sur un intervalle et pour le calcul approché de la solution d’une EDO.

TP3 - M43 Analyse numérique

G…loŠrˆi€a‡ F€a€cca’n€o”nˆi‡

On s’intéresse dans ce TP aux diverses méthodes vues en cours et/ou en TD pour le calcul approché de l’intégration numérique d’une fonction réelle de variable réelle

sur un intervalle et pour le calcul approché de la solution d’une EDO.

1 Exercice

On rappelle que sinest un entier

1. la formule durectangleou dupoint milieuànsous-intervalles pour calculer l’intégrale d’une fonctionf sur l’intervalle [a,b] est

Z_b

a

f(t)d t'Rn:=h

n−1

X

i=0

f µ

a+2i+1

2 h

¶

avech=b−a n ;

x

a b

a+b 2

x x₀ x₁ x₂ x₃ x₄

x₀+x1 2

x₁+x2 2

x₂+x3 2

x₃+x4 2

2. la formule destrapèzesànpoints pour calculer l’intégrale d’une fonctionf sur l’intervalle [a,b] est Z b

a

f(t)d t'Sn:=h Ã1

2f(a)+

n−1X

i=1

f(a+i h)+1 2f(b)

!

avech=b−a n ;

x

a b x₀ x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x

3. la formule deCavalieri-Simpsonànpoints pour calculer l’intégrale d’une fonctionf sur l’intervalle [a,b] est Z b

a

f(t)d t'Sn:=h 6 Ã

f(a)+2

n−1X

r=1

f(a+r h)+4

n−1X

s=0

f µ

a+2s+1

2 h

¶ +f(b)

!

avech=b−a n ; . On sait que sif est de classeC³([a,b]), on a

nlim→+∞

1 n

¯

¯

¯

¯ Z b

a

f(t)d t−I_n

¯

¯

¯

¯=0, pourI_n=Rn,Tn,Sn.

1/8

L’observer numériquement pour les fonctions suivantes :

f:x7→sin(x) sur [0,π]; g:x7→ 1

1+x² sur [0, 1];

h:x7→e^x sur [−1, 1]; w:x7→xe^−x sur [0, 2π];

avecn=1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128.

2 Exercice

SoitI=[t₀,t₀+T] un intervalle fermé borné deR. On se donne une fonctionf définie et continue surI×Rà valeurs dans R. Pourη∈R, condition initiale, on cherche une fonctionydéfinie et dérivable surIà valeurs dansRtelle que

(y⁰(t)=f(t,y(t)), ∀t∈I,

y(t₀)=η. (1)

Il s’agit d’un problème de Cauchy avec une EDO du premier ordre. On sait que s’il existe un réelLtel que

∀t∈I,∀y,z∈R,|f(t,y)−f(t,z)| ≤L|y−z|, (Condition de Lipschitz) alors le problème (1) admet une solution unique.

Rappelons ici trois schémas numériques : la méthode d’Euler explicite, la méthode de Heun (ou schéma de Runge-Kutta d’ordre 2) et la méthode de Runge-Kutta classique, d’ordre 4.

Soith=t_i+1−t_i; alors on a Euler explicite

(y₀=η,

y_i+1=y_i+h f(t_i,y_i), i=0, . . . ,n−1; (2)

Heun (

y₀=η, y_i+1=y_i+^h₂¡

f(t_i,y_i)+f(t_i+1,y_i+h f(t_i,y_i))¢

, i=0, . . . ,n−1; (3)

RK4 (

y₀=η, y_i+1=y_i+^h₆¡

f(t_i,y_i,1)+2f(t_i+h/2,y_i,2)+2f(t_i+h/2,y_i,3)+f(t_i+1,y_i,4)¢

, i=0, . . . ,n−1; (4) avec

y_i,1=y_i y_i,2=y_i+h

2f(t_i,y_i,1) y_i,3=y_i+h

2f(t_i+h/2,y_i,2) y_i,4=y_i+h f(t_i+h/2,y_i,3) Programmer ces méthodes comme des fonctions informatiques.

