Calcul approché des intégrales

Calcul approché des intégrales

1. Méthode des rectangles.

2. Méthode des trapèzes.

3. Méthode de Simpson.

4. Méthodes de Newton-Cotes.

5. Formules de quadrature de Gauss.

6. Méthode de Monte Carlo.

Pierre-Jean Hormière

___________

« La vache est un animal qui a environ quatre pattes qui descendent jusqu’à terre. »

Jacques Roubaud

Introduction

Sont ici présentées les méthodes classiques de calcul approché d’intégrales sur les segments. La méthode des rectangles a surtout un intérêt théorique, celle des trapèzes est à la fois théorique et pratique. La méthode de Simpson, d’intérêt plus pratique, rentre, comme les précédentes, dans les méthodes générales de Newton-Cotes, qui consistent à approcher la fonction f par des fonctions polynomiales par morceaux interpolant f en des points déterminés, en général équidistants. Des méthodes de correction (formule d’Euler-MacLaurin, accélération de convergence de Richardson- Romberg) améliorent la précision des calculs. Les méthodes de quadrature de Gauss ont recours aux polynômes orthogonaux pour mieux choisir les nœuds d’interpolation. Toutes ces méthodes sont performantes pour des fonctions régulières, mais échouent pour des fonctions très oscillantes ; il faut alors recourir à des outils plus spécialisés. Enfin, pour calculer une valeur approchée d’une intégrale sur un intervalle non compact, on l’approchera par une intégrale sur un segment convenable.

Toutefois, avant d’exposer ces méthodes, notons qu’une des premières méthodes d’intégration approchée a consisté à développer en série la fonction à intégrer.

Exemple 1 : Calcul approché du logarithme, de l’arcsinus.

La formule de Mercator : ln(1 + x) =

∫

₀^x₁^dt_+t ^{= x −}

^x ₂ ^²

^{+ x}₃³ − ... valable pour −1 < x ≤ 1, permet un calcul approché du logarithme des réels ∈ ]0, 2]. Très bonne précision pour |x| < 1.

De même Newton observe que pour −1 ≤ x ≤ 1 : Arcsin x =

∫

^x ₋

t dt

0 1 ² ^{= x +}

2 1

_.

3 x3

+

2 . 4 3 . 1

_.

5 x5

+

2 . 4 . 6 5 . 3 .

1

_.

7 x7

+ … . Exemple 2 : Rectification de l’ellipse.

L’ellipse de demi-axes a et b a pour équation réduite

²

² a x

₊

²

² b

y = 1, et pour périmètre : P =

∫

₀^2π

^{dx ² dy}

⁺

^²

^{= 4}

∫

₀^π/2

^{a ². sin ² t}

⁺

^{b ². cos ² t . dt}

^{= 4a}

∫

₀^π/2

¹

⁻

^{e ². cos ² t . dt}

^,

où e =

a

c

_∈ ]0, 1[ est l’excentricité de l’ellipse. Cette intégrale ne se calcule pas élémentairement, mais peut se développer en série à l’aide des intégrales de Wallis :

W_2n =

∫

₀^π/2

^cos

²ⁿ

^{t . dt}

⁼

^π ₂

^.1.₂³_.4^.5_.^...(_6...(²₂ⁿ⁻_n¹₎^{) =}

^π ₂

^.₂2⁽²_.(n^)!_!)² n

n .

Il vient : P = 2πa ( 1 −

. ²

² 2 1 e

−

)² 4 . 2 (

)² 3 . 1

( .

3 e4

− (2.4.6)² )² 5 . 3 . 1

( .

5 e6

− (2.4.6.8)² )² 7 . 5 . 3 . 1

( .

7 e8

− … ) (Euler, 1750) Pour e = 0, on retrouve le périmètre du cercle.

Pour e = 1, la série converge très lentement vers 4a (ellipse aplatie).

Exemple 3 : Intégrales de Fresnel.

Soit à calculer les intégrales x(t) =

∫

₀^t

^{cos( u ²). du}

et y(t) =

∫

₀^t

^{sin( u ²). du}

^.

Par développement en série entière, on obtient aussitôt : x(t) =

3 t3

−

3 ! 1

7 t7

+

5 ! 1

11 t11

− … , y(t) = t −

! 2

1

5 t5

+

4 ! 1

9 t9

−

6 ! 1

13 t13

+ …

séries à la fois absolument convergentes et obéissant au critère des séries alternées. Les résultats sont excellents pour de petites valeurs de t. Pour des valeurs plus grandes de |t|, des termes de plus en plus nombreux sont nécessaires pour atteindre une précision donnée. Mais mieux vaut alors utiliser un développement à l’infini.

Exercice 1 : Représenter sur un même graphe x(t), resp. y(t), et leurs premiers polynômes de Taylor.

Exercice 2 : La « series mirabili » de Johann Bernoulli (1697).

