M33 Compléments d’intégration 2011-2012 Fiche 2 – Intégrales dépendant d’un paramètre I. On considère la fonction

Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées

M33 Compléments d’intégration 2011-2012 Fiche 2 – Intégrales dépendant d’un paramètre I. On considère la fonction

ϕ(x) = Z 2π

0

sin(xt)dt

1. Calculer explicitement ϕ(x), pour tout x ∈ R ;

2. Montrer que ϕ est une fonction continue sur R , à partir de l’expression obtenue en 1. ;

3. Montrer que ϕ est une fonction dérivable sur R et calculer ϕ ⁰ (x), à partir de l’expression obtenue en 1. ;

4. Montrer par un calcul explicite qu’on a bien, pour tout x ∈ R ,

ϕ ⁰ (x) = Z 2π

0

t cos(xt)dt.

II. (Voir Liret-Martinais, Analyse 2ème année, page 241) Soit f la fonc- tion définie R par f (x) = R 1

0

e

1+t

dt.

1. Montrer que f est continue sur R .

2. Montrer que f est dérivable sur R . Donner sa dérivée sous forme d’in- tégrale.

3. Calculer f (0).

4. Calculer lim x→+∞ f (x) et lim x→−∞ f (x).

5. Soit g la fonction définie R par g(x) = f (x ² ). Montrer que g est déri- vable et que g ⁰ (x) = −2e ^−x

R x

0 e ^−t

dt. En déduire que pour tout x ∈ R , on a : g(x) + ( R x

0 e ^−t

dt) ² = π/4.

6. Montrer que R +∞

0 e ^−t

dt converge. En donner la valeur.

III. On considère la fonction F définie sur R par F (x) = R π

0 cos(x sin t)dt.

1. Montrer que F est 2 fois dérivable sur R . Donner les expressions res- pectives de F ⁰ (x) et F ⁰⁰ (x) sous forme d’intégrale.

2. Calculer _∂t ^∂ [cos t · sin(x sin t)].

3. Montrer que l’on a : xF ⁰⁰ (x) + F ⁰ (x) + xF (x) = 0, pour x ∈ R . IV. Etudier la fonction f définie par :

f(x) =

Z sin

x

0

arcsin √ t dt +

Z cos

x

0

arccos √ t dt.

V. Soient f, g : R → R . Supposons que f est continue bornée et que g est continue par morceaux, g ≥ 0, R +∞

−∞ g(t)dt = 1. On considère, pour tout x ∈ R ^∗+ ,

ϕ(x) = 1 x

Z +∞

−∞

f(t) g( t x )dt.

Nous allons montrer que

lim x→0

1 x

Z +∞

−∞

f(t) g( t

x )dt = f (0). (1)

(a) On considère la fonction g ₁ (t) = ¹ ₂ si t ∈ [−1, 1], g ₁ (t) = 0 sinon. Montrer qu’elle satisfait aux conditions imposées à la fonction g ci-dessus. Tracer qualitativement, pour x = 10, x = 2, x = 1, x = 1/2, la fonction t → _x ¹ g 1 ( _x ^t ).

Mêmes questions pour la fonction g ₂ (t) = _π ¹ _1+t ¹

. Qu’est-ce qu’on observe.

Montrer que, pour tout x > 0,

1 x

Z +∞

−∞

g( t

x )dt = 1.

Interpréter ce résultat géométriquement et le rapprocher de l’allure des graphes.

(b) Montrer que

x→0 lim 1 x

Z +∞

−∞

f (t)g ₁ ( t

x )dt = f (0).

(c) Montrer que, pour tout B > 0, et pour tout g satisfaisant aux condi- tions ci-dessus,

x→0 lim 1 x

Z

|t|≥B

g( t

x )dt = 0.

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Interpréter ce résultat en termes du graphe en (a).

(d) Montrer que, pour tout B > 0, on a

|ϕ(x) − f (0)| = | 1 x

Z +∞

−∞

(f(x) − f(0))g( t x )dt|

≤ 1

|x|

Z B

−B

|f (t) − f(0)|g( t

x )dt + 2 (sup |f|) 1

|x|

Z

|t|≥B

g( t x )dt

.

(e) Utiliser la continuité de f en t = 0, (b) et (c) pour montrer (1).

VI. Soit ϕ(x) = R +∞

0 1 1+t

1 1+tx dt.

(i) Montrer, sans calculer l’intégrale, que ϕ est bien définie comme fonc- tion de domaine R ^∗+ .

(ii) Montrer, sans calculer l’intégrale, que ϕ est une fonction continue.

(iii) Montrer, sans calculer l’intégrale, que ϕ est dérivable.

(iv) Calculer explicitement la fonction ϕ et vérifier les propriétés (ii) et (iii) directement sur l’expression obtenue.

(v) Mêmes question pour la fonction ϕ(x) = R +∞

0 1 1+t

1 t+x dt.

On complètera avec les exercices page 231 et 236 de Lire-Martinais, Ana- lyse 2ème année, ainsi que les exercices 8, page 243 et 10, page 244.

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