AIRES et intégrales

(1)

Chap.16 :

AIRES et intégrales

On munit le plan d’un repère orthogonal (𝑂 ; 𝚤⃗, 𝚥⃗).

Partie 1 : définitions

a) Unité d’aire

On considère les points 𝐼 et 𝐽 définis respectivement par 𝚤⃗ = 𝑂𝐼----⃗ et 𝚥⃗ = 𝑂𝐽----⃗. On note 𝐾 le point tel que le quadrilatère 𝑂𝐼𝐾𝐽 soit un rectangle.

L’aire du rectangle 𝑂𝐼𝐾𝐽 est l’unité d’aire.

Remarque : 𝑂𝐼𝐾𝐽 peut être un carré lorsque le repère est orthonormé.

Exemple : lorsque 𝑂𝐼 = 4 𝑐𝑚 et 𝑂𝐽 = 2 𝑐𝑚, l’unité d’aire vaut 8 𝑐𝑚⁴ et on note 1 𝑢. 𝑎. = 8 𝑐𝑚⁴.

b) Aire sous la courbe

Dans un repère, on considère la courbe représentative 𝐶 d’une fonction 𝑓, continue et positive sur un intervalle [𝑎 ; 𝑏].

Le domaine 𝐷 situé sous la courbe est constitué de l’ensemble des points 𝑀(𝑥 ; 𝑦) tels que B

Propriété : le domaine 𝐷 possède une aire 𝐴.

c) Intégrale d’une fonction continue et positive sur un intervalle Définition : intégrale d’une fonction continue et positive

On considère une fonction 𝑓 continue et positive sur un intervalle [𝑎 ; 𝑏] et on note 𝐶 sa courbe représentative.

L’aire du domaine délimité par la courbe 𝐶, l’axe des abscisses et les droites d’équation 𝑥 = 𝑎 et 𝑥 = 𝑏 est appelé intégrale de la fonction 𝑓 sur [𝑎 ; 𝑏]. Elle est notée ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥_G^F .

Remarques :

• ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥_G^F se prononce « intégrale de 𝑓 sur [𝑎 ; 𝑏] ».

• Cette notation est due à Leibniz (1646 − 1716).

• Dans la notation, la variable 𝑥 est dite « muette » : K 𝑓(𝑥)𝑑𝑥^F

G

= K 𝑓(𝑡)𝑑𝑡^F

G

= K 𝑓(𝑢)𝑑𝑢^F

G

= ⋯

• Lorsque 𝑎 = 𝑏, on convient que ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥_G^G = 0.

• Une intégrale peut être déterminée comme limite d’une somme d’aire de rectangles.

𝑎 ! 𝑥 ! 𝑏 0 ! 𝑦 ! 𝑓(𝑥)

𝑂 𝐼

𝐽

𝚤⃗

𝚥⃗ 1 u.a.

𝐾

𝑎 𝑏

𝑂

𝐶 𝐴

(2)

Exemples :

1. On considère la fonction 𝑓 définie 3. On considère la fonction 𝑓 définie sur [−1 ; 4] par 𝑓(𝑥) = 2. sur [−2 ; 2] par 𝑓(𝑥) =^O₄𝑥 + 3.

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥_SO^R = ……… ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥_S4⁴ = ………

2. On considère la fonction 𝑓 définie 4. On considère la fonction 𝑓 définie sur [−3 ; 3]

sur [1 ; 5] par 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 5. dont on donne la courbe représentative ci-dessous.

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥_O^U = ……… ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥_SV^V = ………

d) Intégrale d’une fonction continue et négative sur un intervalle Définition : intégrale d’une fonction continue et négative

On considère une fonction 𝑓 continue et négative sur un intervalle [𝑎 ; 𝑏] et on note 𝐶 sa courbe représentative.

L’intégrale de la fonction 𝑓 sur [𝑎 ; 𝑏] est l’opposé de l’aire du domaine délimité par la courbe 𝐶, l’axe des abscisses et les droites d’équation 𝑥 = 𝑎 et 𝑥 = 𝑏.

Remarques :

• On a donc ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥_G^F = −𝐴.

• On dit que ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥_G^F est une aire algébrique.

𝑂 1 1

𝑂 1

1

𝑂 1

1 𝑂

1 1

𝑂

𝑎 𝑏

𝐴 ^𝐶

(3)

Exemples :

1. On considère la fonction 𝑓 définie sur [−2 ; 4] dont on donne la courbe représentative ci-contre.

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥_S4^R = ……….

= ……….

2. On considère la fonction constante 𝑓 définie sur l’intervalle [𝑎 ; 𝑏] par 𝑓(𝑥) = 𝑚 (où 𝑚 ∈ ℝ).

𝑓 est continue sur [𝑎 ; 𝑏] et ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥_G^F = ………

e) Intégrale d’une fonction continue et de signe quelconque sur un intervalle Définition : intégrale d’une fonction continue et de signe quelconque

On considère une fonction 𝑓 continue sur un intervalle [𝑎 ; 𝑏] et on note 𝐶 sa courbe représentative.

L’intégrale de la fonction 𝑓 sur [𝑎 ; 𝑏] est la somme des aires algébriques des différents domaines où 𝑓 est de signe constant.

Exemple : on considère la fonction 𝑓 définie sur [−1 ; 5] par : 𝑓(𝑥) =1

3𝑥 − 1 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥_SO^U = ………

= ………

Partie 2 : propriétés des intégrales

a) Positivité de l’intégrale Propriété : positivité de l’intégrale

On considère deux nombres réels 𝑎 et 𝑏 tels que 𝑎 < 𝑏 et une fonction 𝑓, continue sur l’intervalle [𝑎 ; 𝑏].