Calculer à 10⁻⁶ près les intégrales

∫

₀¹

^x

^x

^.dx

^et

∫

₀¹

^x

^−x

^.dx

^.

Indication : Montrer que

∫

₀¹

^x

^x

^.dx

⁼

^∑

^+∞

=

− − 1

) 1

1 (

n n

n

n ^et

∫

₀¹

^x

^−x

^.dx

⁼

^∑

^+∞

=1

1

n

nn ^.

Exercice 3 : Montrer que

∫

₀⁺¹ _{− 4}

1

².

x dx x

₌

3 1

₊

2 1

_.

7 1

₊

4 . 2

3 . 1

_.

11 1

₊

6 . 4 . 2

5 . 3 .

1

_.

15 1

₊

8 . 6 . 4 . 2

7 . 5 . 3 .

1

_.

19 1

_{+ …} En déduire une valeur approchée de cette intégrale elliptique, rencontrée par Jacques Bernoulli dans ses calculs de la ligne élastique, et par Leibniz dans l’étude de l’Isochrona paracentrica (1694).

Exercice 4 : Calcul approché de

∫

₀¹

^e

^−x²

^.dx

^.

Notations : Dans toute la suite, nous adoptons les notations suivantes : I(f) =

∫

_a^b

^{f ). ( x dx}

^.

Si f est de classe C^k sur [a, b], on note M_k(f) = sup_{x∈[a, b]}

|

f^(k)(x)

|

. 1. Méthode des rectangles.

1.1. Principe de la méthode.

Elle consiste à approcher I(f) par des sommes de Riemann :

∫

_a^b

^{f ). ( x dx}

^≈

^∑

⁻

=¹ + −

0

1 ). ( )

(

n

k

k k

k a f

a ξ où ξk ∈ [ak , a_k+1].

Cela revient à interpoler f par une fonction en escaliers ϕ convenable.

Le plus souvent, on prend la subdivision a_k = a +

n

k

( b − a ) (0 ≤ k ≤ n).

Les choix les plus courants sont :

ξk = a_k formule des rectangles à gauche

∫

_a^b

^{f ). ( x dx}

^≈

^b− _n ^{a ∑}

⁻

= 1

0

) (

n

k

ak

f = R_n⁻(f) ξk = a_k+1 formule des rectangles à droite

∫

_a^b

^{f ). ( x dx}

^≈

^b _n

⁻

^{a ∑}

⁻

= +

1

0 1) (

n

k

ak

f = R_n⁺(f) ξk = a_k+1/2 =

2

+1

+ k

k

a

a

rectangles à points milieux

∫

_a^b

^{f ). ( x dx}

^≈

^b− _n ^{a ∑}

⁻

= +

1

0 2 / 1 ) (

n

k

ak

f = R_n⁰(f)

On sait que, lorsque f est réglée ou Riemann-intégrable, les trois suites tendent vers l’intégrale.

> with(plots):

> f:=x->7+1/20*x*(x-2)*(x-3)*(x-6)*(x-10);

> p:=plot([f(x),0],x=0..5.5,thickness=2):

v:=plot([5.5,t,t=0..f(5.5)],color=black):

> rg:=x->f(0.5*floor(2*x)):qg:=plot(rg(x),x=0..5.5,thickness=2,color=blue):

vg:=k->plot([k*0.5,t,t=0..f((k-1)*0.5)],color=blue):

display({p,qg,v,seq(vg(k),k=1..10)});

> rd:=x->f(0.5*ceil(2*x)):qd:=plot(rd(x),x=0..5.5,thickness=2,color=blue):

vd:=k->plot([k*0.5,t,t=0..f(k*0.5)],color=blue):

display({p,qd,v,seq(vd(k),k=1..10)});

> rm:=x->f(0.5*floor(2*x)+0.25):

qm:=plot(rm(x),x=0..5.5,thickness=2,color=blue):

vm:=k->plot([k*0.5,t,t=0..f(k*0.5)],color=blue):

display({p,qm,v,seq(vm(k),k=1..10)});

rectangles à gauche rectangles à droite rectangles à point milieu

1.2. Majorations de l’erreur.

Proposition 1 : Supposons f croissante sur [a, b]. Alors R_n⁻(f) ≤

∫

_a^b

^{f ). ( x dx}

^{≤ Rn+(f).}

Plus précisément, si ∆n±

(f) =

∫

_a^b

^{f ). ( x dx}

^{− Rn±}(f) , on a :

n

b− a

_{[ f(a) − f(b) ] ≤ ∆}

n

+(f) ≤ 0 ≤ ∆n−

(f) ≤

n

b− a

_{[ f(b) − f(a) ].}

Exercice 1 : Si f est croissante sur [a, c], décroissante sur [c, b], établir les encadrements :

n

b− a

_{[ f(c) − f(b) ] ≤ ∆}

n+

(f) ≤

n

b− a

_{[ f(c) − f(b) ].}

n

b− a

_{[ f(c) − f(a) ] ≤ ∆}

n−

(f) ≤

n

b− a

_{[ f(c) − f(b) ].} Proposition 2 : Si f est de classe C¹ sur [a, b], alors :

|

∆n±

(f)

|

≤ . ()

2 )² (

1 f n M b−a

|

I(f) − R_n⁰(f)

|

≤ . () 4

)² (

1 f n M b−a

. Preuve :

| ∫

_a^b

^{f ). ( x dx}

⁻

^∑

⁻

=¹ +−

0

1 ).( )

(

n

k

k k

k a f

a ξ

|

⁼

| ∑∫

⁻

=

+ −

1

0

)].

