TD 4 : Intégrales multiples

mathématiques - S2

TD 4 : Intégrales multiples

exercices théoriques 1. SiRest le rectangle[0, π]×[0, π/2], calculerR R

Rsin(x) sin(y)dxdy.

2. SoitDle domaine défini pary≤0≤xetx²+y² ≤1.

CalculerR R

D(x²+ 2xy)dxdy.

3. On considère une surface triangulaire de sommets A(0,0), B(1,1), C(1,0)et de masse surfaciqueσ.

Déterminer sa masse, son centre de gravitéGet son moment d’inertie par rapport àG.

4. L’objectif de l’exercice est de calculer l’intégraleR+∞

−∞ e^−x2dx, fonda- mentale en probabilités, statistiques, métrologie.

On noteRun réel positif puis – CRle carré[−R, R]×[−R, R], – D_R¹ le disque de centreO et rayonR, – D_R² le disque de centreO et rayon√

2R.

On notef(x, y) = e^−(x2+y2). (a) Expliquer pourquoiR R

D_R¹ f d²S≤R R

CRf d²S ≤R R

D²_Rf d²S.

(b) En utilisant les coordonnées polaires, calculerR R

D¹_Rf d²S (c) Calculer de mêmeR R

D²Rf d²S

(d) CalculerR R

CRfd²Sen fonction deRR

−Re^−x2 dx (e) En déduire la valeur deR+∞

−∞ e^−x2 dx.

5. Calculer l’aire, la masse, le moment d’inertie par rapport à son centre d’un disque de rayonRet de masse surfacique constanteσ.

6. Calculer l’aire, la masse, le moment d’inertie par rapport à son centre d’une règle plate de dimensionsaetL.

7. Calculer le volume, la masse, le moment d’inertie par rapport à son axe d’un cône (droit) de rayonR, de hauteurH et de masse volumique constanteρ.

8. Calculer le volume, la masse, le moment d’inertie par rapport à son centre d’une sphère de rayonRet de masse volumique constanteρ.

exercices pratiques

1. On rappelle que le flux d’un champ de vecteurs à travers une surfaceS estR R

SB. ~~ dS.

Calculer le flux à travers le rectangle horizontal[x0, x0+L]×[y0, y0+ H]d’un champ magnétiqueB~ =B0e^{−α(x−x0)}e^{−β(y−y0)}~k

(α, β, x0, y0, L, H, B0 étant des constantes)