

≈

  

 

Deuxième possibilité : on va intégrer en x en premier En x, on va de

x = y

à

x =

1.

On a donc

1 1

sin 0 sin

x ydA= yx dxdy

  

(15)

[ ] [ ]

( )

1 1 1 1 2 1

0 0 2

1 1 1

2 2

0

1 1 1

2 2

0

sin sin

yx ydxdy x y ydy

y y y dy

 

=  

= −

  



( ) ( )

[ ] [ ]

1 1

1 1 1 1

2 2 2 2 0

0

1 1 1 1

2 2 2 2

1 1

2 2

1 1

2 2

sin sin cos sin cos

cos1 sin1 cos1 cos 0 sin 0 0cos 0 sin1

sin1

y − y y dy = −



y − y − y y



= −



− −

  

− − − −



= − − −

= −



2.8

En y, on va de

y = x

à 1.

On a donc

1 1 0

x x

e dA =

x

e dydx

  

( )

1 1 1 1

0 0

1 0 1 0

x x

e dydx ye dx

e xe dx

 

=

 

   

=

  

−



= −

  



(16)

( ) ⁽ ⁾

( ) ( )

( )

1 1

0 0

1 1 0 0

1

1 1 0 1

1 1 0 1 2

0, 71828

x x x x

e xe dx e e x

e e e e

e e

 

− = − − 

   

= − −  − − − 

=  − − − 

= −

≈



Deuxième possibilité : on va intégrer en x en premier En x, on va de 0 à

x = y

.

On a donc

1 0 0

x y x

e dA = e dxdy

  

( )

1 1

0 0 0 0

1 0

0 1

y x x y

y

e dxdy e dy e e dy

e dy

=

  

= −

  



( )

[ ] [ ]

1 1

0 0

1 0

1

1 0

1 1 2

y y

e dy e y

e e

 

− = − 

   

= −  − − 

= − −

= −



(On constate que c’était un peu plus facile en intégrant en x en premier.)

2.9

On va intégrer en x en premier.

En x, on va de x = y−1 à x = y.

(17)

Version 2021 5-Les intégrales multiples 17 En y, on va de 1 à 2.

On a donc

( )

²

( )

1 1

y y

x y dA x y dxdy

+ = − +

  

( )

( ) ( )

( )

2 2

1 2

2 1

1 1 1

2 1 2 1 2

2 2

1

2 1 2 2 1 2 2

2 2

1

2 1 2 2 1 2 1 2

2 2 2

1

2 1

1 2

2 1

1 2

1 1

2 1

2

y y

y x y dxdy x xy y dy

y yy y y y dy

y y y y y y dy

y y dy y dy

− −

 

+ =  + 

 

=  +  − − + − 

 

=  +  − − + + − 

   

=  +  − − + + − 

= − − + −

= −

  



( )

[ ]

2 1 2 1 2

2 2 1

1

2 1 1

2 2

1 2 5 2

2

2 2 1

3

y− dy=y − y

 

= − − −

= −

=



On pourrait aussi intégrer en y en premier, mais ce serait plus long, car il faudrait séparer la région d’intégration en deux.

( )

¹ ¹

( )

² ²

( )

0 1 1

x

x y dA + =

⁺

x y dydx + +

x

x y dydx +

    

2.10

On va intégrer en y en premier. (Ici, peu importe l’ordre d’intégration, il faut séparer la région d’intégration en 2)

Partie de gauche

(18)

Version 2021 5-Les intégrales multiples 18 En y, on va de 0 à 1 – x².

En x, on va de -1 à 0.

Partie de droite

En y, on va de x - 1 à 0.

On a donc

( )

⁰ ¹ ²

( )

¹ ⁰

( )

1 0 0 1

12 3 ^x 12 3 12 3

x

x dA ⁻ x dydx x dydx

− −

− = − + −

    

Les intégrales en y donnent

( ) [ ] [ ]

( ) ( ) ^{[ ]}

( ) ⁽ ^{[ ]} ⁽ ⁾ ⁽ ⁾ ⁾

( ) ( )

0 1 2 1 0

0 1

1 0

0

0 1

2 2

1 0 1

0 3 2 1 2

1 0

0 1

3 2 2

1 0

12 3 12 3 12 3

12 1 3 1 0 0 12 1 3 1

12 12 3 3 12 12 3 3

12 12 3 3 12 15 3

x

x dA xy y dx xy y dx

x x x dx x x x dx

x x x dx x x x dx

x x x dx x x dx

−

− −

−

− = − + −

 

=  − − − − + − − − − 

= − − + − − − +

= − − + − − +

  

 

Les intégrales en x donnent

( ) ( ) ( )

[ ] [ ]

( ) ( ^{[ ]} )

0 1

3 2 2

1 0

0 1

2 4 3 3 15 2

1 2 0

15 2 1

2 9 2

12 3 12 12 3 3 12 15 3

6 3 3 4 3

0 6 3 3 1 4 3 0

5

x dA x x x dx x x dx

x x x x x x x

−

− = − − + − − +

   

= − − +  − − + 

= − − + − −  − + −

= − − −

= −

  

On pourrait aussi intégrer en x en premier.