( ) (

1[

n

k

k a

a^k f x f dx

k

ξ

|

≤

∑∫

⁻

=

+ −

1

0

. ) ( )

1 (

n

k a

a^k f x f k dx

k

ξ ≤ M₁(f).

∑∫

⁻

=

+ −

1

0

1 .

n

k a

a^k x k dx

k

ξ ^{= M}1(f).

∑

⁻

=

+−

− +

1

0

1 ]

2 )² (

2 )² [(

n

k

k k k

k a a

ξ

ξ

en vertu du TAF ou du th de la moyenne. On en déduit aussitôt la prop. 2.

Remarque : La formule du point milieu est optimale, en ce sens que la fonction : ξ→ (ξ− a_k)² + (a_k+1 −ξ)² est minimum pour ξ =

2

+1

+ k

k

a

a

.

Exercice 2 : Si f est k-lipschitzienne [a, b] → R, montrer que

| ∫

_a^b

^{f ). ( x dx}

^{− S(f, σ, ξ)}

^|

^≤

₂ ^k

^{|σ|2 .}

Exercice 3 : Approximation d’une intégrale par la formule des rectangles.

Soit f réglée [a, b] → R, Sn =

∑

= + −

− ⁿ

k

a n b a k n f

a b

1

)) ( (

. et ∆n =

∫

_a^b

^{f ). ( x dx}

^{− Sn.}

1) a) Montrer que si f est croissante,

( f ( b ) f ( a )) n

a

b

− − _≤∆

n≤ 0 ; cas où f décroît ? b) On suppose f croissante sur [a, c], décroissante sur [c, b]. Montrer que : −

( f ( c ) f ( a ))

n a

b

− − _{≤ ∆}

n ≤

( f ( c ) f ( b )) n

a

b

− − _.

2) On suppose f de classe C¹ et on note M₁ = sup | f’(x) |.

Montrer que |∆n| ≤ n

a b

2 )²

( − _.M

1 , et même ∆n =

( ( ) ( )) 2 f b f a

n a

b

− − _{+ o(}

n 1

_).

3) On suppose f de classe C². Montrer que : ∆n =

.( ( ) ( ))

2 f b f a n a

b

− − _{− .( '( ) '( ))}

² 12

)²

( f b f a

n a

b− −

+ o(

² 1 n

^).

4) Application : Trouver un d.a. de la suite S_n =

∑

= +

n

k n k

n

1 ² ² ^. 1.3. Rectangles à points milieux et trapèzes.

La formule des rectangles à points milieux présente un autre avantage : elle est déjà une méthode des trapèzes. Soit en effet f une fonction de classe C¹ : [a, b] → R, h la fonction [a, b] → R, affine sur chaque intervalle ]ak, a_k+1[ telle que :

h(a_k+1/2) = f(a_k+1/2) , h’(a_k+1/2) = f’(a_k+1/2).

Les valeurs de h aux points a_k sont sans importance ; en général, h est discontinue en ces points.

∫

_a^b

^{f ). ( x dx}

^≈

∫

_a^b

^{h ). ( x dx}

⁼

^b− _n ^{a ∑}

⁻

= +

1

0 2 / 1 ) (

n

k

ak

f = R_n⁰(f)

Proposition 3 : Si f est de classe C² sur [a, b], alors : | I(f) − Rn

0(f) | ≤ . ()

² . 24

) (

2 3

f n M b−a

. De plus, si f est concave, I(f) ≤ R_n⁰(f) ; si f est convexe, R_n⁰(f) ≤ I(f).

Preuve : Appliquons la formule de Taylor-Lagrange à f :

∀x ∈ ]a_k, a_k+1[ ∃ξ f(x) = f(a_k+1/2) + f’(a_k+1/2).(x − a_k+1/2) + .( )²

! 2

) ''(

2 / +1

−ak

f ξ x D’où | f(x) – h(x) | ≤ .( )²

! 2

) (

2 / 1 2 f x−ak+

M .

Il reste à intégrer cette inégalité sur]a_k, a_k+1[, puis à sommer.

Si f est convexe, son graphe est au-dessus de ses tangentes, donc h ≤ f ; intégrer. CQFD.