Pour chaque problème de Cauchy ci-dessous calculer la solution exacte et les solutions approchées obtenues par les méthodes précédentes et afficher les courbes ainsi obtenues sur un même plan (par exemple avec gnuplot) :

(y⁰(t)= −y(t),

y(0)=1, (5)

(

y⁰(t)=^y(t)+x

2−2 x+1 ,

y(0)=1, (6)

(y⁰(t)=cos²(y(t)),

y(0)=0, (7)

(y⁰(t)=x+y(t),

y(0)=1, (8)

(y⁰(t)=x y(t),

y(0)=1. (9)

Pour les calculs approchés on utilierah=0.1 etn=100.

3 Code

integration.c

1 /*

2 * F i l e : i n t e g r a t i o n . c

3 * A u t h o r : G l o r i a F a c c a n o n i

4 *

5 * C r e a t e d on 11 m a r s 2010 , 1 4 : 3 3

6 */

7

8 # i n c l u d e < s t d i o . h >

9 # i n c l u d e < s t d l i b . h >

10 # i n c l u d e < m a t h . h >

11

12 /*

13 * gcc - o i n t e g r a t i o n - lm i n t e g r a t i o n . c && ./ i n t e g r a t i o n

14 */

15 int m a i n ( int argc , c h a r** a r g v ) {

16

17 d o u b l e a , b ;

18 int n , exo ;

19

20 n = 30 ; // 1 2 8;

21 exo = 6 ;

22 23

24 // F o n c t i o n s p o u r les i n t e g r a t i o n s

25

26 d o u b l e r e c t a n g l e ( d o u b l e (* f )(d o u b l e) , d o u b l e a , d o u b l e b , int nb ) {

27 d o u b l e h , r e s u l t ;

28 int i ;

29 r e s u l t = 0 ;

30 h = ( b - a ) / nb ;

31 for ( i = 0 ; i < nb ; i ++ )

32 r e s u l t += f ( a + ( 2.0 * i + 1 ) / 2.0 * h ) ;

33 r e s u l t *= h ;

34 r e t u r n r e s u l t ;

35 }

36

37 d o u b l e t r a p e z e ( d o u b l e (* f )(d o u b l e) , d o u b l e a , d o u b l e b , int nb ) {

38 d o u b l e h , r e s u l t ;

39 int i ;

40 h = ( b - a ) / nb ;

41 r e s u l t = 0.0 ;

42 for ( i = 1 ; i < nb ; i ++ )

43 r e s u l t += f ( a + i * h ) ;

44 r e s u l t = ( f ( a ) + f ( b ) + r e s u l t * 2.0 ) * h / 2.0 ;

45 r e t u r n r e s u l t ;

46 }

47

48 d o u b l e S i m p s o n ( d o u b l e (* f )(d o u b l e) , d o u b l e a , d o u b l e b , int nb ) {

49 d o u b l e h , result , s , r ;

50 int i ;

51 h = ( b - a ) / nb ;

52 s = 0.0 ;

53 r = 0.0 ;

54 for ( i = 1 ; i < nb ; i ++ )

55 r += f ( a + i * h ) ;

56 for ( i = 0 ; i < nb ; i ++ )

57 s += f ( a + ( 2.0 * i + 1.0 ) * h / 2.0 ) ;

58 r e s u l t = ( f ( a ) + f ( b ) + 2.0 * r + 4.0 * s ) * h / 6.0 ;

59 r e t u r n r e s u l t ;

60 }

61 62

3/8

63 // c o m p a r a i s o n sur une f o n c t i o n d o n n e e

64

65 s w i t c h ( exo ) {

66 c a s e 1:

67 a = 0.0 ;

68 b = M _ P I ;

69 b r e a k ;

