FONCTIONS DE LA VARIABLE RÉELLE TD
Fonctions de la variable réelle – TD
2Complément de cours
Les résultats de cette partie sont à connaître et peuvent être utilisés sans démonstration.
Exercice 1
Montrer que la fonction partie entière est croissante surR. Exercice 2
Montrer la proposition 2.5 page 18 du cours.
Exercices supplémentaires sur la partie entière
Exercice 3
Montrer que :∀(x,y)∈R2,bxc + byc É bx+yc É bxc + byc +1.
Exercice 4
Montrer que :∀x∈R,∀n∈N?,
¹bn×xc n
º
= bxc.
Généralités
Exercice 5
Soientf :R→Rune fonction et (x,y)∈R2. Vrai ou faux ? 1. Si f est croissante et f(x)Éf(y), alorsxÉy.
2. Si f est croissante et f(x)<f(y), alorsx<y.
3. Si f est strictement croissante et f(x)Éf(y), alorsxÉy.
Exercice 6
Déterminer toutes les fonctions deRdansRqui sont périodiques et monotones.
Exercice 7
Soitf :X→Ret g:Y→Rdeux fonctions. On suppose que f(X)⊂Y. Montrer que sif est périodique, alorsg◦f aussi.
Dérivation
Exercice 8
Montrer que la fonctionf définie par :
∀x∈R,f(x)=sin µ
ln
µe3x+1 e−x+1
¶¶
, est dérivable surRet calculer sa dérivée.
G. BOUTARD 1 Lycée GAY-LUSSAC
TD FONCTIONS DE LA VARIABLE RÉELLE
Exercice 9
Soita∈Retn∈N. Déterminer les domaines de définitions, les domaines de dérivation et calculer les dérivées des fonctions suivantes :
α(x)= 1
x2 b(x)= 1
(x+1)3 c(x)= 1
(x−a)n d(x)=xn
n! e(x)=(a−x)n
n! f(x)= x
x2+1 g(x)= x
sinx h(x)=cosp
x i(x)=p
cosx j(x)=etanx k(x)=e
px2+x+1 l(x)=x×ln(x2+1) m(x)=ln(cos(2x)) n(x)=ln(lnx) o(x)=ln|x|
p(x)=(lnx)3
x q(x)=sin(x2+2x−3) r(x)=cos2(x2+2x−3) s(x)=cos¡
(x2+2x−3)2¢
t(x)= cosx
psinx+2 u(x)= 1 (ex+e−x)2 v(x)=Arctan
µ1 x
¶
w(x)=xArcsin µ1
x
¶
X(x)=x3sin(1/x2) y(x)=
q
|x2−1| Z(x)=ln µ¯
¯
¯
¯ 1+x 1−x
¯
¯
¯
¯
¶
A(x)=xln|ex−1| B(x)=x2p
|lnx| C(x)=xx D(x)= µ
1+1 x
¶x
Exercice 10
Pourm∈R, on définit la fonction fm, pour toutx∈R, par fm(x)= x+m
x2+1. On noteΓmle graphe de fm. 1. Montrer que les tangentes aux courbesΓmau point d’abscisse 0 sont parallèles.
2. Montrer que les tangentes aux courbesΓmau point d’abscisse 1 sont concourantes.
Exercice 11
Soit f:R+→Rune fonction dérivable surR+ telle que, pour toutx∈R+, f0(x)Éf(x). On suppose de plus que f est à valeurs positives et que f(0)=0.
En considérant la fonctiong:x7→e−x×f(x), montrer quef est identiquement nulle.
Bijection réciproque
Exercice 12
On considère la fonctionf définie pour toutx∈[1,+∞[ par f(x)=e(ln(x))2.
Montrer quef réalise une bijection de [1,+∞[ sur un intervalle à expliciter et déterminer l’expression de f−1. Exercice 13
On considère la fonctionf : R → R x 7→ x3+x+1
. 1. Montrer quef réalise une bijection deRsurR.
2. Déterminer l’ensemble des points où la fonction f−1est dérivable.
3. Déterminer les valeurs de (f−1)0(1) et (f−1)0(−1).
Étude de fonctions et applications
Exercice 14 Soitf :x7→¡
sin(x)¢3
ס
cos(x)¢4
.
Montrer qu’il suffit d’étudierf sur l’intervalleh 0,π
2 i
pour obtenir toute sa courbe représentative.
PCSI 2021 – 2022 2 G. BOUTARD
FONCTIONS DE LA VARIABLE RÉELLE TD
Exercice 15
Étudier la parité de la fonctionf définie par f(x)=e3x−e−x 1−e2x . Exercice 16
On considère la fonctionf :x7→ln³ p
x2+1−x´ . 1. Déterminer l’ensemble de définition de f. 2. Étudier la parité def.
3. Déterminer la monotonie de f. Exercice 17
Étudier la fonction f définie parf(x)= q¯
¯x2−1¯
¯.
Exercice 18
Étudier la fonction f définie parf(x)= sin(x) 1+sin(x). Exercice 19
On définit la fonction
f : ]0,+∞[ → R x 7→ ex
1−ex. 1. Étudier la fonctionf.
2. Montrer que, pour toutx∈]0,+∞[, f0(x)=f(x)+f(x)2.
3. Montrer que f réalise une bijection de ]0,+∞[ sur un intervalleJ à déterminer. Dans la suite, on note gla bijection réciproque de f.
4. Déterminer la monotonie deget tracer le graphe de g.
5. Montrer quegest dérivable surJ et calculer sa dérivée.
6. Déterminer l’expression deg.
Exercice 20 Soitf :x7→ 2x
1−x2.
Montrer quef réalise une bijection de ]−1, 1[ surRet déterminer sa bijection réciproque.
Exercice 21
Soitf :x7→x2+ln(x).
1. Montrer quef réalise une bijection deR?+surR.
2. Montrer que la bijection réciproque de f est dérivable surRet que, pour toutx∈R,
¡f−1¢0
(x)= 1
1
f−1(x)+2f−1(x). Exercice 22
On définit la fonction
f : ]0,+∞[ → R x 7→ ln(x)
x . 1. Étudier la fonctionf.
2. Déterminer les points pour lesquelles la courbe représentative def possède une tangente passant par l’origine du repère.
3. En fonction des valeurs deλ∈R, déterminer le nombre de solutions de l’équation ln(x) x =λ.
G. BOUTARD 3 Lycée GAY-LUSSAC
TD FONCTIONS DE LA VARIABLE RÉELLE
Exercice 23
En fonction des valeurs deλ∈R, déterminer le nombre de solution de l’équation 1
x−1+1 2×ln
µ1+x 1−x
¶
=λ.
Exercice 24
Montrer que, pour toutx∈R, exp(x)Êx+1.
Exercice 25
Montrer que, pour toutx∈R?+, ln(x)Éx−1.
Exercice 26
Montrer que, pour toutx∈R+,x−x3
6 Ésin(x)Éx.
Exercice 27
Montrer que, pour toutx∈]−1,+∞[, ln(1+x)Ê x 1+x. Exercice 28
Montrer que, pour toutx∈R+, (x−2)×ex+(x+2)Ê0.
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