Partie du bas

(19)

Version 2021 5-Les intégrales multiples 19 En x, on va de 0 à y + 1.

En y, on va de -1 à 0.

Partie du haut

En x, on va de

−

1

− y

à 0.

On a donc

(

¹²^x⁻³

)

^dA⁼ ₋⁰_{1 0}^y⁺¹

(

¹²^x⁻³

)

^dxdy⁺ ₀¹ ₋⁰₁₋_y

(

¹²^x⁻³

)

^dxdy

    

( )

( ) ( ) [ ]

( ) ( ^{[ ]} ⁽ ⁾ )

( ) ( )

0 2 1 1 2 0

0 1

1 0

0 2 1

1 0

0 1

2

1 0

0 1

2

1 0

12 3 6 3 6 3

6 1 3 1 0 0 6 1 3 1

6 12 6 3 3 6 6 3 1

6 9 3 6 6 3 1

y

x dA x x dy x x ydy

y y dy y y dy

y y y dy y y dy

y y dy y y dy

+

− −

−

   

− =  −  +  − 

   

=  + − + − + − − + − 

= + + − − − − + −

= + + − − + −

  

 

Les intégrales en y donnent

( ) ( )

( [ ] ) ( ^[ ^{] [ ]} )

3 1

3 9 2 0 2 2

2 1

0 9

2 1

2 9 2

12 3 2 3 6 3 2 1

0 2 3 6 3 2

5

x dA y y y y y y

−

 

− = + +  − − − − 

= − − + −  − − − −

= −



2.11

On va intégrer en x en premier (les équations des limites de la zone d’intégration suggèrent fortement que c’est ce qu’il faut faire. (Ici, peu importe l’ordre

d’intégration, il faut séparer la région d’intégration en 2.)

(20)

Version 2021 5-Les intégrales multiples 20 Partie de gauche

En x, on va de y² - 1 à 0.

En y, on va de -1 à 1.

Partie de droite

En x, on va de 0 à 2 – y².

En y, on va de - 2 à 2 .

On a donc

(

⁶^y²⁺¹⁰^yx⁴

)

^dA⁼ ₋¹₁ _y⁰²₋₁

(

⁶^y²⁺¹⁰^yx⁴

)

^dxdy⁺ ₋²₂ ₀²⁻^y²

(

⁶^y²⁺¹⁰^yx⁴

)

^dxdy

    

( )

[ ] ( ) ( )

( ) ( ⁽ ⁾ ⁽ ⁾ ^{[ ]} )

( ) ( ) ( ( ) ( ) )

2

1 0 2 2

2 4 2 5 2 5

1 0

1 2

1 2 2 2 5 2 2 2 2 5

1 2

1 2 2 2 5 2 2 2 2 5

1 2

6 10 6 2 6 2

0 6 1 2 1 6 2 2 2 0

6 1 2 1 6 2 2 2

y

y yx dA y x yx y dy y x yx dy

y y y y dy y y y y dy

−

− − −

− −

   

+ =  +  +  + 

   

= − − + −  +  − + − −

 

= −  − + −  + − + −

  

 

On va faire les intégrales en y une à la fois. La première donne

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

1 2 2 2 5 1 4 2 2 5

1 1

1 1 5

4 2 2

1 1

1 4 2 0 5

1 0

5 3 1

6

5 1

6 6

5 5

12 5 8 5

6 1 2 1 6 6 2 1

6 6 2 1

6 6

2 0

2 2

4

y y y y dy y y y y dy

y y dy y y dy

y y dy u du

y y

− −

−

   

−  − + −  = −  − + − 

 

= −  −  + −

 

= −  −  +

 

= − −  +

= − − + − +

= − +

=

 

On va faire les intégrales en y une à la fois. La deuxième donne

(21)

( ) ( )

( ) ( ⁽ ⁾ )

( ) ( )

( )

2 2 2 2 5 2 2 4 2 5

2 2

2 2 4 2 2 5

2 2

2 0

2 4 5

2 0

3 6 5 2

5 2

3/2 6 5/2 3/2 6 5/2

5 5

3/2 12 5/2 5

12 5 32

5

6 2 2 2 12 6 2 2

12 6 2 2

12 6

4

4 2 2 4 2 2

8 2 2

2 8 2 4 2

y y y y dy y y y y dy

y y dy y y dy

y y dy u du

y y

− −

−

− + − = − + −

= − + −

= − −

 

= − 

   

= ⋅ − ⋅  − − ⋅ + ⋅ 

= ⋅ − ⋅

=

 

On a donc

(

6y²+10yx⁴

)

dA= +⁸5 ³²5 2



On peut aussi intégrer en x en premier.

Partie de gauche

En y, on va de

− + x 1

à

x + 1

. En x, on va de -1 à 0.

Partie de droite

En y, on va de

− 2 − x

à

2 − x

. En x, on va de 0 à 2.

On a donc

(

⁶^y²⁺¹⁰^yx⁴

)

^dA⁼ ₋⁰₁ ₋^x_x⁺₊¹₁

(

⁶^y²⁺¹⁰^yx⁴

)

^dydx⁺ ₀² ₋²₂⁻₋^x_x

(

⁶^y²⁺¹⁰^yx⁴

)

^dydx