• Si 𝑓 est à valeurs positives sur [𝑎 ; 𝑏], alors ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥_G^F ≥ 0.

• Si 𝑓 est à valeurs négatives sur [𝑎 ; 𝑏], alors ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥_G^F ≤ 0.

Démonstration : cette propriété est une conséquence évidente des définitions précédentes.

Remarques : les réciproques sont fausses !!

Attention à l’ordre des bornes de l’intégrale, la condition 𝑎 < 𝑏 est importante.

b) Relation de Chasles

Propriété : relation de Chasles pour les intégrales

On considère deux nombres réels 𝑎 et 𝑏 tels que 𝑎 < 𝑏 et une fonction 𝑓 continue sur l’intervalle [𝑎 ; 𝑏].

Pour tous nombres réels 𝛼, 𝛽 et 𝛾 appartenant à [𝑎 ; 𝑏], on a :

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥_`^_ + ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥_{_}^a = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥_`^a .

𝑂 1 1

𝑂 1

1

(4)

Conséquence : ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥_`^_ = − ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥_{_}^` .

Illustration :

c) Linéarité de l’intégrale Propriété : linéarité de l’intégrale

On considère deux fonctions 𝑓 et 𝑔 continues sur un intervalle [𝑎 ; 𝑏].

Pour tous nombres réels 𝑘 et 𝑘’ et tous nombres réels 𝛼 et 𝛽 appartenant à [𝑎 ; 𝑏], on a :

∫ e𝑘𝑓(𝑥) + 𝑘′𝑔(𝑥)g 𝑑𝑥_`^_ = 𝑘 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥_`^_ + 𝑘′ ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥_`^_ . Démonstration : on admettra cette propriété.

Exemples :

1. ∫ −7𝑥_h^O ⁴ 𝑑𝑥 =………

2. ∫ 6𝑥_h^O ⁴− 5𝑥 + 1 𝑑𝑥=………

d) Intégrale et ordre Propriété : intégrale et ordre

On considère deux fonctions 𝑓 et 𝑔 continues sur un intervalle [𝑎 ; 𝑏].

Si pour tout nombre réel 𝑥 ∈ [𝑎 ; 𝑏], 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) alors, ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥_G^F ≤ ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥_G^F .

Démonstration : pour tout nombre réel 𝑥 appartenant à [𝑎 ; 𝑏], 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) donc 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) ≤ 0.

On en déduit, par positivité de l’intégrale, que ∫ 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥_G^F ≤ 0.

Finalement, en utilisant la linéarité de l’intégrale, ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥_G^F ≤ ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥_G^F . Illustration :

𝛼 𝛽 𝛽 𝛾 𝛼 𝛽 𝛾

+ =

Attention à l’ordre des bornes de l’intégrale : la condition 𝑎 < 𝑏 est importante !!

(5)

𝑎 𝑂 𝑏

"f

"g

Exemples : on considère la fonction 𝑓 définie sur l’intervalle [−1 ; 1] par 𝑓(𝑥) =_ijk^O _l. 1. Donner un encadrement de 𝑓(𝑥) pour tout nombre réel 𝑥 appartenant à [−1 ; 1].

………

2. En déduire un encadrement de l’intégrale 𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥_SO^O d’amplitude 0,1.

………

Propriété : aire entre deux courbes

On considère deux fonctions 𝑓 et 𝑔 continues sur un intervalle [𝑎 ; 𝑏] et on suppose que, pour tout nombre réel 𝑥 ∈ [𝑎 ; 𝑏], 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥).

L’aire, exprimée en unité d’aire, du domaine délimité par les courbes représentatives des fonctions 𝑓 et 𝑔 et les droites d’équation 𝑥 = 𝑎 et 𝑥 = 𝑏 est égale à :

∫ e𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)g 𝑑𝑥_G^F .

Illustration :

Exemples : on considère les fonctions 𝑓 et 𝑔 définies respectivement sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 𝑥 et 𝑔(𝑥) = 𝑥⁴.

Calculer l’aire, exprimée en unités d’aires, délimitée par les courbes représentatives des fonctions 𝑓 et 𝑔 et les droites d’équations 𝑥 = 0 et 𝑥 = 1.

………

……….……..

………

e) Valeur moyenne Définition : valeur moyenne

On considère une fonction 𝑓 continue sur un intervalle [𝑎 ; 𝑏].

On appelle valeur moyenne de 𝑓 sur [𝑎 ; 𝑏], le nombre réel _FSG^O ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥_G^F .

(6)

𝑓

Interprétation graphique : ● La valeur moyenne d’une fonction 𝑓 sur un intervalle [𝑎 ; 𝑏] est la valeur constante notée 𝑓 telle que ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥_G^F = ∫ 𝑓 𝑑𝑥_G^F .

● Lorsque f est une fonction à valeurs positives ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥_G^F est l’aire du rectangle dont les côtés ont pour longueur 𝑓 et 𝑏 − 𝑎.

Exemples :

1. On considère la fonction 𝑓 définie sur l’intervalle [0 ; 2] par 𝑓(𝑥) = 2𝑥.

Calculer la valeur moyenne de 𝑓 sur [0 ; 2].

𝑓 = ………

2. On considère la fonction 𝑔 définie sur l’intervalle [0 ; 1] par 𝑔(𝑥) = 𝑥⁴. Calculer la valeur moyenne de 𝑔 sur [0 ; 1].

𝑔 = ………