70 c a s e 2:

71 a = 0.0 ;

72 b = 1.0 ;

73 b r e a k ;

74 c a s e 3:

75 a = -1.0 ;

76 b = 1.0 ;

77 b r e a k ;

78 c a s e 4:

79 a = 0.0 ;

80 b = M _ P I + M _P I ;

81 b r e a k ;

82 c a s e 5:

83 a = 0.0 ;

84 b = 1.0 ;

85 b r e a k ;

86 c a s e 6:

87 a = 1.0 ;

88 b = 2.0 ;

89 b r e a k ;

90 d e f a u l t:

91 r e t u r n 0 ;

92 }

93

94 d o u b l e f ( d o u b l e x ) {

95 s w i t c h ( exo ) {

96 c a s e 1:

97 r e t u r n sin ( x ) ;

98 b r e a k ;

99 c a s e 2:

100 r e t u r n 1.0 / ( 1.0 + x * x ) ;

101 b r e a k ;

102 c a s e 3:

103 r e t u r n exp ( x ) ;

104 b r e a k ;

105 c a s e 4:

106 r e t u r n x * exp ( - x ) * cos ( 2.0 * x ) ;

107 b r e a k ;

108 c a s e 5:

109 r e t u r n x * x ;

110 b r e a k ;

111 c a s e 6:

112 r e t u r n 1.0 / x ;

113 b r e a k ;

114 d e f a u l t:

115 r e t u r n 0 ;

116 }// end s w i c h

117 }// end f

118

119 d o u b l e e x a c t e ( d o u b l e x ) {

120 s w i t c h ( exo ) {

121 c a s e 1:

122 r e t u r n - cos ( x ) ;

123 b r e a k ;

124 c a s e 2:

125 r e t u r n a t an ( x ) ;

126 b r e a k ;

127 c a s e 3:

128 r e t u r n exp ( x ) ;

129 b r e a k ;

130 c a s e 4:

131 r e t u r n ( - x / 0.5 e1 + 0.3 e1 / 0 . 2 5 e2 ) * exp ( - x ) * cos ( 0.2 e1 * x )

132 - ( -0.2 e1 / 0.5 e1 * x - 0.4 e1 / 0 .2 5 e2 ) * exp ( - x ) * sin ( 0.2 e1 * x ) ;

133 b r e a k ;

134 c a s e 5:

135 r e t u r n x * x * x / 3.0 ;

136 b r e a k ;

137 c a s e 6:

138 r e t u r n log ( x ) ;

139 b r e a k ;

140 d e f a u l t:

141 r e t u r n 0 ;

142 }// end s w i c h

143 }// end f

144 145

146 p r i n t f ( " \ n I n t e g r a t i o n ␣ e x a c t e ␣ e n t r e ␣ % lf ␣ et ␣ % lf ␣ : ", a , b ) ;

147 d o u b l e i n t e g r a l e = e x a c t e ( b ) - e x a c t e ( a ) ;

148 p r i n t f ( " \ n E X A C T E \ t \ t ␣ % 1 . 1 6 lf \ n \ n ", i n t e g r a l e ) ;

149

150 // A f f i c h e les s o l u t i o n s a p p r o c h e e s

151 p r i n t f ( " \ n I n t e g r a t i o n ␣ n u m e r i q u e ␣ a v e c ␣ % d ␣ p o i n t s ␣ : ", n ) ;

152 p r i n t f ( " \ n R E C T A N G L E \ t ␣ % 1 . 1 6 lf ", r e c t a n g l e ( f , a , b , n ) ) ;

153 p r i n t f ( " \ n T R A P E Z E \ t \ t ␣ % 1 . 1 6 lf ", t r a p e z e ( f , a , b , n ) ) ;

154 p r i n t f ( " \ n S I M P S O N \ t \ t ␣ % 1 . 1 6 lf \ n \ n ", S i m p s o n ( f , a , b , n ) ) ;