Exercice 4 : Plus généralement, si l’on interpole f sur chaque intervalle ]a_k, a_k+1[ par le polynôme de Taylor de degré p au point a_k+1/2, quelle formule et quelle majoration d’erreur obtient-on ?

2. Méthode des trapèzes.

2.1. Principe de la méthode.

Soit f : [a, b] → R, Riemann-intégrable ou réglée, (ak) le partage équidistant de [a, b], g_n la fonction continue affine par morceaux telle que (∀k) g_n(a_k) = f(a_k).

La méthode des trapèzes consiste à approcher l’intégrale de f par celle de g_n :

∫

_a^b

^{f ). ( x dx}

^≈

∫

_a^b

^g

ⁿ

^{( x ). dx}

=

n b− a [

2 ) ( ) (a f b f +

+

∑

⁻

= 1

1

) (

n

k

ak

f

]

= T_n(f).

A noter que T_n(f) est la demi-somme de R_n⁺(f) et R_n⁻(f).

Elle converge donc vers I(f). De plus, si f est continue, la suite (g_n) converge uniformément vers f.

2.2. Majoration de l’erreur élémentaire.

Majorons d’abord l’erreur commise en confondant f avec la fonction affine qui l’interpole en a et b.

Proposition 1 : Soit f une fonction de classe C² : [a, b] → R, L la fonction affine telle que L(a) = f(a), L(b) = f(b). Si ∀x ∈ [a, b] m ≤ f’’(x) ≤ M, alors :

−

12

M

_{( b − a )}³ _≤

∫

_a^b

^{( f ( x )}

⁻

^{L ( x )). dx}

⁼

∫

_a^b

^{f ). ( x dx}

⁻

^b− ₂ ^a

^[ f(a) + f(b) ] ≤ −

12

m

_{( b − a )}³ _. Si M₂(f) = sup | f’’(x) | , on a :

| ∫

_a^b

^{f ). ( x dx}

⁻

^b− ₂ ^a

^[ f(a) + f(b) ]

|

≤

12 )

2(f

M _{( b − a )}3

. Démonstrations : 1ère méthode : elle repose sur le lemme :

Lemme : ∀x ∈ [a, b] ∃cx ∈ ]a, b[ f(x) − L(x) = .''( ) 2

) )(

(

cx

b f x a x− −

. Fixons x ≠ a et b, et introduisons ϕ(t) = f(t) − L(t) − K.

2 ) )(

(t−a t−b

, la constante K étant choisie telle que ϕ(x) = 0. Par trois applications de Rolle, il existe cx ∈ ]a, b[ tel que ϕ’’(cx) = 0.

Or ϕ’’(t) = f’’(t) − K ; donc K = f’’(c_x). Si x = a ou b, il n‘y a rien à montrer. cqfd.

Ce lemme implique x a x b M 2 .

) )(

( − − _≤

f(x) − L(x) ≤ x a x b m 2 .

) )(

( − −

, inégalité qu’il suffit d’intégrer.

2ème méthode : intégrations par parties.

∫

_a^b

^{f ). ( x dx}

⁼

∫

_a^{bf(x).d(x−a+}₂^b) = [ f(x).(x −

2

a+ b

₎

]

^b_{a −}

∫

_a^b(x−a+₂^b).f'(x).dx

=

2

b− a

_[ f(a) + f(b) ]₋

∫

_a^{bf'(x).d(x−a)(}₂^x−b) . Une seconde IPP donne : =

2

b− a

_[ f(a) + f(b) ] +

2

1 ∫

_a^b

^{( x}

⁻

^{a )( x}

⁻

^{b ). f ''( x ). dx}

^.

Il reste à encadrer.

Exercice : Soit f ∈ C¹([1, +∞[, R) telle que f’ soit croissante.

Montrer que, pour n ≥ 2 : 0 ≤

2 ) 1 (

f + f(2) + ... + f(n –1) + 2

) (n

f −

∫

₁ⁿ

^{f ( t ). dt}

^≤

₈ ¹

^{[ f’(n) −f’(1) ].}

Applications : f(x) =

x

1

_{, f(x) = − ln x.}

2.3. Majoration de l’erreur composée.

Proposition 2 : Soit f une fonction de classe C² : [a, b] → R. Si ∀x ∈ [a, b] m ≤ f’’(x) ≤ M, alors :

∫

_a^b

^{f ). ( x dx}

⁼

^b− _n ^{a [}

^f(a)₂^{+f(b) +}

^∑

⁻

= 1

1

) (

n

k

ak

f

]

+ εn , où −

² . 12 n

M

_{.(b − a)}³ _≤ε

n≤ −

² . 12 n

m

_{.(b − a)}³_.

Si M₂(f) = sup | f’’(x) | , on a : | εn |≤ M2(f). ₂

3

. 12

) (

n b−a

.

