On considère la fonction

1S Correction Fiche TP 14 _2014-2015

On considère la fonction

f : D

−→ R x 7−→ 3 + 1 − x

x

+ 1

1. Pour tout x ∈ R , x

+ 1 6 = 0, f ne possède donc pas de valeur interdite donc D

= R.

2. ∀ x ∈ R, f (x) − 3 = 1 − x x

+ 1 .

∀ x ∈ R, x

+ 1 > 0 donc le signe de f (x) − 3 dépend du signe de 1 − x.

x 1 − x f (x) − 3

−∞ 1 + ∞

+ 0 −

+ 0 −

• Pour x < 1, f (x) − 3 > 0 ⇔ f (x) > 3 ;

• Pour x > 1, f (x) − 3 < 0 ⇔ f (x) < 3 ; 3. Variations de f sur R.

f est une fonction rationnelle donc dérivable sur son ensemble de définition (R).

Pour tout x ∈ R, f

(x) = − (x

+ 1) − 2x(1 − x)

(x

+ 1)

= x

− 2x − 1 (x

+ 1)

Comme (x

+ 1)

> 0 pour tout x réel, le signe de f

(x) est donné par le signe de x

− 2x − 1.

Or ∆ = 8 = (2 √

2)

et x

= 1 + √

2, x

= 1 − √

2. On applique la règle du signe de a = 2 à l’extérieur des racines.

x Signe de f

(x)

Variations de f

−∞ 1 − √

2 1 + √

2 + ∞

+ 0 − 0 +

ts ts

7 + √ 2 2 7 + √

2 2

7 − √ 2 2 7 − √

2 2

ts ts

− 10

f ( − 10)

10

f (10)

4. f ( − 10) = 3 + 11

101 et f (10) = 3 − 9

101 : − 9

101 < 11

101 = ⇒ f ( − 10) > f (10).

5. En utilisant le tableau de variations précédent, on peut écrire 7 + √

2

2 > f ( − 10) > f (10) > 7 − √ 2

2 donc x ∈ [ − 10; 10] ⇒ 7 − √ 2

2 < f (x) < 7 + √ 2 2

• • •

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