155

156 // A f f i c h e les e r r e u r s

157 p r i n t f ( " \ n E R R E U R S ␣ a v e c ␣ % d ␣ p o i n t s ␣ e n t r e ␣ % lf ␣ et ␣ % lf ␣ : ", n , a , b ) ;

158 p r i n t f ( " \ n R E C T A N G L E \ t ␣ % 1 . 1 6 lf ", f a b s ( i n t e g r a l e - r e c t a n g l e ( f , a , b , n ) ) ) ;

159 p r i n t f ( " \ n T R A P E Z E \ t \ t ␣ % 1 . 1 6 lf ", f a b s ( i n t e g r a l e - t r a p e z e ( f , a , b , n ) ) ) ;

160 p r i n t f ( " \ n S I M P S O N \ t \ t ␣ % 1 . 1 6 lf \ n \ n ", f a b s ( i n t e g r a l e - S i m p s o n ( f , a , b , n ) ) ) ;

161

162 r e t u r n ( E X I T _ S U C C E S S ) ;

163 }

5/8

edo.c

1 /*

2 * F i l e : edo . c

3 * A u t h o r : G l o r i a F a c c a n o n i

4 *

5 * C r e a t e d on 17 m a r s 2010 , 2 3 : 0 1

6 */

7 # i n c l u d e < s t d i o . h >

8 # i n c l u d e < s t d l i b . h >

9 # i n c l u d e < m a t h . h >

10

11 # d e f i n e NB 100

12 # d e f i n e N U M D E E E 5 // C h o i x du cas t e s t

13

14 d o u b l e * a l l o u e r _ t a b l e a u ( int n ) {

15 int i ;

16 d o u b l e * tab ;

17 tab = (d o u b l e *) m a l l o c ( n * s i z e o f (d o u b l e) ) ;

18 if ( tab == N U L L ) {

19 p r i n t f ( " A l l o c a t i o n ␣ i m p o s s i b l e ␣ ! " ) ;

20 e x i t ( 1 ) ;

21 }

22 r e t u r n tab ;

23 }

24

25 /*

26 * gcc - o edo - lm edo . c && ./ edo && g n u p l o t

27 * p l o t ’ edo . dat ’ u 1:2 w i t h line , ’ edo . dat ’ u 1:3 , ’ edo . dat ’ u 1:5 , ’ edo . dat ’ u 1:7

28 *

29 */

30 int m a i n ( int argc , c h a r** a r g v ) {

31

32 d o u b l e * x , * y_euler , * y_heun , * y_rk4 , h , y t a m ;

33 int i ;

34

35 F I L E * o u t p u t ; /* i n t e r n a l f i l e n a m e */

36 37

38 // D e c l a r a t i o n des c o n s t a n t e s de c a l c u l

39 h = 0.1 ; // pas p o u r le c a l c u l

40

41 // * A l l o c a t i o n de la m e m o i r e p o u r les t a b l e a u x de c a l c u l

42 x = a l l o u e r _ t a b l e a u ( NB + 2 ) ;

43 y _ e u l e r = a l l o u e r _ t a b l e a u ( NB + 2 ) ;

44 y _ h e u n = a l l o u e r _ t a b l e a u ( NB + 2 ) ;

45 y _ r k 4 = a l l o u e r _ t a b l e a u ( NB + 2 ) ;

46 47

48 // C . I .