Preuve : Il suffit d’appliquer le théorème 1 à chacun des segments [a_k, a_k+1], et d’additionner.

2.4. Applications au calcul numérique.

Il reste à prendre en compte l’erreur commise lors du calcul de : T_n(f) =

n b− a [

2 ) ( ) (a f b f + ₊

∑

⁻

= 1

1

) (

n

k

ak

f

]

,

car le calcul de f(x) est lui-même approché : f(x) ≈ f^(x), où f^(x) est l’estimation de f(x).

Si l’on a pour tout x | f(x) − f^(x) | ≤δ, alors T_n(f) est calculé à (b − a).δ près.

| ∫

_a^b

^{f ). ( x dx}

^{− Tn(f^)}

^|

^{≤ (b − a).δ + M2(f).} 2 3

12 ) (

n a b−

.

Si donc l’on veut obtenir I(f) avec une précision ε, on choisira n de façon que M₂(f). ₂

3

12 ) (

n b−a

≤

ε 2

_, puis on mènera les calculs de façon à assurer (b − a).δ≤

ε 2

_. 2.5. Formule d’Euler-MacLaurin.

Les résultats suivants¹, obtenus par des intégrations par parties répétées à la manière de Taylor- Laplace, généralisent les propositions 1 et 2. Ils donnent en effet un développement à tous ordres de la différence I(f) – T_n(f). Les termes suivants améliorent la précision des calculs… à condition de connaître M_2p+2(f).

Proposition 3 : Soit f une fonction de classe C^2p : [a, b] → R. On a :

∫

_a^b

^{f ). ( x dx}

⁼

^b

⁻

₂ ^{a .( f ( a )}

⁺

^{f ( b ))}

⁺

^∑

=

−

p

k

k k

k B

1 (2 )!

. ) 1

( (b − a)^2k

[

f^(2k−1)(b) – f^(2k−1)(a)

]

+ )!

2 (

)

( ²

p a b− ^p

∫

_a^bB2p(_b^x₋⁻_a^{a).f(2p)(x).dx,}

les B_k et B_k(X) étant les nombres et polynômes de Bernoulli.

Proposition 4 : Soit f une fonction de classe C^2p : [a, b] → R. On a :

∫

_a^b

^{f ). ( x dx}

^{= Tn(f) +}

^∑

=

−

p

k

k k

k B

1 (2 )!

. ) 1

( (

n

b− a

₎^2k

[

f^(2k−1)(b) – f^(2k−1)(a)

]

+ R_np ,

où : | R_np | _≤

)!

2 2 (

+⁺1

p B_p

n

( n

a

b

−

)

^2p+3.M_2p+2(f) .

1 Trouvée par Euler en 1732 et Mac-Laurin en 1742, la formule d’Euler-Maclaurin a de nombreuses appli- cations. On la trouvera exposée dans Valiron, Théorie des fonctions, p. 214-219 et dans Bourbaki. J’avoue humblement que cette formule m’a toujours paru mystérieuse.

3. Méthode de Simpson.

3.1. Formule des trois niveaux.

Proposition 1 : Pour tout trinôme T ∈ R₂[X]

∫

₋¹₁

^{T ( x ). dx}

⁼

₆ ²

^{[ T(−}1) + 4.T(0) + T(1) ]. Cette formule est également vraie pour toute fonction réglée impaire.

Elle est donc vraie pour tout polynôme T ∈ R₃[X].

Preuve : On peut bien sûr vérifier cette formule, mais cela n’explique pas d’où elle vient.

L’application u : T ∈ R₂[X] → (T(−1), T(0), T(1)) ∈ R³ est linéaire injective, donc bijective par égalité des dimensions. Les trois formes linéaires T → T(−1), T → T(0), T → T(1) sont une base de R₂[X]*, duale de la base de Lagrange L₋₁(X) =

2 ) 1 (X−

X , L₀(X) = 1 − X² , L₁(X) = 2

) 1 (X+

X .

Il existe donc des constantes universelles α, β, γ telles que, pour tout trinôme T∈R2[X]

∫

₋¹₁

^{T ( x ). dx}

^{= α.T(−1) + β.T(0) + γ.T(1).}

On évalue ces constantes en faisant successivement T = L₋₁, L₀ et L₁.

La seconde affirmation est immédiate. Il en découle que la formule des trois niveaux est vraie aussi pour X³. Par linéarité, elle est vraie pour tout polynôme T ∈ R₃[X]. CQFD

Proposition 2 : La formule

∫

_a^b

^{S ). ( x dx}

⁼

^b− ₆ ^a

^[ S(a) + 4.S(

2

a+ b

_{) + S(b) ]} est vraie i) pour tout trinôme S ∈ R₂[X],

ii) pour toute fonction S réglée sur [a, b] telle que S(

2

a+ b

_{+ h) = − S(}

2

a+ b

_{− h),} iii) pour tout polynôme S ∈ R₃[X].

