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Fonctions de la variable réelle – TD

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

FONCTIONS DE LA VARIABLE RÉELLE TD

Fonctions de la variable réelle – TD

2

Complément de cours

Les résultats de cette partie sont à connaître et peuvent être utilisés sans démonstration.

Exercice 1

Montrer que la fonction partie entière est croissante surR. Exercice 2

Montrer la proposition 2.5 page 18 du cours.

Exercices supplémentaires sur la partie entière

Exercice 3

Montrer que :∀(x,y)∈R2,bxc + byc É bx+yc É bxc + byc +1.

Exercice 4

Montrer que :∀x∈R,∀n∈N?,

¹bn×xc n

º

= bxc.

Généralités

Exercice 5

Soientf :R→Rune fonction et (x,y)∈R2. Vrai ou faux ? 1. Si f est croissante et f(x)Éf(y), alorsxÉy.

2. Si f est croissante et f(x)<f(y), alorsx<y.

3. Si f est strictement croissante et f(x)Éf(y), alorsxÉy.

Exercice 6

Déterminer toutes les fonctions deRdansRqui sont périodiques et monotones.

Exercice 7

Soitf :X→Ret g:Y→Rdeux fonctions. On suppose que f(X)⊂Y. Montrer que sif est périodique, alorsg◦f aussi.

Dérivation

Exercice 8

Montrer que la fonctionf définie par :

∀x∈R,f(x)=sin µ

ln

µe3x+1 e−x+1

¶¶

, est dérivable surRet calculer sa dérivée.

G. BOUTARD 1 Lycée GAY-LUSSAC

(2)

TD FONCTIONS DE LA VARIABLE RÉELLE

Exercice 9

Soita∈Retn∈N. Déterminer les domaines de définitions, les domaines de dérivation et calculer les dérivées des fonctions suivantes :

α(x)= 1

x2 b(x)= 1

(x+1)3 c(x)= 1

(x−a)n d(x)=xn

n! e(x)=(a−x)n

n! f(x)= x

x2+1 g(x)= x

sinx h(x)=cosp

x i(x)=p

cosx j(x)=etanx k(x)=e

px2+x+1 l(x)=x×ln(x2+1) m(x)=ln(cos(2x)) n(x)=ln(lnx) o(x)=ln|x|

p(x)=(lnx)3

x q(x)=sin(x2+2x−3) r(x)=cos2(x2+2x−3) s(x)=cos¡

(x2+2x−3)2¢

t(x)= cosx

psinx+2 u(x)= 1 (ex+e−x)2 v(x)=Arctan

µ1 x

w(x)=xArcsin µ1

x

X(x)=x3sin(1/x2) y(x)=

q

|x2−1| Z(x)=ln µ¯

¯

¯

¯ 1+x 1−x

¯

¯

¯

¯

A(x)=xln|ex−1| B(x)=x2p

|lnx| C(x)=xx D(x)= µ

1+1 x

x

Exercice 10

Pourm∈R, on définit la fonction fm, pour toutx∈R, par fm(x)= x+m

x2+1. On noteΓmle graphe de fm. 1. Montrer que les tangentes aux courbesΓmau point d’abscisse 0 sont parallèles.

2. Montrer que les tangentes aux courbesΓmau point d’abscisse 1 sont concourantes.

Exercice 11

Soit f:R+→Rune fonction dérivable surR+ telle que, pour toutx∈R+, f0(x)Éf(x). On suppose de plus que f est à valeurs positives et que f(0)=0.

En considérant la fonctiong:x7→e−x×f(x), montrer quef est identiquement nulle.

Bijection réciproque

Exercice 12

On considère la fonctionf définie pour toutx∈[1,+∞[ par f(x)=e(ln(x))2.

Montrer quef réalise une bijection de [1,+∞[ sur un intervalle à expliciter et déterminer l’expression de f−1. Exercice 13

On considère la fonctionf : R → R x 7→ x3+x+1

. 1. Montrer quef réalise une bijection deRsurR.

2. Déterminer l’ensemble des points où la fonction f1est dérivable.

3. Déterminer les valeurs de (f−1)0(1) et (f−1)0(−1).

Étude de fonctions et applications

Exercice 14 Soitf :x7→¡

sin(x)¢3

ס

cos(x)¢4

.

Montrer qu’il suffit d’étudierf sur l’intervalleh 0,π

2 i

pour obtenir toute sa courbe représentative.

PCSI 2021 – 2022 2 G. BOUTARD

(3)

FONCTIONS DE LA VARIABLE RÉELLE TD

Exercice 15

Étudier la parité de la fonctionf définie par f(x)=e3x−e−x 1−e2x . Exercice 16

On considère la fonctionf :x7→ln³ p

x2+1−x´ . 1. Déterminer l’ensemble de définition de f. 2. Étudier la parité def.

3. Déterminer la monotonie de f. Exercice 17

Étudier la fonction f définie parf(x)= q¯

¯x2−1¯

¯.

Exercice 18

Étudier la fonction f définie parf(x)= sin(x) 1+sin(x). Exercice 19

On définit la fonction

f : ]0,+∞[ → R x 7→ ex

1−ex. 1. Étudier la fonctionf.

2. Montrer que, pour toutx∈]0,+∞[, f0(x)=f(x)+f(x)2.

3. Montrer que f réalise une bijection de ]0,+∞[ sur un intervalleJ à déterminer. Dans la suite, on note gla bijection réciproque de f.

4. Déterminer la monotonie deget tracer le graphe de g.

5. Montrer quegest dérivable surJ et calculer sa dérivée.

6. Déterminer l’expression deg.

Exercice 20 Soitf :x7→ 2x

1−x2.

Montrer quef réalise une bijection de ]−1, 1[ surRet déterminer sa bijection réciproque.

Exercice 21

Soitf :x7→x2+ln(x).

1. Montrer quef réalise une bijection deR?+surR.

2. Montrer que la bijection réciproque de f est dérivable surRet que, pour toutx∈R,

¡f1¢0

(x)= 1

1

f1(x)+2f1(x). Exercice 22

On définit la fonction

f : ]0,+∞[ → R x 7→ ln(x)

x . 1. Étudier la fonctionf.

2. Déterminer les points pour lesquelles la courbe représentative def possède une tangente passant par l’origine du repère.

3. En fonction des valeurs deλ∈R, déterminer le nombre de solutions de l’équation ln(x) x =λ.

G. BOUTARD 3 Lycée GAY-LUSSAC

(4)

TD FONCTIONS DE LA VARIABLE RÉELLE

Exercice 23

En fonction des valeurs deλ∈R, déterminer le nombre de solution de l’équation 1

x−1+1 2×ln

µ1+x 1−x

=λ.

Exercice 24

Montrer que, pour toutx∈R, exp(x)Êx+1.

Exercice 25

Montrer que, pour toutx∈R?+, ln(x)Éx−1.

Exercice 26

Montrer que, pour toutx∈R+,x−x3

6 Ésin(x)Éx.

Exercice 27

Montrer que, pour toutx∈]−1,+∞[, ln(1+x)Ê x 1+x. Exercice 28

Montrer que, pour toutx∈R+, (x−2)×ex+(x+2)Ê0.

PCSI 2021 – 2022 4 G. BOUTARD

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