49 s w i t c h ( N U M D E E E ) {

50 c a s e 1:

51 x [0] = 0 ;

52 y _ e u l e r [0] = 1 ;

53 b r e a k ;

54 c a s e 2:

55 x [0] = 0 ;

56 y _ e u l e r [0] = 1 ;

57 b r e a k ;

58 c a s e 3:

59 x [0] = 0 ;

60 y _ e u l e r [0] = 0 ;

61 b r e a k ;

62 c a s e 4:

63 x [0] = 0 ;

64 y _ e u l e r [0] = 1 ;

65 b r e a k ;

66 c a s e 5:

67 x [0] = 0 ;

68 y _ e u l e r [0] = 1 ;

69 b r e a k ;

70 }

71 y _ h e u n [0] = y _ e u l e r [0] ;

72 y _ r k 4 [0] = y _ e u l e r [0] ;

73

74 // T e r m e s o u r c e

75

76 d o u b l e f ( d o u b l e x , d o u b l e y ) {

77 s w i t c h ( N U M D E E E ) {

78 c a s e 1: r e t u r n - y ;

79 b r e a k ;

80 c a s e 2: r e t u r n ( y + x * x - 2.0 ) / ( x + 1.0 ) ;

81 b r e a k ;

82 c a s e 3: r e t u r n pow ( cos ( y ) , 2.0 ) ;

83 b r e a k ;

84 c a s e 4: r e t u r n x + y ;

85 b r e a k ;

86 c a s e 5: r e t u r n x * y ;

87 b r e a k ;

88 }

89 }

90

91 // S o l u t i o n e x a c t e

92

93 d o u b l e e x a c t e ( d o u b l e x ) {

94 s w i t c h ( N U M D E E E ) {

95 c a s e 1: r e t u r n exp ( - x ) ;

96 b r e a k ;

97 c a s e 2: r e t u r n ( x + 1.0 / ( x + 1 ) - 2.0 * log ( x + 1 ) ) * ( x + 1 ) ;

98 b r e a k ;

99 c a s e 3: r e t u r n a t a n ( x ) ;

100 b r e a k ;

101 c a s e 4: r e t u r n 2. * exp ( x ) - x - 1.0 ;

102 b r e a k ;

103 c a s e 5: r e t u r n exp ( x * x / 2 ) ;

104 b r e a k ;

105 }

106 }

107 108

109 // M e t h o d e d ’ E u l e r

110

111 d o u b l e e u l e r ( d o u b l e x [] , d o u b l e y [] , d o u b l e h ) {

112 int i ;

113 for ( i = 0 ; i <= NB ; i ++ ) {

114 x [ i + 1] = x [ i ] + h ;

115 y [ i + 1] = y [ i ] + h * f ( x [ i ] , y [ i ] ) ;

116 }

117 }

118 119

120 // M e t h o d e de H e u n

121

122 d o u b l e he u n ( d o u b l e x [] , d o u b l e y [] , d o u b l e h ) {

123 d o u b l e k1 , k2 ;

124 int i ;

125 for ( i = 0 ; i <= NB ; i ++ ) {

126 k1 = h * f ( x [ i ] , y [ i ] ) ;

127 k2 = h * f ( x [ i ] + h , y [ i ] + k1 ) ;

128 y [ i + 1] = y [ i ]+( k1 + k2 ) / 2.0 ;

129 }

130 }

7/8

131 132

133 // M e t h o d e de R u n g e K u t t a 4

134

135 d o u b l e r u n g e 4 ( d o u b l e x [] , d o u b l e y [] , d o u b l e h ) {

136 d o u b l e hh = h / 2.0 , k1 , k2 , k3 , k4 ;

137 int i ;

138 for ( i = 0 ; i <= NB ; i ++ ) {

139 k1 = h * f ( x [ i ] , y [ i ] ) ;

140 k2 = h * f ( x [ i ] + hh , y [ i ] + k1 / 2.0 ) ;

141 k3 = h * f ( x [ i ] + hh , y [ i ] + k2 / 2.0 ) ;

142 k4 = h * f ( x [ i ] + h , y [ i ] + k3 ) ;

143 y [ i + 1] = y [ i ]+( k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4 ) / 6.0 ;

144 }

145 }

146 147

148 // C o e u r du p r o g r a m m e

149 e u l e r ( x , y_euler , h ) ;