Preuve : Cette proposition se déduit de la première par les changements de variable affines : t =

a b

b a x

−−−

2

_{, x =}

2

a+ b

₊

b a . t 2

− _.

Applications à des calculs d’aires et de volumes.

a) Aire d’un segment de parabole

∫

_a^b

^{( px ²}

⁺

^qx

⁺

^{r ). dx}

ou de cubique.

b) Volume d’un tronc de pyramide ou de cône, limité par les plans horizontaux z = a, z = b.

Ici S(z) =

²

² a

z

.S(a), d’où : V =

² 3a

b− a

_S(a).(b² _{+ a}² _{+ ab).}

c) Volume de l’ellipsoïde :

²

² a x

₊

²

² b

y +

²

² c z

_{= 1.}

La section par le plan de cote z, |z| ≤ c, est l’ellipse

²

² a x

₊

²

² b

y _{= 1 −}

²

² c

z

, d’aire S(z) = πab.(1 −

²

² c z

_).

La formule des trois niveaux s’applique et donne V =

∫

₋^c_c

^{S ). ( x dx}

⁼

⁴ ₃ ^{π . abc}

3.2. Principe de la méthode de Simpson ² (1743).

2 Thomas SIMPSON (Market Bosworth, Leicestershire, 1710 - Market Bosworth 1761) fut d’abord tisserand, mais il enseignait les mathématiques à titre privé, et à partir de 1737 il commença à écrire des textes mathématiques. Il était le plus distingué d’un groupe de conférenciers itinérants qui enseignaient dans les cafés londoniens. Trente-cinq ans après sa mort, Charles Hutton écrivit : « On a dit que M. Simpson fréquentait la mauvaise société, avec laquelle il buvait de la bière brune et du gin : mais il faut noter que l’inconduite de sa famille l’empêchait de fréquenter des gentlemen, et de boire de meilleures boissons.» Mais selon d’autres

Soit f : [a, b] → R, Riemann-intégrable ou réglée, σ = (a_k)_0≤k≤n une subdivision de [a, b] ; on pose a_k+1/2 =

2

+1

+ k

k

a

a

. Considérons la fonction g_σ continue sur [a, b], parabolique sur chacun des segments [a_k, a_k+1], qui interpole f aux points a_k, a_k+1/2 et a_k.

∫

_a^b

^g

^σ

^{( x ). dx}

⁼

^∑

⁻

= + +

+ − + +

1

0

1 2

1

1 .[ ( ) 4. ( ) ( )]

6

n

k

k k k

k

k a f a f a f a

a

En particulier pour la subdivision équidistante a_k =

.( b a ) n

a

+

k

− , il vient : Σn(f) =

∫

_a^b

^g

^σ

^{( x ). dx}

⁼

^b ₆

⁻

_n ^a

^.

^∑

⁻

=¹ + + + +

0

1 2

1) ( )]

( . 4 ) ( [

n

k

k k

k f a f a

a f =

n a b

6

− _.

[

f(a) + f(b) + 2.

∑

⁻

= 1

1

) (

n

k

ak

f + 4.

∑

⁻

= +

1

0 2

1) (

n

k f ak

]

=

6 1

_{[ T}

n(f) + 2.M_n(f) ].

La méthode de Simpson consiste à approcher l’intégrale de f par celle de g_n . 3.3. Majorations d’erreur.

Majorons d’abord l’erreur commise en remplaçant f par la parabole qui l’interpole en a, b, et (a+b)/2.

Proposition 3 : Soit f réglée : [a, b] → R, R(f) =

∫

_a^b

^{f ). ( x dx}

⁻

^b

⁻

₆ ^{a .[ f ( a )}

⁺

^{f ( b )}

⁺

^{4 . f ( a} ₂

⁺

^{b )]}

^.

Si f est C³, notant M₃(f) = sup | f⁽³⁾(x) | , on a : | R(f) |≤ 12

)

3(f M .

(

2

b− a )

⁴ = M₃(f).

192 ) (b−a ⁴

. Si f est C⁴, notant M₄(f) = sup | f⁽⁴⁾(x) | , on a : | R(f) |≤

90 )

4(f M .

(

2

b− a )

⁵ = M₄(f).

2880 ) (b−a ⁵

. Preuve : Elle repose sur deux lemmes :

Lemme 1 : Soit P la parabole coïncidant avec f en a, b et

2 a+ b

_.

Alors ∀x ∈ [a, b] ∃cx ∈ ]a, b[ f(x) − P(x) = )( ) )( 2

! .(

3 )

'''(c x a x a b x b f x

+ −

−

− .

Lemme 2 : Soit U le polynôme de degré ≤ 3 tel que : U(a) = f(a) , U(b) = f(b) , U(

2 b a

+ _{) = f(}

2 b

a

+ _{) , U’(}

2 b a

+ _{) = f’(}

2 b a

+ _).

Alors ∀x ∈ [a, b] ∃c_x ∈ ]a, b[ f(x) − U(x) = )²( ) )( 2

! .(

4 )

)(

4 (

b b x x a a c x f x

+ −

−

− ^.

Pour le lemme 1, fixons x ≠ a, b et

2

a+ b

, et introduisons : ϕ(t) = f(t) − P(t) −

)( )

)( 2

! .(

3 t a t a b t b K

− − + − ^,

la constante K étant choisie telle que ϕ(x) = 0. Par six applications échelonnées de Rolle, il existe c_x ∈ ]a, b[ tel que ϕ’’’(cx) = 0. Or ϕ’’’(t) = f’’’(t) − K ; donc K = f’’’(cx).

Si x = a, b ou

2

a+ b

, il n’y a rien à montrer. cqfd. Même méthode pour le lemme 2.

Il reste à majorer en valeur absolue et à conclure. La formule des trois niveaux donne en effet :

témoignages, la conduite de Simpson était irréprochable. Simpson est surtout connu pour son travail sur l’interpolation et les méthodes d’intégration numériques. Il fit aussi des travaux de théorie des probabilités basés sur ceux de De Moivre, et publia en 1740 The Nature and Laws of Chance. Il travailla sur la théorie des erreurs, et jugeait que la moyenne arithmétique était préférable à une seule observation. En 1750 il publia The doctrine and application of fluxions, contenant l’œuvre de Cotes.

∫

_a^b

^{P ). ( x dx}

⁼

∫

_a^b

^{U ). ( x dx}

⁼

^b ₆

⁻

^{a .[ f ( a )}

⁺

^{f ( b )}

⁺

^{4 . f ( a}

⁺

₂ ^{b )]}

^.

Majorons maintenant l’erreur composée en remplaçant f par une fonction parabolique par morceaux.

Proposition 4 : Si f est C³, on a :

| ∫

_a^b

^{f ). ( x dx}

^−Σn(f)

^|

^{≤ M3(f).} 3 4

. 192

) (

n b−a

. Si f est C⁴, on a :

| ∫

_a^b

^{f ). ( x dx}

^−Σn(f)

^|

^{≤ M4(f).}₂₈₈₀^(b−a_.⁾_n^54.

Preuve : Il suffit d’appliquer le théorème 1 à chacun des segments [a_k, a_k+1], et d’additionner.

Pour les applications en calcul numérique, reprendre les considérations du § 2.4.

3.4. Méthode des trapèzes corrigée.

Exercice : Soit f : [a, b] → R de classe C⁴. On interpole f sur chaque segment [a_k, a_k+1] par la fonction h polynomiale par morceaux³ telle que :

h(a_k) = f(a_k) , h’(a_k) = f’(a_k) , h(a_k+1) = f(a_k+1) , h’(a_k+1) = f’(a_k+1) . 1) Montrer que h(a_k+1/2) =

2

1 [

f(a_k) + f(a_k+1)

]

+

8

1 k

k

a

a

₊−

[

f’(a_k) − f’(a_k+1)

]

. 2) En déduire que

∫

_a^b

^{h ). ( x dx}

^{= Tn(f) +}

₁₂ ^b

⁻

_{. n} ^a _² ^{.[ f '( a )}

⁻

^{f '( b )]}

^.

[ Utiliser la formule des trois niveaux. ]

3) Montrer que

| ∫

_a^b

^{f ). ( x dx}

⁻

∫

_a^b

^{h ). ( x dx |}

^{≤ M4(f).} 4 5

. 720

) (

n b−a

. 4. Méthodes de Newton-Cotes.

4.1. Principe de la méthode.

Soient f : [a, b] → R une fonction intégrable, σ = (ak)_0≤k≤n la subdivision équidistante de [a, b] : a_k =

.( b a )

n

a

+

k

− . Sur chaque segment [a_k, a_k+1] on approche f par un polynôme d’interpolation de Lagrange de degré ≤ p à pas équidistants. En résumé, on interpole f par une fonction g polynomiale par morceaux, et on approche l’intégrale de f par l’intégrale de g.

4.2. Coefficients de Cotes.⁴

3 h est une fonction-spline d’interpolation.