150 h e u n ( x , y_heun , h ) ;

151 r u n g e 4 ( x , y_rk4 , h ) ;

152

153 // S a u v e g a r d e des r e s u l t a t s d a n s un f i c h i e r t e x t e p o u r t r a c e r par G n u P l o t

154 // Ce f i c h i e r se n o m m e edo . dat . Il est c r e e d a n s le r e p e r t o i r e c o u r a n t

155 // ( c e l u i d a n s l e q u e l est l a n c e le p r o g r a m m e )

156 // S ’ il n ’ e x i s t e pas , il est c r e e . S ’ il existe , son c o n t e n u est e c r a s e .

157 o u t p u t = f o p e n ( " edo . dat ", " w + " ) ;

158 f p r i n t f ( output ,

159 " \ n # ␣ x \ t \ t y _ e x a c t e \ t y _ e u l e r \ t \ t e r r e u r \ t \ t y _ h e u n \ t \ t e r r e u r \ t \ t y _ r u n g e \ t \ t e r r e u r \ n " ) ;

160 for ( i = 0 ; i <= NB ; i ++ ) {

161 y t a m = e x a c t e ( i * h ) ;

162 f p r i n t f ( output , " % lf \ t % lf \ t % lf \ t % lf \ t % lf \ t % lf \ t % lf \ t % lf \ n ",

163 x [ i ] , ytam ,

164 y _ e u l e r [ i ] , y t a m - y _ e u l e r [ i ] ,

165 y _ h e u n [ i ] , y t a m - y _ h e u n [ i ] ,

166 y _ r k 4 [ i ] , y t a m - y _ r k 4 [ i ] ) ;

167 }

168 f c l o s e ( o u t p u t ) ;

169

170 f r e e ( x ) ;

171 f r e e ( y _ e u l e r ) ;

172 f r e e ( y _ h e u n ) ;

173 f r e e ( y _ r k 4 ) ;

174

175 // o u t p u t = f o p e n (" p l o t . gnu " , " w + " ) ;

176 // f p r i n t f ( output ," p l o t ’ edo . dat ’ u 1:2 w i t h line , ’ edo . dat ’ u 1:3 , ’ edo . dat ’ u 1:5 , ’ edo . dat ’ u 1 : 7 " ) ;

177 // f c l o s e ( o u t p u t );

178 // s y s t e m (" g n u p l o t p l o t . gnu -") ;

179

180 // A F F I C H A G E G R A P H Q U E :

181 o u t p u t = p o p e n ( " g n u p l o t ", " w " ) ; // e x e c u t i o n de la c o m m a n d e g n u p l o t

182 f p r i n t f ( output , " ␣ p l o t ␣ \" edo . dat \" ␣ ␣ u ␣ 1:2 ␣ w i t h ␣ l i n e ␣ t i t l e ␣ ’ e x a c t ’ , ␣ ’ edo . dat ’ ␣ u ␣ 1:3 ␣ t i t l e ␣ ’ e u l e r ’ , ␣ ’ edo . dat ’ ␣ u ␣ 1:5 ␣ t i t l e ␣ ’ H e u n ’ , ␣ ’ edo . dat ’ ␣ u ␣ 1:7 ␣ t i t l e ␣ ’ RK4 ’\ n " ) ;

183 f f l u s h ( o u t p u t ) ;

184 s l e e p ( 10 ) ; // t e r m i n e r l ’ e n v o i de c o m m a n d e

185 p c l o s e ( o u t p u t ) ; // f e r m e r g n u p l o t

186

187 r e t u r n 0 ;

188 }

189 190

191 /*

192 ode := d i f f ( y ( x ) , x )=( y ( x ) + x * x - 2.0 ) / ( x + 1.0 );

193 d s o l v e ({% , y ( 0 ) = 1 } ) ;

194 C o d e G e n e r a t i o n [ C ]( rhs ( % ) ) ;

195 */