4 Roger COTES (Burbage, 1682 - Cambridge 1716). Fellow du Trinity College de Cambridge en 1707, Cotes devint à 26 ans le premier “Plumian professor of astronomy and experimental philosophy”. A Cambridge, il se lia avec William Whiston. Il fut élu à la Royal Society en 1711. De 1709 à 1713, il consacra l’essentiel de son temps à publier la seconde édition des Principia de Newton. Il étudia en grand détail cette œuvre et engagea avec Newton une correspondance très argumentée ; très amicale au début, cette correspondance se rafraîchit vers la fin. Cotes ne publia qu’un papier au cours de sa vie, intitulé Logometria. Il s’était passionné pour la rectification de la courbe logarithmique, comme il le dit à W. Jones dans une lettre de 1712. Au cours de ses travaux sur les logarithmes, il rencontra la courbe ρ = a/θ, qu’il nomma spirale réciproque. Jones le pressa de publier ses travaux, mais la mort prématurée de Cotes empêcha cette publication, qui ne parut qu’en 1750, dans The doctrine and application of fluxions de Thomas Simpson. Cotes découvrit un important théorème relatif aux racines n-ièmes de l’unité, anticipa la méthode des moindres carrés et découvrit une méthode d’intégration des fractions rationnelles ayant des dénominateurs binômiaux. Ses avancées dans la théorie des logarithmes, le calcul intégral et les méthodes d’interpolation numérique (il calcula dès 1707 les coefficients de Cotes jusqu’à p = 10) firent dire à Newton que «s'il avait vécu nous aurions appris quelque chose».

Pour uniformiser calculs et notations, considérons le segment [−1, 1], et notons les nœuds : τj = − 1 +

p j

2 ( 0 ≤ j ≤ p ).

Proposition 1 : Il existe des constantes ω0, …, ωp, appelées coefficients de Cotes, telles que : ∀P ∈ Rp[X]

∫

₋¹₁

^{P ( x ). dx}

^{= 2}

^∑

= p

j

j jP

0

) (

.

τ

ω

^.

Preuve : Les formes linéaires P → P(τj), 0 ≤ j ≤ p, forment une base du dual de R_p[X], base qui est duale de la base de Lagrange aux points τ j. On a :

∀P ∈ R_p[X] P(x) =

∑

= p

j

j

j L x

P

0

) ( ).

(

τ

^{, donc}

∫

₋¹₁

^{P ( x ). dx}

^{= 2}

^∑

= p

j

j jP

0

) (

.

τ

ω

^{, où} ωj =

2

1 ∫

₋¹₁

^L

^j

^{( x ). dx}

^.

Le facteur 2 est un facteur de normalisation, lié aux valeurs moyennes des fonctions.

Corollaire : ∀Q ∈ R_p[X]

∫

_a^b

^{Q ). ( x dx}

^{= (b − a).}

^∑

=

+ −

p +

j

j

jQ a b b a

0

2 ) 2 .

(

.

τ

ω

^.

Remarques : 1) La disposition symétrique des nœuds fournit un renseignement supplémentaire. La formule est valable pour tout fonction intégrable et impaire. Si donc p est pair, la formule est valable pour P(X) = X^p+1, donc, par linéarité, pour tout P ∈ R_p+1[X]. On a donc intérêt à choisir p pair.

2) Le calcul montre que des coefficients de Cotes ωj < 0 apparaissent pour p = 8. Les coefficients deviennent grands et de signes mélangés ce qui rend les formules sensibles aux erreurs d’arrondi.

3) Il découle des deux remarques précédentes qu’on se limite en pratique à p = 1, 2, 4 ou 6.

4.3. Formules de quadrature simples et composées.

Lorsqu’on remplace f par son polynôme d’interpolation à pas équidistant, on obtient : Formules de quadrature simple :

∫

_a^b

^{f ). ( x dx}

^{≈ ( b − a )}

^∑

=

+ −

p +

j

j

jf a b b a

0

2 ) 2 .

(

.

τ

ω

^.

Pour obtenir les formules de quadrature composées, il faut appliquer cette formule à chacun des segments [a_k, a_k+1] et sommer.

Notons a_k =

.( b a ) n

a

+

k

− (0 ≤ k ≤ n) , ak+1/2 =

2

+1

+ k

k

a

a

,

αkj =

2 1

_{( a}

k + a_k+1 +

n b− a

_.τ

j ) = a_k+1/2 +

n

a b

2

− _.τ

j (0 ≤ j ≤ p).

En vertu du corollaire précédent :

∫

^{k+1 ( ).}

k

a

a g x dx =

n b− a ∑

= p

j jg kj 0

) (

.

α

ω

⁼

n b− a ∑

= p

j jf kj 0

) ( .

α

ω

^.

D’où les formules de quadrature composées :

∫

_a^b

^{f ). ( x dx}

^≈

∫

_a^b

^{g ). ( x dx}

⁼

^∑

= p

j nj jI f

0

) (

ω

. ^{= T}np(f) , où I_nj(f) =

n b− a ∑

= p

j

f kj 0

) (

α

^.

Proposition 2 : Si f est réglée ou Riemann-intégrable sur [a, b], pour tout p, lim_n T_np(f) =

∫

_a^b

^{f ). ( x dx}

^.

Preuve : I_nj(f) est une somme de Riemann de f, associée à la subdivision régulière (a_k) et aux nœuds (αkj). De plus, si P = 1 dans la prop. 1, il vient

∑

= p

j j 0

ω

= 1. On conclut par linéarité de la limite.